Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3AC$. Trên cạnh $C{C}^{\prime }$ lấy điểm $E$ sao cho $2E{C}^{\prime }=3EC$. Khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BE)$ bằng $6cm$. Gọi $d=(A^{\prime }BE)\cap (ABC)$, số đo của góc nhị diện $[A^{\prime },d,A]$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $I$ là điểm bất kì trong không gian sao cho biểu thức $P=4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối chóp $I.ABC$ bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

b. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin \alpha$.

c. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh $S$.

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng?

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $2018$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chia khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=1,SB=2,SC=3$ và $\widehat{ASB}=60^{\circ },\widehat{BSC}=120^{\circ },\widehat{CSA}=90^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $S_{AB{C}^{\prime }}=\sqrt{3}$. Mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ tạo với đáy một góc $\alpha$. Tính $\cos \alpha$ để $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ lớn nhất.

Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,P,Q$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ thỏa mãn $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}$, $\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, $\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}$, $\frac{C^{\prime }Q}{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{5}$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích khối tứ diện $MNPQ$ và khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính tỷ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $9\text{ cm}$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n\text{ (cm)}$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n\text{ (cm)}$ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $a{\text{ (cm}}^3\text{)}$, Tổng các chữ số của số $a$ bằng bao nhiêu?

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $8\text{ cm}$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n\text{ (cm)}$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n\text{ (cm)}$ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $a{\text{ (cm}}^3\text{)}$, Tổng các chữ số của số $a$ bằng bao nhiêu?

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và có thể tích $V=12$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$; $P$ là điểm thuộc cạnh $SC$ sao cho $PS=2PC$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $SD$ tại $Q$. Thể tích khối chóp $S.MNPQ$ bằng:

Có một mảng bìa hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=2a,AD=4a$. Người ta đánh dấu $E$ là trung điểm $BC$ và $F\in AD$ sao cho $AF=a$. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh $DC$ trùng cạnh $AB$ tạo thành một hình trụ. Tính thể tích tứ diện $ABEF$ với các đỉnh $A,B,E,F$ nằm trên hình trụ vừa tạo thành.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng 4 (tham khảo hình vẽ). Gọi $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Giá trị nhỏ nhất của $V$ gần với giá trị nào sau đây nhất?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng $1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $BC$. Mặt phẳng $(DMN)$ chia hình lập phương thành 2 phần. Gọi $V_1$ là thể tích của phần chứa đỉnh $A$ và $V_2$ là thể tích của phần còn lại. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$. Gọi các điểm $M,N,E$ là trung điểm các cạnh $BC,C{C}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$. Mặt phẳng $(MNE)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần có thể tích $V_1,V_2$ ($V_1$ là thể tích khối đa diện chứa điểm $A$). Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA$ vuông góc mặt đáy $(ABC)$, $BC=a$, góc hợp bởi $(SBC)$ và $(ABC)$ là $60^{\circ }$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt $SB,SC$ lần lượt tại $D,E$. Thể tích khối đa diện $ABCED$ là