Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Cả hai Bình và An tham gia: chọn 6 bạn nữa từ 8 bạn còn lại và xếp hàng: $C_8^6\cdot 6!\cdot 8!$... chính xác là $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, không phải 20160 → Sai. b) Bình và An đứng hai đầu hàng: 2 cách hoán vị hai đầu, chọn và xếp 6 bạn từ 8 bạn còn lại vào 6 vị trí giữa: $2\cdot C_8^6\cdot 6!=2\cdot 28\cdot 720=40320$ → Đúng. c) Chỉ chọn 8 trong 10 bạn thì có $C_{10}^8=45$ cách chọn, nhưng 'sắp xếp' thành hàng ngang phải nhân với $8!$, tức $C_{10}^8\cdot 8!=1814400$ cách → Sai. d) Bình và An cùng tham gia và đứng cạnh nhau: coi hai bạn là một khối, chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại, xếp 7 phần tử (khối + 6 bạn) và hoán vị 2 người trong khối: $C_8^6\cdot 7!\cdot 2=28\cdot 5040\cdot 2=282240$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả Bình và An tham gia: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960\ne 20160$ cách → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình, An ở hai đầu: $2\cdot C_8^6\cdot 6!=2\cdot 28\cdot 720=40320$ cách → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 8 bạn thành hàng ngang từ 10 bạn: $C_{10}^8\cdot 8!=45\cdot 40320=1814400$ cách, không phải chỉ $C_{10}^8$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bình, An tham gia và cạnh nhau: $C_8^6\cdot 7!\cdot 2=28\cdot 5040\cdot 2=282240$ cách → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bạn từ 11 bạn sao cho có ít nhất 2 bạn nữ. Trường hợp 1: đúng 2 nữ, 2 nam: $C_5^2\cdot C_6^2=10\cdot 15=150$. Trường hợp 2: đúng 3 nữ, 1 nam: $C_5^3\cdot C_6^1=10\cdot 6=60$. Trường hợp 3: 4 nữ: $C_5^4=5$. Tổng: $150+60+5=215$ cách.

Ta thực hiện các công đoạn sau:
- Coi Ngọc và Linh là một khối X. Số cách hoán vị nội bộ khối X là $2!=2$ cách.
- Xếp 4 bạn nam thành hàng ngang, có $4!=24$ cách.
- Khi đó tạo ra 5 khoảng trống. Để bạn nữ còn lại không đứng cạnh Ngọc và Linh, ta xếp khối X và bạn nữ còn lại vào 2 trong 5 khoảng trống đó. Số cách chọn và xếp là $A_5^2=20$ cách.
- Tổng số cách xếp là: $2\cdot 24\cdot 20=960$ (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 4 nữ, 5 nam (tổng 9 bạn).
a) Chọn 3 bạn có đúng 1 nữ: $C_4^1\cdot C_5^2=4\cdot 10=40$ cách, không phải 4 cách → Sai.
b) Xếp 9 bạn thành hàng ngang: $9!=362880$ cách → Đúng.
c) Không gian mẫu: $C_9^3=84$. Số cách chọn 3 bạn có đúng 1 nữ là 40. Xác suất $=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$ → Đúng.
d) Xếp sao cho không có hai bạn nữ cạnh nhau: xếp 5 nam trước: $5!=120$ cách; có 6 khe chèn 4 nữ vào: $A_6^4=360$ cách. Tổng $=120\cdot 360=43200$ cách, không phải 2 880 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 bạn có đúng 1 nữ: $C_4^1{C}_5^2=40$, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
$9!=362880$ cách xếp 9 bạn thành hàng ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_4^1{C}_5^2}{C_9^3}=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$5!\cdot A_6^4=120\cdot 360=43200$ cách, không phải 2 880.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Xếp 5 học sinh nữ thành hàng ngang là hoán vị: 5! = 120 cách, không phải 5^5 = 3125 cách → sai. b) Tổng cách xếp 12 người: 12!. Xác suất 5 nữ ngồi cạnh nhau: coi 5 nữ là một khối, có 8!·5! cách, nên P = 8!·5!/12! = 1/C(12,5) = 1/792 ≠ 1/99 → sai. c) Nhóm 4 người có Hồng và ít nhất 2 nữ: chọn 3 người từ 11 người còn lại (4 nữ, 7 nam) sao cho có ít nhất 1 nữ: C(11,3) − C(7,3) = 165 − 35 = 130 cách → đúng. d) Xếp 12 người thành 3 hàng (3, 4, 5 người), mỗi vị trí trong hàng là khác nhau: chọn người cho hàng 1: A(12,3), hàng 2: A(9,4), hàng 3: 5! cách, tổng A(12,3)·A(9,4)·5! = 12! → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh nữ thành một hàng ngang là hoán vị của 5 phần tử: 5! = 120 cách, không phải 5^5 = 3125 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp 12 người thành hàng ngang là 12!. Cách thuận: coi 5 nữ thành một khối, xếp 8 đối tượng (7 nam + 1 khối): 8! cách, trong khối xếp 5 nữ: 5! cách. Xác suất P = (8!·5!)/12! = 1/C(12,5) = 1/792 ≠ 1/99.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nhóm 4 người luôn có Hồng: chọn thêm 3 người từ 11 người còn lại (4 nữ khác và 7 nam). Cần ít nhất 1 nữ nữa: C(11,3) − C(7,3) = 165 − 35 = 130 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàng 1 có 3 vị trí, hàng 2 có 4 vị trí, hàng 3 có 5 vị trí, các vị trí phân biệt: số cách xếp là A(12,3)·A(9,4)·5! = (12!/9!)·(9!/5!)·5! = 12! cách.

Ta thấy: Cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_1$ với hai điểm phân biệt trên $d_2$ hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_2$ với hai điểm phân biệt trên $d_1$ tạo thành một tam giác.

Vậy tổng số tam giác thỏa mãn đề bài là $10\cdot C_n^2+n{C}_{10}^2=1725$

$\iff 5n(n-1)+45n-1725=0\iff 5n^2+40n-1725=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-23\end{array}\right]$. Vậy $n=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 5 chữ số khác nhau, chữ số cuối phải chẵn. TH1: chữ số cuối là 0, có 6 cách chọn chữ số đầu (1–6), 3 chữ số giữa lập từ 5 chữ số còn lại: $A_5^3=60$ → $6\cdot 60=360$. TH2: chữ số cuối là 2, 4 hoặc 6 (3 cách), chữ số đầu có 5 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), 3 chữ số giữa: $A_5^3=60$ → $3\cdot 5\cdot 60=900$. Tổng: $360+900=1260$, khớp đáp án nguồn.

Ta thấy: Cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_1$ với hai điểm phân biệt trên $d_2$ hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng $d_2$ với hai điểm phân biệt trên $d_1$ tạo thành một tam giác.

Vậy tổng số tam giác thỏa mãn đề bài là $10\cdot C_n^2+n{C}_{10}^2=1725$

$\iff 5n(n-1)+45n-1725=0\iff 5n^2+40n-1725=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-23\end{array}\right]$. Vậy $n=15$.

Gọi $d$ là trục đối xứng của hình thang cân có 4 đỉnh là đỉnh của $(H)$.
Trường hợp 1: $d$ đi qua tâm O và hai đỉnh của $(H)$.

Có 6 trục đối xứng. Ứng với mỗi trục đối xứng có $C_5^2$ hình thang (lấy 2 trong 5 đỉnh một bên rồi đối xứng qua $d$). $\Rightarrow$ Số hình thang cân tạo thành $6.C_5^2$ — 0,25
Trường hợp 2: $d$ đi qua tâm O và trung điểm hai cạnh đối diện của $(H)$.

Có 6 trục đối xứng. Ứng với mỗi trục đối xứng có $C_6^2$ hình thang (Lấy 2 trong 6 đỉnh một bên rồi đối xứng qua $d$). $\Rightarrow$ Số hình thang cân tạo thành $6.C_6^2$ — 0,25
Trong các hình thang trên có $C_6^2$ hình chữ nhật được đếm hai lần (vì mỗi hình chữ nhật có 2 trục đối xứng).
Vậy đáp số của bài toán là: $6\left(C_5^2+C_6^2\right)-C_6^2=135$ hình thang cân.

a) Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là $\overline{abcd}$

TH1: Chọn $d=0$
Chọn bộ $\overline{abc}$ có $A_5^3$ cách
Vậy có $A_5^3=60$ số

TH2: Chọn $d=5$
Chọn $a$ có 4 cách
Chọn bộ $\overline{bc}$ có $A_4^2$ cách
Vậy có $4.A_4^2=48$ số

Từ 2 trường hợp ta có 108 số có thể được lập

b) Số cách chọn 4 học sinh bất kì là: $C_{31}^4$
Số cách chọn 4 học sinh nữ là: $C_{15}^4$
Số cách chọn 4 học sinh sao cho có ít nhất 1 nam là:
$C_{31}^4-C_{15}^4=30100$ cách

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: chọn 5 trong 11 học sinh là $C_{11}^5=462$ cách. b) Đúng: chọn 5 người có cả nam và nữ = tổng trừ trường hợp toàn nam hoặc toàn nữ: $C_{11}^5-C_6^5-C_5^5=462-6-1=455$ cách. c) Sai: chọn 5 người có ít nhất một nữ = $C_{11}^5-C_6^5=462-6=456$ cách (không phải 455). d) Sai: chọn 2 nữ trong 4 nữ còn lại: $C_4^2=6$; xếp 2 nữ đó vào giữa An và Vui: $2!=2$; thứ tự An–Vui trong khối: 2 cách; khi đó khối (An, 2 nữ, Vui) cùng 9 học sinh còn lại tạo thành 10 đối tượng xếp hàng: $10!$ cách. Tổng: $6\cdot 2\cdot 2\cdot 10!=24\cdot 3628800=87091200$ cách, khác 967.680.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 học sinh tùy ý từ 11 học sinh: $C_{11}^5=462$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có cả nam và nữ: $C_{11}^5-C_6^5-C_5^5=462-6-1=455$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ít nhất một nữ: $C_{11}^5-C_6^5=462-6=456$ cách, không phải 455.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $C_4^2\cdot 2!\cdot 2\cdot 10!=87091200$ cách, khác 967.680.

(AI giải đề cho tôi)
Gộp hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau thành một khối. Khối này có 2 cách xếp thứ tự bên trong (12 hoặc 21) và có 4 vị trí có thể đặt trong dãy 5 chữ số. Ba chữ số còn lại được chọn và xếp từ 5 chữ số còn lại của tập $\{0,3,4,5,6\}$.

- Tổng số cách khi chưa loại trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: $2\cdot 4\cdot A_5^3=2\cdot 4\cdot 60=480$.
- Loại các số có chữ số 0 đứng đầu: khi đó khối (1,2) không thể ở vị trí đầu (vì 0 chiếm chỗ đầu), nên khối ở một trong 3 vị trí còn lại; chữ số đầu là 0, chọn và xếp 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại: $2\cdot 3\cdot A_4^2=2\cdot 3\cdot 12=72$.

Vậy số số tự nhiên thỏa mãn là $480-72=408$ số.

Kiểm tra lại bằng cách đếm trực tiếp: khối ở vị trí đầu: $2\cdot A_5^3=120$; khối ở 3 vị trí sau (chữ số đầu khác 0, khác 1, 2): $2\cdot 3\cdot 4\cdot A_4^2=288$. Tổng $120+288=408$, khớp kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có 4 chữ số khác nhau từ S={1,...,6}: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360\ne 120$ → Sai. b) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: chữ số hàng đơn vị thuộc {2,4,6} (3 cách), hàng chục thuộc 5 số còn lại → $3\cdot 5=15$ → Đúng. c) Số chính phương hai chữ số được tạo từ chữ số của S: 16, 25, 36, 64 (49 loại vì 9∉S) → chỉ 4 số, không phải 5 → Sai. d) $P\cap S=\{1,2,3,4\}$, tổng bình phương $=1+4+9+16=30\ne 31$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A_6^4=360\ne 120$
b) (AI giải đề cho tôi)
3 cách chọn chữ số đơn vị (2,4,6) × 5 cách chọn chữ số chục = 15
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 số: 16, 25, 36, 64 (49 loại vì 9∉S)
d) (AI giải đề cho tôi)
$P\cap S=\{1,2,3,4\}$, tổng bình phương $=30\ne 31$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x_i$ là số mặt xuất hiện ở lần gieo thứ $i$, $1\le x_i\le 6$. Cần đếm số nghiệm của $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=14$ với $1\le x_i\le 6$. Đặt $y_i=x_i-1\ge 0$, khi đó $y_1+\cdots +y_5=9$ với $0\le y_i\le 5$. Số nghiệm không giới hạn: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{4}\right)=715$. Trừ trường hợp có $y_i\ge 6$: với mỗi $i$, đặt $z_i=y_i-6$, được tổng bằng 3, số nghiệm $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{4}\right)=35$; có 5 biến nên trừ $5\cdot 35=175$. Không thể có hai biến cùng $\ge 6$ vì khi đó tổng $\ge 12>9$. Vậy kết quả $715-175=540$.

(AI giải đề cho tôi)
Đội văn nghệ có 9 học sinh (4 của 12A, 3 của 12B, 2 của 12C). Chọn 5 người sao cho cả ba lớp đều có người được chọn.

Cách 1 (trừ trường hợp xấu): Tổng số cách chọn 5 từ 9 người là $C_9^5=126$. Số cách chọn sao cho thiếu lớp nào đó:
- Không có lớp 12A: chọn 5 từ 5 người (12B, 12C): $C_5^5=1$.
- Không có lớp 12B: chọn 5 từ 6 người: $C_6^5=6$.
- Không có lớp 12C: chọn 5 từ 7 người: $C_7^5=21$.
- Không thể thiếu đồng thời hai lớp vì khi đó chỉ còn tối đa 4 người.

Vậy số cách cần tìm: $126-1-6-21=98$.

Cách 2 (liệt kê theo phân phối): các bộ $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$, $1\le a\le 4$, $1\le b\le 3$, $1\le c\le 2$:
- $(2,2,1)$: $C_4^2{C}_3^2{C}_2^1=6\cdot 3\cdot 2=36$.
- $(2,1,2)$: $C_4^2{C}_3^1{C}_2^2=6\cdot 3\cdot 1=18$.
- $(1,2,2)$: $C_4^1{C}_3^2{C}_2^2=4\cdot 3\cdot 1=12$.
- $(3,1,1)$: $C_4^3{C}_3^1{C}_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$.
- $(1,3,1)$: $C_4^1{C}_3^3{C}_2^1=4\cdot 1\cdot 2=8$.

Tổng: $36+18+12+24+8=98$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 8 học sinh thành hàng ngang.
a) Nam nữ xen kẽ: có 2 cách chọn kiểu (Nữ Nam Nữ Nam... hoặc Nam Nữ Nam Nữ...), trong mỗi kiểu xếp 4 nam và 4 nữ: 2·4!·4! = 1152 cách, không phải 576 → sai.
b) Giữa An và Bình không có học sinh nam nào và An, Bình không cạnh nhau, nên giữa chúng chỉ có các bạn nữ (k nữ, k = 1,2,3). Chọn k nữ từ 3 nữ còn lại và xếp vào giữa: C(3,k)·k!; 2 cách đổi chỗ An, Bình; 6−k người còn lại xếp vào các vị trí còn lại: (6−k)!. Tổng = Σ C(3,k)·k!·2·(6−k)! = 720 + 288 + 72 = 1080 cách, không phải 6048 → sai.
c) Xếp tùy ý 8 người: 8! = 40320 cách → đúng.
d) An và Bình luôn cạnh nhau: coi An, Bình là một khối, có 2 cách đổi chỗ trong khối, xếp khối với 6 người còn lại: 2·7! = 10080 cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
2·4!·4! = 1152 cách, không phải 576.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giữa An và Bình chỉ có k nữ (k=1,2,3): Σ C(3,k)·k!·2·(6−k)! = 720+288+72 = 1080 cách, không phải 6048.
c) (AI giải đề cho tôi)
8! = 40320 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
2·7! = 10080 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số mật mã là 8! = 40320.
a) Đúng: 8! = 40320.
b) Xen kẽ chẵn-lẻ: chọn vị trí chẵn ở vị trí lẻ hoặc chẵn trước: 2·4!·4! = 1152; P = 1152/40320 = 1/35. Đúng.
c) P(chứa "123") = 6!/8! = 1/56; tương tự "876" = 1/56. Giao: hai khối "123","876" cố định thứ tự cùng {4,5}: 4! = 24 cách, P = 24/40320 = 1/1680. P(hợp) = 2/56 − 1/1680 = 59/1680 ≈ 0,0351 ≠ 1/28 ≈ 0,0357. Sai.
d) Khối "12" hoặc "21" liền kề: 2·7! cách; trong đó các chữ số chẵn tăng dần chiếm tỉ lệ 1/4!: số cách = 2·7!/24 = 420; P = 420/40320 = 1/96. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số mật mã = 8! = 40320.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách xen kẽ: 2·4!·4! = 1152; P = 1152/40320 = 1/35.
c) (AI giải đề cho tôi)
P = 2·(1/56) − 1/1680 = 59/1680 ≠ 1/28.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách = 2·7!/4! = 420; P = 420/40320 = 1/96.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ 16 điểm là $(i,j)$ với $i,j\in \{0,1,2,3\}$. Tổng số cặp điểm là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2}\right)=120$. Một đường thẳng đi qua đúng $k$ điểm sẽ bị đếm $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$ lần khi đếm theo cặp, nên phải trừ bớt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)-1$ lần cho mỗi đường như vậy.

- Đường thẳng qua đúng 4 điểm: 4 hàng ngang, 4 cột dọc, 2 đường chéo chính, tổng cộng 10 đường. Mỗi đường bị đếm thừa $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)-1=5$ lần, trừ đi $10\times 5=50$.
- Đường thẳng qua đúng 3 điểm: các đường chéo song song với đường chéo chính có 3 điểm, gồm 2 đường hướng $+1$ và 2 đường hướng $-1$, tổng 4 đường. Mỗi đường bị đếm thừa $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)-1=2$ lần, trừ đi $4\times 2=8$.
- Không có đường thẳng nào khác qua 3 điểm trở lên (kiểm tra các hệ số góc $2,\frac{1}{2},3,\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{2}$: mỗi đường như vậy chỉ chứa tối đa 2 điểm của lưới).

Vậy số đường thẳng phân biệt là $120-50-8=62$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N=\overline{a_{11}{a}_{10}\dots a_0}$ là số thứ vị ($a_{11}\ne 0$, mọi chữ số $<9$). Khi tăng chữ số ở hàng $10^i$ thêm 1 đơn vị, số mới tăng thêm $10^i$. Gọi $S$ là tổng các $10^i$ tương ứng với các chữ số được tăng; khi đó số mới là $M=N+S$, với $M\ne N$ nên $S>0$, và $N\mid M$ nên $N\mid S$.
Mặt khác $S\le 1+10+\cdots +10^{11}=\frac{10^{12}-1}{9}=111111111111<2\cdot 10^{11}\le 2N$, nên $0<S<2N$, suy ra $S=N$.
Vì $S$ là tổng các lũy thừa $10^i$ phân biệt nên biểu diễn thập phân của $S$ chỉ gồm chữ số 0 và 1. Do $S=N$, số $N$ phải có tất cả các chữ số bằng 0 hoặc 1, chữ số đầu bằng 1. Khi đó tăng đúng các chữ số bằng 1, ta được $M=2N$ chia hết cho $N$ và khác $N$, thỏa mãn.
Vậy mỗi số thứ vị tương ứng với một cách chọn 11 chữ số còn lại (mỗi chữ số 0 hoặc 1), cho $2^{11}=2048$ số. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 2048.

Số học sinh thích ít nhất một môn là $45-5=40$. Gọi $a,b$ lần lượt là số học sinh thích đúng một môn, thích đúng hai môn. Ta có $a+b+6=40\Rightarrow a+b=34$. Tổng số lượt thích ba môn là $23+21+18=62$, trong đó mỗi học sinh thích đúng một môn được tính một lần, thích đúng hai môn được tính hai lần, thích cả ba môn được tính ba lần. Suy ra $a+2b+3.6=62\Rightarrow a+2b=44$. Do đó $b=10$, $a=24$. Đáp án: 24.