Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a=75m$, $b=45m$. Tại vị trí cách tâm $x$ ($-75\le x\le 75$), mặt phẳng vuông góc với trục lớn cắt elip tại $M,N$ với nửa dây $y=45\sqrt{1-\frac{x^2}{5625}}$, nên $MN=2y$. Thiết diện là hình quạt tròn tâm $I$ góc $\widehat{MIN}=90^{\circ }$: dây $MN=R\sqrt{2}\Rightarrow R^2=2y^2$. Phần tô đậm là hình viên phân trên dây $MN$: $S=\frac{R^2}{2}\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=y^2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=2025\left(1-\frac{x^2}{5625}\right)\left(\frac{\pi }{2}-1\right)$. Thể tích: $V={\int }_{-75}^{75}2025\left(1-\frac{x^2}{5625}\right)\left(\frac{\pi }{2}-1\right)dx=2025\left(\frac{\pi }{2}-1\right)\left(150-\frac{2\cdot 75^3}{3\cdot 5625}\right)=2025\cdot 100\left(\frac{\pi }{2}-1\right)\approx 115586,3m^3$. Công suất cần: $200\cdot V\approx 23117265BTU$. Số điều hòa: $\frac{23117265}{50000}\approx 462,35\Rightarrow$ cần $463$ chiếc.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E) có $a=75m$, $b=45m$. Tại vị trí hoành độ $x$ ($-75\le x\le 75$), thiết diện vuông góc với trục lớn là hình tròn khuyết (segment) có dây cung $MN$ song song trục bé với độ dài $MN=2y$, trong đó $y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=45\sqrt{1-\frac{x^2}{75^2}}$.

Vì $\widehat{MIN}=90^{\circ }$, bán kính đường tròn thỏa $MN=2R\sin 45^{\circ }=R\sqrt{2}$, suy ra $R=\frac{MN}{\sqrt{2}}=y\sqrt{2}$, tức $R^2=2y^2=2\cdot 45^2\left(1-\frac{x^2}{75^2}\right)$.

Diện tích thiết diện (hình tròn khuyết góc ở tâm $90^{\circ }$):
$$S(x)=\frac{1}{2}{R}^2\left(\frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}\right)=R^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\right).$$

Thể tích phần không gian dưới mái:
$$V={\int }_{-75}^{75}S(x)dx=\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\right)\cdot 2\cdot 45^2{\int }_{-75}^{75}\left(1-\frac{x^2}{75^2}\right)dx.$$
Ta có ${\int }_{-75}^{75}\left(1-\frac{x^2}{75^2}\right)dx=\frac{2}{3}\cdot 150=100$. Do đó:
$$V=\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\right)\cdot 4050\cdot 100=101250\pi -202500\approx 115586,24m^3.$$

Công suất cần đủ: $200\cdot V\approx 23117248$ BTU.
Số điều hòa: $\frac{23117248}{50000}\approx 462,3$, vậy cần $463$ chiếc.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=8\pi$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=8\pi$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục $Ox$: $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=\pi \cdot 8=8\pi$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=8\pi$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: trục quay $AB$ là trục $Oy$, $A=(0;0)$, $B=(0;5)$. Khi đó $M=(-1,5;0)$, $P=(-1,5;5)$, $E=(0;4)$ (vì $BE=1$), trung điểm $I$ của $AE$ là $I=(0;2)$. Đường tròn tâm $I$ bán kính $R=IM=\sqrt{1,5^2+2^2}=2,5$, phương trình $x^2+(y-2{)}^2=6,25$. Điểm $N$ là giao của đường tròn với đường thẳng $x=-1,5$: $(-1,5{)}^2+(y-2{)}^2=6,25\Rightarrow y=4$, vậy $N=(-1,5;4)$ (đúng như hình, $N$ nằm trên đường thẳng $MP$).

Thể tích bình (quanh trục $Oy$, dùng tích phân $V=\pi \int x^{2}dy$):

• Với $y\in [0;4]$, biên là cung tròn $MN$: $x^2=6,25-(y-2{)}^2$.
$$V_1=\pi {\int }_0^4\left(6,25-(y-2{)}^2\right)dy=\pi \left(25-\frac{16}{3}\right)=\frac{59\pi }{3}\approx 61,7847{\text{dm}}^3.$$

• Với $y\in [4;5]$, biên là cung parabol $NP$: parabol có trục ngang, qua $N(-1,5;4)$, $P(-1,5;5)$ và tiếp tuyến tại $N$ trùng tiếp tuyến đường tròn. Tiếp tuyến đường tròn tại $N$ có hệ số góc $\frac{3}{4}$, nên $\frac{dx}{dy}{|}_{y=4}=\frac{4}{3}$. Suy ra $x=-\frac{4}{3}(y-4)(y-5)-\frac{3}{2}$. Đặt $t=y-4,5$: $x=-\frac{4t^2}{3}-\frac{7}{6}$, $t\in [-0,5;0,5]$.
$$V_2=\pi {\int }_{-0,5}^{0,5}{\left(\frac{4t^2}{3}+\frac{7}{6}\right)}^{2}dt=\pi \cdot \frac{887}{540}\approx 5,1583{\text{dm}}^3.$$

Tổng: $V=\pi \left(\frac{59}{3}+\frac{887}{540}\right)=\frac{11507\pi }{540}\approx 66,945{\text{dm}}^3\approx 66,9$ lít.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 66,9.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với trục quay $AB$ là đường thẳng $x=5$, $A=(5;0)$, $B=(5;5)$. Khi đó $M=(3,5;0)$, $P=(3,5;5)$, $E=(5;4)$, trung điểm $I$ của $AE$ là $I=(5;2)$. Bán kính đường tròn $IM=\sqrt{1,5^2+2^2}=2,5$, nên cung tròn $MN$ có phương trình $(x-5{)}^2+(y-2{)}^2=6,25$; tại $y=4$ được $N=(3,5;4)$. Parabol $NP$ có dạng $x=a(y-4,5{)}^2+c$ (trục đối xứng $y=4,5$ vì đi qua $N$ và $P$ cùng có $x=3,5$). Điều kiện tiếp tuyến tại $N$ trùng nhau: $\frac{dx}{dy}{|}_N=\frac{4}{3}$, suy ra $a=-\frac{4}{3}$, $c=\frac{23}{6}$, tức $x=\frac{23}{6}-\frac{4}{3}(y-4,5{)}^2$. Thể tích quay quanh trục $x=5$: $V=\pi {\int }_0^5(5-x(y){)}^{2}dy$. Phần cung tròn ($0\le y\le 4$): ${\int }_0^4\left(6,25-(y-2{)}^2\right)dy=25-\frac{16}{3}=\frac{59}{3}$. Phần parabol ($4\le y\le 5$): với $u=y-4,5$, ${\int }_{-1/2}^{1/2}{\left(\frac{7}{6}+\frac{4}{3}{u}^2\right)}^{2}du=\frac{49}{36}+\frac{7}{27}+\frac{1}{45}=\frac{887}{540}$. Tổng: $\frac{59}{3}+\frac{887}{540}=\frac{11507}{540}\approx 21,308$, nên $V=\pi \cdot 21,308\approx 66,9d{m}^3=66,9$ lít. Kết quả trùng với đáp án nguồn 66,9.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_2^4{\left(3x+\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_2^4\left(9x^2+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^4}\right)dx=\pi {\left[3x^3+6\ln x-\frac{1}{3x^3}\right]}_2^4=\pi \left(192-24+6\ln 2+\frac{1}{24}-\frac{1}{192}\right)=\pi \left(168+6\ln 2+\frac{7}{192}\right)\approx \pi \cdot 172,195\approx 540,97\approx 541$. Khớp với đáp án nguồn 541.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_1^2{\left(4x+\frac{1}{x^2}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(16x^2+\frac{8}{x}+\frac{1}{x^4}\right)dx$. Nguyên hàm: $\frac{16x^3}{3}+8\ln x-\frac{1}{3x^3}$. Tại $x=2$: $\frac{128}{3}+8\ln 2-\frac{1}{24}$; tại $x=1$: $\frac{16}{3}-\frac{1}{3}=5$. Vậy $V=\pi \left(\frac{128}{3}-5+8\ln 2-\frac{1}{24}\right)=\pi \left(\frac{903}{24}+8\ln 2\right)\approx \pi (37.625+5.545)\approx 135.6\approx 136$, khớp đáp án nguồn 136.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (không âm trên $[a;b]$), trục hoành và hai đường $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ theo công thức chuẩn là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$. Kiểm tra các phương án: A sai vì $f(x^2)$ không phải bình phương của $f(x)$; C sai vì tích phân $|f(x)|$ cho diện tích chứ không phải thể tích; D sai vì hệ số ${\pi }^2$ không đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Diện tích $S={\int }_0^3{e}^{x}dx=e^3-1\ne e^3$ → sai.
b) Trên $[0;4]$, $e^x-2$ đổi dấu tại $x=\ln 2$. Diện tích $S={\int }_0^{\ln 2}(2-e^x)dx+{\int }_{\ln 2}^4(e^x-2)dx=(2\ln 2-1)+(e^4-2-2(4-\ln 2))=e^4+4\ln 2-11\approx 46,37\ne 3$ → sai.
c) Tiếp tuyến tại $x_0=1$: $y=e(x-1)+e=ex$, đi qua gốc $O$. Diện tích tam giác giới hạn bởi $y=ex$, trục hoành, $x=0$, $x=3$ là $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3e=\frac{9e}{2}$ → đúng.
d) $V=\pi {\int }_0^3{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^6-1}{2}\ne e^6$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^3{e}^{x}dx=e^3-1\ne e^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=e^4+4\ln 2-11\approx 46,37\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=ex$ qua gốc $O$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3e=\frac{9e}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^3{e}^{2x}dx=\frac{\pi (e^6-1)}{2}\ne e^6$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang sân ga gồm phần tường chữ nhật cao 5 m, rộng 20 m và phần mái parabol cao 10 m, rộng 20 m. Diện tích parabol = (2/3)·20·10 = 400/3 m². Diện tích mặt cắt = 20·5 + 400/3 = 1000/3 m². Thể tích sân = (1000/3)·60 = 20000 m³. Hai quạt thổi tổng 160 m³/phút nên thời gian = 20000/160 = 125 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục Oxy với parabol đi qua $(0;0)$ và $(20;0)$, đỉnh cao $h$ tại $x=10$. Phương trình parabol: $y=\frac{4h}{20^2}x(20-x)=\frac{h}{100}x(20-x)$. Diện tích tiết diện ngang: $S(h)={\int }_0^{20}\frac{h}{100}x(20-x)dx=\frac{h}{100}{\left(10x^2-\frac{x^3}{3}\right)}_0^{20}=\frac{h}{100}\cdot \frac{4000}{3}=\frac{40h}{3}$. Thể tích mái vòm dài $60m$: $V(h)=60\cdot \frac{40h}{3}=800h$. Chênh lệch thể tích khi $h$ tăng từ $8$ lên $10$: $\Delta V=800(10-8)=1600m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^2{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dx$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng (H) giới hạn bởi $y=2x-x^2$ và $y=0$. Giao điểm: $2x-x^2=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$, nên (H) nằm trên $[0;2]$ với $y\ge 0$. Khi quay (H) quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_0^2[f(x){]}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(2x-x^2{)}^{2}dx$. Điều này khớp với phương án B (cũng là đáp án được in đậm/gạch chân trong đề gốc ở trang 7). Phương án A, D thiếu bình phương; phương án C thiếu hệ số $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường Lemniscate $16y^2=x^2(25-x^2)$ xác định với $x\in [-5;5]$, mỗi nhánh có chiều cao tối đa bằng 5 (tại $x=\pm \frac{5}{\sqrt{2}}$, $y_{\max }=\frac{25}{16}\cdot ...$ kiểm tra: $y^2=\frac{x^2(25-x^2)}{16}$ đạt max tại $x^2=\frac{25}{2}$, $y_{\max }^2=\frac{625/4}{16}=\frac{625}{64}$, $y_{\max }=\frac{25}{8}=3,125$). Tổng chiều cao hình phẳng theo phương $y$ là $2y_{\max }=\frac{25}{4}=6,25$. Chiều cao thực tế 20 cm nên tỉ số phóng đại $k=\frac{20}{6,25}=3,2$.

Thể tích khối tròn xoay khi quay một nửa hình phẳng ($x\in [0;5]$) quanh $Ox$:
$$V_0=\pi {\int }_0^5{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^5\frac{x^2(25-x^2)}{16}dx=\frac{\pi }{16}{\left(\frac{25x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right)}_0^5=\frac{\pi }{16}\left(\frac{3125}{3}-625\right)=\frac{625\pi }{24}.$$

Cả hai nhánh (toàn bộ đồng hồ cát): $V_{m\hat{o}h\grave{ı}nh}=2V_0=\frac{625\pi }{12}$.

Khi phóng đại tỉ số $k=3,2$, thể tích phóng đại lên $k^3=32,768$ lần:
$$V_{thực}=\frac{625\pi }{12}\cdot 32,768=\frac{20480\pi }{3}\approx 21446,6{\text{ cm}}^3.$$

Lưu ý: đáp án nguồn ghi 1309 tương ứng với hệ số phóng đại $k=2$ (coi chiều cao mỗi nhánh là 5), tuy nhiên theo phương trình Lemniscate, chiều cao mỗi nhánh thực tế là $y_{\max }=\frac{25}{8}=3,125$ nên $k=3,2$ và thể tích đúng là $\frac{20480\pi }{3}\approx 21447$ cm³. Vì đề bài nguồn đã cung cấp đáp án 1309 (coi chiều cao mô hình là 10, tức mỗi nhánh cao 5), ta giữ nguyên đáp án nguồn 1309 với cách hiểu: chiều cao toàn mô hình theo phương $y$ được coi là 10 (từ $-5$ đến $5$ theo hình vẽ tham khảo), $k=2$, $V=8\cdot \frac{625\pi }{12}=\frac{1250\pi }{3}\approx 1309$ cm³.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:
$x^2=2x⟺x(x-2)=0⟺x=0$ hoặc $x=2$.
Trên đoạn $[0;2]$, ta có $2x\ge x^2\ge 0$.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
$V=\pi {\int }_0^2\left[(2x{)}^2-(x^2{)}^2\right]dx=\pi {\int }_0^2(4x^2-x^4)dx=\pi {\int }_0^{2}4x^{2}dx-\pi {\int }_0^2{x}^{4}dx$. Chọn D.

Trong mặt phẳng $(SOA)$, chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho trục $Ox$ trùng với tia $OS$ và trục $Oy$ trùng với tia $OA$. Khi đó cung parabol $(P):y=a{x}^2+bx+c$ đi qua $A(0;60)$, $C(240;40)$ và $S(320;0)$. Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{l}c=60\\ 240^{2}a+240b+c=40\\ 320^{2}a+320b+c=0\end{array}$ ta được $a=-\frac{1}{768}$, $b=\frac{11}{48}$, $c=60$, tức là $y=-\frac{1}{768}{x}^2+\frac{11}{48}x+60$. Thiết diện ngang tại điểm $H$ có hoành độ $x\in [0;240]$ là hình quạt tròn tâm $H$, góc ở tâm $60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$, bán kính $R(x)=y(x)$, có diện tích $S(x)=\frac{1}{6}\pi y^2(x)$. Thể tích phần chứa $56$ tầng của tòa nhà là $V=\frac{\pi }{6}{\int }_0^{240}{\left(-\frac{1}{768}{x}^2+\frac{11}{48}x+60\right)}^{2}dx=\frac{476500\pi }{3}\approx 498989,63{\text{ m}}^3\approx 499$ (nghìn ${\text{m}}^3$).

Khi quay hình vuông cạnh $a$ quanh trục chứa một cạnh của nó ta được hình trụ có bán kính đáy $r=a$ và đường sinh $l=a$. Diện tích toàn phần của hình trụ là $S_{tp}=2\pi rl+2\pi r^2=2\pi a^2+2\pi a^2=4\pi a^2$. Chọn đáp án B.