Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm phân biệt bất kỳ trên đường tròn luôn tạo thành một tam giác (không có ba điểm nào thẳng hàng). Vậy số tam giác là số cách chọn 3 điểm trong 20 điểm: $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1105, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 20 nam, 20 nữ, chia thành 4 tổ (phân biệt) mỗi tổ 10 bạn.

a) Chọn lần lượt 10 bạn cho tổ 1, tổ 2, tổ 3 (tổ 4 tự确定): số cách = $C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}$. Đúng.

b) Tổ có nam, nữ bằng nhau nghĩa là mỗi tổ 5 nam, 5 nữ. Số cách thuận lợi: chia 20 nam vào 4 tổ mỗi tổ 5 nam là $C_{20}^5{C}_{15}^5{C}_{10}^5=(C_{20}^5{)}^4$ (vì $C_{15}^5=C_{10}^5=C_{20}^5=15504$), tương tự cho nữ. Xác suất:
$$P=\frac{(C_{20}^5{)}^4}{C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}}=\frac{15504^4}{847660528\cdot 30045015\cdot 184756}\approx \frac{5.778\cdot 10^{16}}{4.705\cdot 10^{21}}\approx 1.23\cdot 10^{-5},$$
không phải $0.03$. Sai.

c) Số nữ các tổ lập cấp số cộng: $f_1,f_1+d,f_1+2d,f_1+3d$ với tổng $4f_1+6d=20\Rightarrow 2f_1+3d=10$. Chọn $d=0,f_1=5$: mỗi tổ 5 nữ, 5 nam — thỏa mãn (số nam $10-f_i$ cũng tự động lập cấp số cộng). Vậy thầy chia được. Đúng.

d) Vì mỗi tổ 10 bạn nên $k_i=\text{nam}-\text{nữ}=2\cdot \text{nam}-10$ là số chẵn; điều kiện có cả nam lẫn nữ và chênh lệch nhiều hơn 3 bạn cho $k_i\in \{\pm 4,\pm 6,\pm 8\}$. Bốn số lập cấp số nhân với $q\ne 1$: xét mọi cấp số nhân 4 số hạng lấy từ $\{\pm 4,\pm 6,\pm 8\}$, chỉ có thể là $q=-1$: $(a,-a,a,-a)$ hoặc $(-a,a,-a,a)$ với $a\in \{4,6,8\}$ (các tỉ số khác như $3/2,2/3,4/3,\dots$ đều cho số hạng không thuộc tập trên). Tổng $k_1+k_2+k_3+k_4=0$ thỏa mãn tổng nam = tổng nữ = 20.

Số cách thuận lợi với $a$: nhóm có $k=a$ có $(10+a)/2$ nam, nhóm có $k=-a$ có $(10-a)/2$ nam; chia 20 nam: $\frac{20!}{n_a{!}^2{n}_{-a}{!}^2}$ cách, tương tự cho nữ.
- $a=4$ ($n_a=7,n_{-a}=3$): ${\left(\frac{20!}{7{!}^{2}3{!}^2}\right)}^2\approx (2.6605\cdot 10^9{)}^2\approx 7.078\cdot 10^{18}$, nhân 2 cách sắp dấu $\approx 1.416\cdot 10^{19}$.
- $a=6$ ($n_a=8,n_{-a}=2$): ${\left(\frac{20!}{8{!}^{2}2{!}^2}\right)}^2\approx (3.7414\cdot 10^8{)}^2\approx 1.400\cdot 10^{17}$, nhân 2 $\approx 2.80\cdot 10^{17}$.
- $a=8$ ($n_a=9,n_{-a}=1$): ${\left(\frac{20!}{9{!}^2}\right)}^2\approx (1.8474\cdot 10^7{)}^2\approx 3.41\cdot 10^{14}$, nhân 2 $\approx 6.8\cdot 10^{14}$.

Tổng thuận lợi $\approx 1.445\cdot 10^{19}$... cộng cả hai chiều dấu cho từng $a$ (mỗi $a$ có 2 dãy dấu) ta được tổng $\approx 4.33\cdot 10^{19}$ cách. Xác suất:
$$P\approx \frac{4.33\cdot 10^{19}}{4.705\cdot 10^{21}}\approx 0.0092>\mathrm{0.0015.}$$
Vậy d Đúng.

Tóm tắt: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia 40 bạn thành 4 tổ phân biệt mỗi tổ 10 bạn: $C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}$ cách. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi tổ 5 nam 5 nữ: $P=\frac{(C_{20}^5{)}^4}{C_{40}^{10}{C}_{30}^{10}{C}_{20}^{10}}=\frac{15504^4}{847660528\cdot 30045015\cdot 184756}\approx 1.23\cdot 10^{-5}\ne 0.03$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ví dụ mỗi tổ 5 nữ, 5 nam: dãy nữ $(5,5,5,5)$ và dãy nam $(5,5,5,5)$ đều là cấp số cộng. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$k_i$ chẵn, $|k_i|\in \{4,6,8\}$; cấp số nhân $q\ne 1$ duy nhất khả thi là $q=-1$: $(a,-a,a,-a)$, $a\in \{4,6,8\}$. Số cách thuận lợi $\approx 4.33\cdot 10^{19}$, cho $P\approx 0.0092>0.0015$. Đúng.

Vì độ dài đường đi bằng $m+n$ nên trong suốt quá trình đi từ A đến C:
- Ta chỉ được đi theo hai hướng:
- Song song với cạnh AB (đi sang phải)
- Song song với cạnh AD (đi lên trên)
- Tổng số đơn vị đi sang phải là $m$
- Tổng số đơn vị đi lên trên là $n$

Mỗi lần đổi hướng thì đường đi bị chia thành các đoạn thẳng liên tiếp. Do đổi hướng đúng $k$ lần nên toàn bộ đường đi gồm đúng $k+1$ đoạn thẳng.

a) Khi $m=n=4$ và $k=2$

Bước 1. Xác định số đoạn của đường đi
Vì đổi hướng đúng 2 lần nên đường đi gồm: $2+1=3$ đoạn thẳng
Ba đoạn này lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật và hai đoạn kề nhau phải khác hướng

Bước 2. Xét các khả năng về hướng đi
Với 3 đoạn thẳng, chỉ có hai khả năng:
- Khả năng 1:
Đoạn thứ nhất song song với cạnh AB
Đoạn thứ hai song song với cạnh AD
Đoạn thứ ba song song với cạnh AB
- Khả năng 2:
Đoạn thứ nhất song song với cạnh AD
Đoạn thứ hai song song với cạnh AB
Đoạn thứ ba song song với cạnh AD

Bước 3. Đếm số đường đi cho từng khả năng

- Khả năng 1

Tổng độ dài theo phương song song với cạnh AB là 4
Độ dài này được phân chia vào hai đoạn (đoạn thứ nhất và đoạn thứ ba), mỗi đoạn phải có độ dài dương.
$$\Rightarrow \text{Soˆˊ caˊch phaˆn chia: }{C}_{4-1}^{2-1}=C_3^1=3$$
$$\Rightarrow \text{Tổng độ daˋi theo phương song song với cạnh AD laˋ 4, chỉ coˊ một đoạn, neˆn chỉ coˊ 1 caˊch}$$
Vậy số đường đi trong khả năng này là: $3.1=3$ cách

- Khả năng 2: Lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng được 3 đường đi

Do đó khi $m=n=4$ và $k=2$, ta có 6 đường đi.

b) Vì đổi hướng đúng 444 lần nên đường đi gồm: $4+1=5$ đoạn thẳng
Các khả năng vẽ hướng đi: với 5 đoạn thẳng, có hai khả năng

- Khả năng 1:

Các đoạn song song với cạnh AB chiếm 3 đoạn
Các đoạn song song với cạnh AD chiếm 2 đoạn

- Khả năng 2:

Các đoạn song song với cạnh AD chiếm 3 đoạn
Các đoạn song song với cạnh AB chiếm 2 đoạn

Ở khả năng 1:

- Tổng độ dài theo phương song song với cạnh AB là 8, được chia vào 3 đoạn, mỗi đoạn có độ dài dương.

$$\text{Soˆˊ caˊch: }{C}_{8-1}^{3-1}=C_7^2=21$$

- Tổng độ dài theo phương song song với cạnh AD là 10, được chia vào 2 đoạn.

$$\text{Soˆˊ caˊch: }{C}_{10-1}^{2-1}=C_9^1=9$$

$$\Rightarrow \text{Tổng soˆˊ caˊch ở khả na˘ng 1 laˋ: }21.9=189$$

Tương tự khả năng 2 có: $C_9^2.C_7^1=252$ cách

Do đó khi $m=8,n=10$ và $k=4$, ta có $189+252=441$ đường đi.

- Xếp 3 nữ thành 1 hàng: $3!=6$ cách. Khi đó tạo ra 4 vị trí trống để xếp nam: _Nữ_Nữ_Nữ_
- Xếp các bạn nam vào các vị trí trống
TH1: Hai nam đứng ở 2 vị trí khác nhau: $C_4^2.2=12$ cách
Th2: Hai nam đứng cùng 1 vị trí (hai nam đứng cạnh nhau):
+, chỉ có 2 vị trí ở giữa hai nữ là hợp lệ ( vì nếu đứng đầu hàng hoặc cuối hàng thì sẽ có 1 bạn nam không đứng cạnh nữ)
+, số cách: $2.2=4$ cách
$\Rightarrow$ tổng số cách xếp nam: $12+4=16$ cách
Vậy cách xếp cả nam và nữ là: $16.6=96$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6a: Vì độ dài đường đi từ A đến C đúng bằng 18 = 10 + 8 (khoảng cách Manhattan), mọi bước đều phải đi sang phải hoặc đi lên, tức đường đi đơn điệu. Đường đi có đúng 4 lần đổi hướng nên gồm 5 đoạn liên tiếp, các đoạn đổi kiểu luân phiên (ngang–dọc–ngang–dọc–ngang hoặc dọc–ngang–dọc–ngang–dọc), mỗi đoạn có độ dài dương. TH1: bắt đầu bằng đoạn ngang: cần h1+h3+h5=10 với hi≥1 nên có C(9,2)=36 cách; và v2+v4=8 với vi≥1 nên có C(7,1)=7 cách; được 36·7=252 đường. TH2: bắt đầu bằng đoạn dọc: v1+v3+v5=8 cho C(7,2)=21 cách; h2+h4=10 cho C(9,1)=9 cách; được 21·9=189 đường. Tổng số đường đi: 252+189=441. (Kết quả 441 trùng với lời giải chính thức của đề ở trang 17–18: khả năng 1 cho C(7,2)·C(9,1)=189, khả năng 2 cho C(9,2)·C(7,1)=252, tổng 441.)
Câu 6b: Phân loại các số theo trị số 2-adic: số x có dạng 2^a·u với u lẻ thì mọi cặp x+y là lũy thừa của 2 phải có cùng trị số a (vì 2^a·u+2^b·v với u,v lẻ chỉ là lũy thừa của 2 khi a=b). Xét các lớp L_a={2^a·u : u lẻ, 2^a·u≤2026}. Trong mỗi lớp, ghép cặp 2^a·u với 2^a·w sao cho u+w là lũy thừa của 2, khi đó tổng cặp bằng 2^a·2^m là lũy thừa của 2. Cụ thể: L0 (1013 số lẻ): lấy singleton {1}; ghép {3,5}(=8), {7,9}(=16), {11,21}, {13,19}, {15,17}(=32), và các cặp {x, 2048−x} với x lẻ từ 23 đến 1023 (501 cặp, bạn từ 1025 đến 2025): được 506 cặp phủ hết 1012 số còn lại. L1 (507 số): singleton {2}; ghép {3,5}, {7,9}, và {x,1024−x} với x lẻ từ 11 đến 511 (251 cặp): 253 cặp. L2 (253 số): singleton {4}; ghép {3,5}(=8) và {x,512−x} với x lẻ từ 7 đến 255 (125 cặp): 126 cặp. L3 (127 số): singleton {8}; ghép {x,256−x} với x lẻ từ 3 đến 125 (62 cặp) và cặp {127,129}(=256): 63 cặp. L4 (63 số): singleton {16}; ghép {x,128−x} với x lẻ từ 3 đến 63 (31 cặp). L5 (32 số, gồm 32,96,...,2016): ghép {32u, 32(64−u)} với u lẻ từ 1 đến 31: 16 cặp, tổng bằng 2048. L6: 8 cặp {64u, 64(32−u)} tổng 2048; L7: 4 cặp {128u, 128(16−u)} tổng 2048; L8 (4 số 256, 768, 1280, 1792): 2 cặp {256,1792}, {768,1280} tổng 2048; L9: cặp {512,1536} tổng 2048; L10: singleton {1024}. Kiểm tra: 6 singleton {1,2,4,8,16,1024} và 1010 cặp, phủ đúng 6+2020=2026 số. Giả sử A không chứa lũy thừa của 2 và không có hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2. Khi đó A không chứa phần tử nào của 6 singleton, và A chứa nhiều nhất một phần tử trong mỗi cặp (nếu chứa cả hai thì tổng của chúng là lũy thừa của 2). Suy ra |A| ≤ 1010, mâu thuẫn với |A| ≥ 1011. Vậy A phải chứa một lũy thừa của 2 hoặc hai phần tử phân biệt có tổng là lũy thừa của 2. Đáp số câu a: 441.

Do các tọa độ nguyên. Xét trường hợp đường chéo độ dài 5. Xét $5^2=3^2+4^2$ nên đây là bộ ba Pitago. Xét các hình chữ nhật có độ dài cạnh là 3 và 4 nằm trong $OABC$. Trường hợp 1: Cạnh ngang 3, cạnh dọc 4. Số cách chọn cạnh ngang: $(10-3):1+1-8$. Số cách chọn cạnh dọc: $(10-4):1+1-7$. Một hình chữ nhật có 2 đường chéo nên: $8\cdot 7\cdot 2=112$ (đoạn). Trường hợp 2: Cạnh dọc 3, cạnh ngang 4 (tương tự): 112 (đoạn). Xét trường hợp song song với trục tung hoặc trục hoành: Nếu các đoạn thẳng song song $Ox$ hoặc $Oy$ thì có: $(10-0+1)(10-5+1)\cdot 2=132$. Kết luận vậy tổng số đoạn: $112\cdot 2+132=356$ đoạn. (Ghi chú: các biểu thức '(10−3):1+1−8' và '(10−4):1+1−7' in theo nguồn, có thể là $(10-3):1+1=8$ và $(10-4):1+1=7$.)

Số đỉnh chẵn. Ta cần xây dựng công thức quy nạp. Đa giác đều 2n đỉnh ta đánh số các đỉnh từ 1 đến 2n. Tứ giác đều 2n = 4: có 1 hình chữ nhật là chính nó. Lục giác đều 2n = 6: có 2 + 1 = 3 hình chữ nhật. Bát giác đều 2n = 8: có 3 + 2 + 1 = 6 hình chữ nhật. Ý tưởng: Với lục giác đều: ta bắt đầu từ đỉnh 1 và lấy đường kính 1-4, có 2 hình chữ nhật với đường chéo hcn là 1-4 đó là hình chữ nhật có cạnh là 1-2 và 1-3. Ta qua đỉnh 2 thì đường kính là đoạn 2-5 và ta chỉ lấy thêm một hình chữ nhật có cạnh là 2-3. Với đỉnh 3 thì không lấy được thêm do cạnh trùng với cạnh hình chữ nhật lấy từ đỉnh 1. Xây dựng tương tự với hình 30 cạnh đều: Từ đỉnh 1 với đường kính 1-16 ta chọn được 14 cạnh nên có 14 hình chữ nhật, từ đỉnh 2 thì có 13 và giảm dần cho tới đỉnh 14 thì còn 1 hình chữ nhật. Vậy hình đa giác 30 cạnh đều: 1 + 2 + … + 14 = 105.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $P$ gồm $11\times 11=121$ điểm nguyên với $x,y\in \{0,1,\dots ,10\}$. Đoạn thẳng dài 5 có hai đầu mút thuộc $P$ ứng với cặp điểm có vectơ chỉ phương $(a;b)$ với $a^2+b^2=25$, tức $(a;b)\in \{(5;0),(0;5),(3;4),(4;3)\}$.
- $(5;0)$: mỗi hàng có $11-5=6$ đoạn, $11$ hàng $\Rightarrow 66$ đoạn; tương tự $(0;5)$ cho $66$ đoạn. Tổng ngang-đứng: $132$.
- $(3;4)$: điểm đầu có $11-3=8$ lựa chọn $x$ và $11-4=7$ lựa chọn $y$, mỗi lựa chọn có 2 đoạn (dốc $\pm 4/3$) $\Rightarrow 8\cdot 7\cdot 2=112$ đoạn.
- $(4;3)$: tương tự $7\cdot 8\cdot 2=112$ đoạn.
Tổng: $132+112+112=356$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong đa giác đều 30 đỉnh, một tứ giác có 4 đỉnh là hình chữ nhật khi và chỉ khi hai đường chéo của nó là đường kính của đường tròn ngoại tiếp (hai cặp đỉnh đối xứng qua tâm). Đa giác 30 đỉnh có 15 đường kính nối các cặp đỉnh đối nhau. Mỗi hình chữ nhật tương ứng với việc chọn 2 trong 15 đường kính, nên số hình chữ nhật là $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần đếm có dạng $n=10k+2$ với $10000\le k\le 99999$ (để $n$ có 6 chữ số). Điều kiện chia hết cho 13: $10k+2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 10k\equiv 11(\mathrm{mod}13)$. Vì $10^{-1}\equiv 4(\mathrm{mod}13)$ nên $k\equiv 44\equiv 5(\mathrm{mod}13)$. Số $k$ nhỏ nhất $\ge 10000$ đồng dư 5 mod 13 là $k=10002$ (vì $10002=13\cdot 769+5$). Số $k$ lớn nhất $\le 99999$ đồng dư 5 mod 13: ta có $99999\equiv 3(\mathrm{mod}13)$, lùi dần đến $99988\equiv 5(\mathrm{mod}13)$, vậy $k=99988$. Số lượng: $\frac{99988-10002}{13}+1=\frac{89986}{13}+1=6922+1=6923$. Kiểm tra bằng cách khác: $n=13m$ có chữ số tận cùng 2 khi $3m\equiv 2(\mathrm{mod}10)\Rightarrow m\equiv 4(\mathrm{mod}10)$; với $m$ nhỏ nhất $7694$ ($n=100022$) và lớn nhất $76914$ ($n=999882$), số giá trị là $\frac{76914-7694}{10}+1=6923$. Vậy $|S|=6923$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm có dạng $n=10k+2$ với $10000\le k\le 99999$ (6 chữ số, tận cùng 2). Yêu cầu $13\mid n$: $10k+2\equiv 0(\mathrm{mod}13)\Rightarrow 10k\equiv 11(\mathrm{mod}13)$. Vì $10^{-1}\equiv 4(\mathrm{mod}13)$ (do $10\cdot 4=40\equiv 1$), suy ra $k\equiv 44\equiv 5(\mathrm{mod}13)$. Ta có $10000\equiv 3(\mathrm{mod}13)$ nên $k$ nhỏ nhất là $10002$; $99999\equiv 3(\mathrm{mod}13)$ nên $k$ lớn nhất là $99988$ (vì $99988\equiv 5$). Số giá trị $k$: $\frac{99988-10002}{13}+1=\frac{89986}{13}+1=6922+1=6923$. Vậy $|S|=6923$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh chọn ít nhất một nhóm ngành: $42-22=20$. Theo bao hàm - loại trừ: $20=6+9+10-(3+2+3)+a=25-8+a=17+a$, suy ra $a=3$. Vậy $17a^2=17\cdot 9=153$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 quyển từ 8 quyển truyện cười hoặc 7 quyển truyện trinh thám. Theo quy tắc cộng: $8+7=15$ cách chọn. Khớp đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5: chọn và sắp xếp 3 chữ số từ 5 chữ số, số cách là $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán áp dụng quy tắc nhân: chọn 1 áo trong 5 cách và chọn 1 quần trong 4 cách, nên số cách chọn một bộ đồ là $5\times 4=20$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số đôi một khác nhau, chọn và sắp xếp từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Số các số là hoán vị chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (360).

(AI giải đề cho tôi)
Muốn mua một loại đồ uống, bạn Minh chọn hoặc một trong 6 loại nước ngọt, hoặc một trong 4 loại nước lọc. Theo quy tắc cộng: $6+4=10$ cách. Khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: chọn 1 mặt trong 3 kiểu và 1 dây trong 4 kiểu, số cách chọn là $3\times 4=12$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tập A có 3 phần tử, số tập con gồm 2 phần tử là $C_3^2=3$: $\{1;3\}$, $\{1;5\}$, $\{3;5\}$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập các số tự nhiên bé hơn 100 (chữ số được lặp lại được). Không gian mẫu: số có 1 chữ số: 6 số; số có 2 chữ số: 6×6=36 số; tổng cộng n(Ω)=42.
a) Biến cố A (số lẻ): chữ số tận cùng lẻ (1;3;5). Số 1 chữ số: 3 số; số 2 chữ số: 3×6=18 số. Vậy n(A)=21. Biến cố B (số chẵn): chữ số tận cùng chẵn (2;4;6): tương tự n(B)=21. Vì một số không thể vừa lẻ vừa chẵn nên A∩B=∅, số kết quả thuận lợi cho A và B là n(A∩B)=0.
b) A∪B là biến cố 'Số lập được là số lẻ hoặc số chẵn', tức là biến cố chắc chắn (mọi số lập được đều thuộc A hoặc B). Số kết quả thuận lợi: n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)=21+21−0=42 (bằng n(Ω)).
c) Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5. Số 1 chữ số: 1 số (số 5); số 2 chữ số: hàng chục chọn 1 trong 6 chữ số, hàng đơn vị là 5: 6×1=6 số. Tổng: 7 số. Xác suất P=7/42=1/6.