Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 5 chữ số khác nhau, chữ số tận cùng chẵn. TH1: tận cùng là 0: có 6 cách chọn chữ số đầu tiên (từ 1 đến 6), sau đó chọn 3 chữ số từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$, được $6\cdot 60=360$ số. TH2: tận cùng là 2, 4 hoặc 6 (3 cách): chữ số đầu tiên khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách, sau đó chọn 3 chữ từ 5 chữ còn lại: $A_5^3=60$, được $3\cdot 5\cdot 60=900$ số. Tổng: $360+900=1260$ số, khớp đáp án nguồn 1260.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn một áo và một cà vạt là $7\times 5=35$ cách. Số cách chọn không hợp lệ (áo trắng và cà vạt vàng) là $3\times 2=6$ cách. Vậy số cách chọn thỏa mãn 'chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng' là $35-6=29$ cách. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1001: A).

Đáp án chính thức (DSDS): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số đề kiểm tra = $C(6,2)\cdot C(5,2)\cdot C(4,2)=15\cdot 10\cdot 6=900$. Khớp với đáp án nguồn (900).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 17 nam + 20 nữ = 37 học sinh. Cần chọn 2 học sinh khác nhau, một người làm Lớp trưởng và một người làm Phó học tập, nên đây là chọn có thứ tự (hoán vị chập 2 của 37 phần tử): $A_{37}^2=37\cdot 36=1332$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1332.

a) Đặt $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Gọi $\overline{abc}$, a, b, c $\in A$ là số tự nhiên lẻ có 3 chữ số khác nhau. Ta có c có 3 cách chọn — 0,25. Chọn a, b từ 5 số còn lại ta có $A_5^2$ cách chọn — 0,25. Vậy có $3.A_5^2=60$ số. (Ghi chú lề: Hs kết luận 60 cách, trường hợp này tha, vẫn ghi điểm)
b) Khai triển nhị thức Niu-tôn của $(x+3{)}^4$, ta có
$$(x+3{)}^4=C_4^0{x}^4+C_4^1{x}^{3}3+C_4^2{x}^2{3}^2+C_4^{3}x{3}^3+C_4^4{3}^4$$ — 0,25
$$=x^4+12x^3+54x^2+108x+81.$$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba chức vụ (Bí thư, Phó bí thư, Uỷ viên) là khác nhau và mỗi học sinh chỉ giữ một chức vụ, đây là chọn và sắp xếp 3 học sinh từ 40 học sinh theo thứ tự, tức là một chỉnh hợp: số cách chọn bằng $A_{40}^3=40\cdot 39\cdot 38=59280$. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 5101, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Có 5+6=11 học sinh, chọn 1 nhóm trưởng: 11 cách → Đúng. b) Chọn 1 nam làm nhóm trưởng và 1 nữ làm nhóm phó: 5×6=30 cách, không phải 110 → Sai. c) Chọn 2 học sinh bất kì (không phân biệt vai trò) là tổ hợp $C_{11}^2=55$, không phải $A_{11}^2=110$ → Sai. d) Hai đầu hàng là nữ: chọn và xếp 2 bạn nữ vào 2 đầu có $A_6^2=30$ cách; 9 vị trí còn lại xếp 9 học sinh còn lại: $9!=362880$ cách. Tổng: $30\times 362880=10886400\ne 10884600$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b, c, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 11 học sinh (5 nam + 6 nữ), chọn 1 nhóm trưởng có đúng 11 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 1 nam làm nhóm trưởng và 1 nữ làm nhóm phó là 5×6=30, không phải 110.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh bất kì không phân biệt thứ tự nên là $C_{11}^2=55$, không phải $A_{11}^2=110$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu là nữ: $A_6^2=30$ cách; 9 người còn lại xếp vào 9 vị trí giữa: $9!=362880$ cách. Tổng $30\times 362880=10886400\ne 10884600$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 em có nhiều nhất 1 nam: hoặc 0 nam 3 nữ, hoặc 1 nam 2 nữ. Số cách = $C_{15}^3+C_{20}^1\cdot C_{15}^2=455+20\cdot 105=455+2100=2555$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $n\ge 1$ (để $C_{n+2}^2$ và $A_{n+1}^1$ xác định).

Ta có $C_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}$ và $A_{n+1}^1=n+1$.

Phương trình trở thành:
$$5\cdot \frac{(n+2)(n+1)}{2}-(n+1)=319$$
$$\iff (n+1)\left(\frac{5(n+2)}{2}-1\right)=319\iff (n+1)(5n+8)=638.$$

Thử $n=10$: $(11)(58)=638$ thỏa mãn.

Xét phương trình $5n^2+13n-630=0$: $\Delta =13^2+4\cdot 5\cdot 630=12769=113^2$, nên $n=\frac{-13+113}{10}=10$ (nhận, $n\ge 1$) hoặc $n=\frac{-13-113}{10}=-12,6$ (loại).

Vậy $n=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi nhóm sách cùng môn như một 'khối'. Có $3!=6$ cách hoán vị 3 khối (Toán, Lý, Hóa). Trong mỗi khối, các sách khác nhau xếp được: Toán $5!=120$, Lý $3!=6$, Hóa $4!=24$ cách. Tổng: $3!\cdot 5!\cdot 3!\cdot 4!=6\cdot 120\cdot 6\cdot 24=103680$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4: chữ số đầu tiên không được là 0 nên có 4 cách chọn; chữ số thứ hai có 4 cách (còn 4 chữ số trong đó có 0); chữ số thứ ba có 3 cách; chữ số thứ tư có 2 cách. Tổng: $4\cdot 4\cdot 3\cdot 2=96$ số. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-16\le 0\iff -4\le x\le 4$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $A=\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}$, vậy $A$ có 9 phần tử. Số tập con của $A$ gồm đúng hai phần tử là số cách chọn 2 phần tử từ 9 phần tử: $C_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là tập các ngày mưa ($|M|=10$), $G$ là tập các ngày có gió ($|G|=8$), $L$ là tập các ngày lạnh ($|L|=6$). Số ngày thời tiết xấu là số ngày thuộc ít nhất một trong ba hiện tượng mưa, gió, lạnh, tức là $|M\cup G\cup L|$. Theo công thức bao hàm – loại trừ: $|M\cup G\cup L|=|M|+|G|+|L|-|M\cap G|-|M\cap L|-|G\cap L|+|M\cap G\cap L|=10+8+6-5-4-3+1=13$. Vậy có 13 ngày thời tiết xấu.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên $|x^2+1|\le 2\iff x^2+1\le 2\iff x^2\le 1\iff -1\le x\le 1$. Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$ ta được $B=\{-1;0;1\}$, có 3 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của $B$ là $C_3^2=\frac{3\cdot 2}{2}=3$, cụ thể là $\{-1;0\},\{-1;1\},\{0;1\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức bao hàm - loại trừ. Số người chỉ tham gia hai nhóm: chỉ $A$ và $B$ là $10-3=7$; chỉ $A$ và $C$ là $5-3=2$; chỉ $B$ và $C$ là $8-3=5$. Số người chỉ tham gia một nhóm: chỉ $A$: $50-7-2-3=38$; chỉ $B$: $40-7-5-3=25$; chỉ $C$: $30-2-5-3=20$. Tổng số người tham gia ít nhất một nhóm: $38+25+20+7+2+5+3=100$, nên số người không tham gia nhóm nào là $120-100=20$. a) Sai vì chỉ tham gia $A$ và $B$ là $7$ người (10 trừ 3 người cả ba nhóm). b) Sai vì chỉ tham gia $A$ là $38$ người. c) Đúng, chỉ tham gia $C$ là $20$ người. d) Đúng, $20$ người không tham gia nhóm nào.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số người chỉ tham gia nhóm $A$ và $B$ (không tham gia $C$) là $10-3=7$ người, không phải 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số người chỉ tham gia nhóm $A$ là $50-(10-3)-(5-3)-3=50-7-2-3=38$ người, không phải 25.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số người chỉ tham gia nhóm $C$ là $30-(5-3)-(8-3)-3=30-2-5-3=20$ người.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số người tham gia ít nhất một nhóm là $38+25+20+7+2+5+3=100$, nên số người không tham gia nhóm nào là $120-100=20$ người.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: chọn nhóm 5 bạn (không xét thứ tự) là tổ hợp $C_{25}^5$, không phải $A_{25}^5$. b) Đúng: chọn 3 bạn có ít nhất một nam = tổng cách chọn 3 từ 25 trừ cách chọn cả 3 nữ: $C_{25}^3-C_{13}^3$. c) Đúng: xếp 25 học sinh thành hàng dọc là hoán vị $25!$. d) Sai: chọn 1 nam và 1 nữ làm lớp trưởng, lớp phó là hai chức vụ khác nhau nên phải nhân với $2!$: số cách là $C_{12}^1{C}_{13}^1\cdot 2!=312$, không phải $C_{12}^1{C}_{13}^1=156$. Khớp đáp án nguồn: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn nhóm 5 bạn không kể thứ tự nên là $C_{25}^5$, không phải $A_{25}^5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lấy tổng số cách chọn 3 bạn từ 25 trừ đi số cách chọn cả 3 nữ: $C_{25}^3-C_{13}^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 25 học sinh thành hàng dọc là hoán vị của 25 phần tử: $25!$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lớp trưởng và lớp phó là hai chức vụ khác nhau nên phải nhân thêm $2!$: số cách là $C_{12}^1{C}_{13}^1\cdot 2!=312$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn vị trí đầu và cuối hàng: có $A_3^2=3\cdot 2=6$ cách chọn và xếp 2 học sinh nam. 5 vị trí còn lại xếp 5 học sinh còn lại: $5!=120$ cách. Tổng: $6\cdot 120=720$ cách. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: B).

Số các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số {5, 6, 7, 8} là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: $A_4^2=4\times 3=12$. Chọn A.

Có hai trường hợp: Trường hợp 1: Chọn 2 quyển sách Văn và 1 quyển sách Toán: có $C_6^2\cdot C_{10}^1=15\cdot 10=150$ cách. Trường hợp 2: Chọn 1 quyển sách Văn và 2 quyển sách Toán: có $C_6^1\cdot C_{10}^2=6\cdot 45=270$ cách. Tổng số cách chọn là $150+270=420$ cách.