Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Câu 1. Có bao nhiêu cách chọn $2$ học sinh từ một tổ gồm $8$ học sinh nam và $10$ học sinh nữ để một học sinh làm tổ trưởng và một học sinh làm tổ phó?

Trong hộp có 9 bi xanh, 5 bi đỏ (các viên bi khác nhau). Có bao nhiêu cách chọn 3 viên bi trong đó có đúng 1 viên bi đỏ?

Một lớp học có $10$ học sinh nam và $15$ học sinh nữ. Số cách chọn ra $3$ học sinh của lớp học sao cho trong $3$ bạn được chọn có cả nam và nữ bằng

Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất có $10$ điểm, trên đường thứ hai có $15$ điểm, có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các điểm đã cho?

Một tổ có $4$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $3$ học sinh trong đó có $2$ học sinh nam?

Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$ lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có hai chữ số khác nhau?

Tổ 1 lớp 12A có 12 học sinh gồm 8 nam và 4 nữ. Cô giáo chủ nhiệm cần chọn 2 học sinh của tổ 1 đi dự đại hội Đoàn cấp huyện, trong đó có một nam và một nữ. Số cách chọn là:

Một nhóm học sinh gồm $5$ nam và $6$ nữ. Số cách chọn ra một cặp nam – nữ từ nhóm học sinh đó là

Câu 1. Nhân dịp kỉ niệm 136 năm ngày sinh nhật Bác Hồ (19/5/1890 – 19/5/2026), trong giờ học Toán, cô Ánh tổ chức cho các bạn học sinh trong lớp chơi một trò chơi. Theo quy tắc mà cô đưa ra, mỗi học sinh cần chọn mười số khác nhau từ tập hợp $S$ gồm các số tự nhiên từ $1$ đến $1890$ và xếp mười số đó vào mười vị trí được đánh dấu trước trên một hình ngôi sao như hình vẽ dưới (các vị trí gồm $A_1,A_3,A_5,A_7,A_9$ đặt tại các đỉnh của ngôi sao và $A_2,A_4,A_6,A_8,A_{10}$ đặt tại giao điểm của các đường chéo của ngôi sao – quan sát hình vẽ).



Cô Ánh có hai loại phần quà: phần quà **Cháu yêu Bác Hồ** và phần quà **Muôn đời nhớ Bác**.
- Để nhận được phần quà **Cháu yêu Bác Hồ**, học sinh phải xếp được các số vào các vị trí $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_9,A_{10}$ theo thứ tự tăng dần, đồng thời các số được điền đều thuộc đoạn $[5;19]$.
- Để nhận được phần quà **Muôn đời nhớ Bác**, học sinh phải xếp được các số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) Bộ năm số được điền ở bộ năm vị trí $(A_1,A_3,A_5,A_7,A_9)$ lập thành một **cấp số nhân với công bội là số nguyên** theo thứ tự đó.
2) Tất cả các bộ ba số được điền ở các bộ ba vị trí $(A_1,A_2,A_3)$, $(A_3,A_4,A_5)$, $(A_5,A_6,A_7)$, $(A_7,A_8,A_9)$ và $(A_9,A_{10},A_1)$ đều lập thành **cấp số cộng** theo thứ tự đó.

Bạn Cường được tham gia trò chơi đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu cách điền số vào hình ngôi sao để bạn Cường nhận được một trong hai phần thưởng của cô Ánh?

Có $25$ cặp vận động viên tham gia cuộc thi bóng bàn đôi nam nữ quốc tế. Tại lễ khai mạc, một số vận động viên bắt tay nhau và hai người trong cùng một cặp thì không bắt tay. Sau lễ khai mạc, một vận động viên nam hỏi tất cả các vận động viên còn lại về số người mà họ đã bắt tay và nhận thấy số lượng vận động viên mà từng người đã bắt tay đều khác nhau. Hỏi người bạn nữ cùng cặp của vận động viên nam này đã bắt tay với bao nhiêu vận động viên?

Trong một giỏ hoa quả có $6$ quả cam và $7$ quả táo. Bạn Nga chọn lấy ngẫu nhiên $1$ quả để ăn. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn?

Câu 8. Khu vui chơi có mở một cửa hàng sách và đang cần tuyển nhân viên trông coi cửa hàng. Để tuyển nhân viên đòi hỏi có khả năng tư duy và suy luận tốt; Chủ cửa hàng đưa ra thử thách như sau: Bộ truyện tranh thám tử Kenichi gồm $44$ tập đang được sắp xếp từ $1$ tới $44$ trên giá (giả sử đang tính từ trái qua phải và tất cả cuốn truyện được sắp xếp cùng chiều). Yêu cầu hãy thực hiện việc sắp xếp các tập truyện theo trình tự ngược lại từ $44$ tới $1$ theo quy tắc: đổi chỗ $2$ tập truyện đang xếp liên tiếp sẽ bị tính $1$ điểm; đổi chỗ $2$ tập truyện mà ở giữa chúng có $3$ tập khác thì không bị tính điểm. Bạn An muốn ứng tuyển vào nhân viên cửa hàng. Hỏi điểm số của An nhỏ nhất là bao nhiêu điểm để thực hiện được thử thách trên.

Cho các chữ số $0;2;3;4;5;7;8$. Từ các chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4?

Trên đường đi từ nhà Mạnh tại vị trí điểm $M$ đến trường tại vị trí điểm $C$ có vị trí điểm $A$ người ta đang thi công sửa chữa đường nên không thể đi qua được. Biết rằng toàn bộ cung đường theo bản đồ từ dưới lên trên và từ trái qua phải là đường một chiều nên Mạnh chỉ được phép đi lên hoặc đi sang phải. Vậy Mạnh có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường?

Câu 17. Một nhóm gồm $5$ bạn nam, $4$ bạn nữ và thầy giáo đứng thành $2$ hàng, mỗi hàng $5$ người để chụp ảnh kỉ niệm. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng để khi đứng, thầy giáo xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng

Câu 11. Từ các số $0,1,2,\dots ,8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau mà có $3$ chữ số chẵn, $2$ số lẻ và hai số $2,3$ không đồng thời có mặt.

Xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dũng, Phúc vào bàn dài nằm ngang, có năm ghế, mỗi bạn ngồi một ghế. Có bao nhiêu cách xếp sao cho An và Bình ngồi hai ghế cạnh nhau?

Một mạng lưới gồm $4$ trạm liên lạc vệ tinh được đặt tại các vị trí $A,B,C$ và $D$ tạo thành một tứ diện. Ban đầu, tín hiệu được phát đi từ trạm tại đỉnh $A$. Sau mỗi lần truyền, tín hiệu sẽ được truyền ngẫu nhiên sang một trạm khác nằm ở đỉnh kề với trạm hiện tại (tức là nối với nhau bằng một cạnh của tứ diện). Hỏi sau đúng $4$ lần truyền, có bao nhiêu cách để tín hiệu quay trở lại trạm tại đỉnh $A$?

Câu 9. Mùa giải 2026 – 2027, giải vô địch quốc gia Tây Ban Nha (La Liga) có $20$ đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và về. Toàn bộ mùa giải có bao nhiêu trận đấu?

Trên đường Bình đi từ nhà $(O)$ đến trường học $(Q)$ có điểm $K$ đang bị ngập nên không thể đi qua $K$. Biết rằng Bình chỉ được đi sang phải hoặc đi lên. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ $O$ đến $Q$ mà không đi qua điểm $K$?