Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Chọn hệ trục tọa độ phù hợp sao cho đường elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường sinh elip quay quanh trục đối xứng.
Tích phân thể tích cho kết quả xấp xỉ $V\approx 344964{\text{ cm}}^3$.

Khi quay hình vuông $ABCD$ quanh trục $AB$, ta được hình trụ tròn xoay có bán kính đáy $r=AD=a$ và chiều cao $h=AB=a$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot a\cdot a=2\pi a^2$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+y=4$.
Điểm $M(x;4-x)$ thuộc đoạn $AB$ với $0<x<4$.
$H$ là hình chiếu của $M$ lên $OA$, suy ra $H(x;0)$.
Độ dài $OH=x$ và $MH=4-x$.
Khi quay tam giác vuông $OMH$ quanh trục $OA$, ta được khối nón có chiều cao $h=OH=x$ và bán kính đáy $r=MH=4-x$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (4-x{)}^{2}x$.
Xét hàm số $g(x)=x(4-x{)}^2$ trên khoảng $(0;4)$:
$g^{\prime }(x)=(4-x{)}^2-2x(4-x)=(4-x)(4-3x)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{4}{3}\in (0;4)$.
Giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $g\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}{\left(4-\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{4}{3}\cdot \frac{64}{9}=\frac{256}{27}$.
Vậy $V_{\max }=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{256}{27}=\frac{256\pi }{81}$.

Mặt cắt dọc của thùng rượu là hình phẳng giới hạn bởi đường cong parabol. Chọn hệ trục tọa độ với đỉnh parabol tại $(0;40)$ và đi qua $(50;30)$.
Phương trình parabol: $y=40-\frac{x^2}{250}$.
Thể tích thùng rượu là: $V=\pi {\int }_{-50}^{50}{y}^{2}dx=2\pi {\int }_0^{50}{\left(40-\frac{x^2}{250}\right)}^{2}dx\approx 425162{\text{ cm}}^3\approx 425\text{ lıˊt}$.

Hình thang $ABCD$ có $AB\perp BC$, $AD\perp AB$, $AD=2a$, $BC=a,AB=a$.
Khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh $BC$, ta có thể coi khối tròn xoay $(T)$ được ghép bởi:
- Khối trụ sinh ra khi quay hình chữ nhật $ABHD$ (với $H$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $DH\perp BC$ tại $H$, $DH=AB=a,BH=AD=2a$). Bán kính đáy $R=DH=a$, chiều cao $h_1=BH=2a$. Thể tích khối trụ là $V_{\text{trụ}}=\pi R^2{h}_1=\pi a^2(2a)=2\pi a^3$.
- Trừ đi khối nón bị rỗng sinh ra bởi tam giác vuông $CDH$ vuông tại $H$ có $CH=BH-BC=2a-a=a$ và bán kính đáy $DH=a$. Thể tích khối nón là $V_{\text{noˊn}}=\frac{1}{3}\pi (DH{)}^2\cdot CH=\frac{1}{3}\pi a^2\cdot a=\frac{\pi a^3}{3}$.
Thể tích khối tròn xoay $(T)$ là:
$V=V_{\text{trụ}}-V_{\text{noˊn}}=2\pi a^3-\frac{\pi a^3}{3}=\frac{5\pi a^3}{3}.$

Phương trình hoành độ giao điểm: $2x-x^2=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Thể tích vật thể tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^2(2x-x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(4x^2-4x^3+x^4)dx={\pi \left(\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right)|}_0^2=\pi \left(\frac{32}{3}-16+\frac{32}{5}\right)=\frac{16}{15}\pi$.

Đặt $AB=c,AC=b$, chiều cao kẻ từ $A$ xuống $BC$ là $h=\frac{bc}{a}$ với $a=\sqrt{b^2+c^2}$.
Khi quay quanh $AC$: bán kính đáy là $c$, chiều cao $b\Rightarrow V_2=\frac{1}{3}\pi c^{2}b=3\pi \Rightarrow c^{2}b=9$.
Khi quay quanh $AB$: bán kính đáy là $b$, chiều cao $c\Rightarrow V_3=\frac{1}{3}\pi b^{2}c=4\pi \Rightarrow b^{2}c=12$.
Chia hai biểu thức: $\frac{b^{2}c}{c^{2}b}=\frac{b}{c}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\Rightarrow b=\frac{4}{3}c$.
Thay vào: $c^2\cdot \frac{4}{3}c=9\Rightarrow c^3=\frac{27}{4}\Rightarrow c=\frac{3}{\sqrt[3]{4}},b=\sqrt[3]{16}$.
Đặc biệt, ta có hệ thức giữa các thể tích: $\frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{V_2^2}+\frac{1}{V_3^2}$.
$\frac{1}{V_1^2}=\frac{1}{(3\pi {)}^2}+\frac{1}{(4\pi {)}^2}=\frac{1}{9{\pi }^2}+\frac{1}{16{\pi }^2}=\frac{25}{144{\pi }^2}\Rightarrow V_1=\frac{12\pi }{5}$

Hoành độ giao điểm với trục $Ox$: $x^2-1=0\iff x=\pm 1$.
Thể tích khối tròn xoay:
$V=\pi {\int }_{-1}^1(x^2-1{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^1(x^4-2x^2+1)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right]}_{-1}^1=2\pi \left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)=2\pi \cdot \frac{8}{15}=\frac{16}{15}\pi$.

Trên đoạn $[-1;1]$, ta có $2-x^2\ge x^2\ge 0$ nên $V=\pi {\int }_{-1}^1(2-x^2{)}^{2}dx-\pi {\int }_{-1}^1(x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^1(x^4-4x^2+4)dx-\pi {\int }_{-1}^1{x}^{4}dx$.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V=\pi {\int }_0^3(2x-1{)}^{2}dx$.

Diện tích thiết diện tại điểm có hoành độ $x\in [-4;4]$ là $S(x)=\frac{1}{2}(16-x^2)$. Thể tích vật thể là $V={\int }_{-4}^4\frac{1}{2}(16-x^2)dx=\frac{128}{3}\approx 42,7$.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^3(2x-1{)}^{2}dx$.

Thiết diện tại điểm có hoành độ $x\in [-2;2]$ là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $\sqrt{4-x^2}$, nên diện tích thiết diện là $S(x)=\frac{1}{2}(4-x^2)$. Thể tích vật thể là $V={\int }_{-2}^2\frac{1}{2}(4-x^2)dx=\frac{16}{3}\approx 5,3$.

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ là:
$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\pi {\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\pi \left(\frac{\pi }{4}-0\right)=\frac{{\pi }^2}{4}$. Chọn A.

Gọi hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k<0$. Phương trình của $d$ là:
$y-1=k(x-1)⟺y=kx-k+1$.
- Cho $y=0⟹x_A=1-\frac{1}{k}>0$ (vì $k<0$).
- Cho $x=0⟹y_B=1-k>0$.
Khi quay tam giác vuông $OAB$ quanh trục $Oy$, ta thu được hình nón có bán kính đáy $R=OA=1-\frac{1}{k}$ và chiều cao $h=OB=1-k$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(1-\frac{1}{k}\right)}^2(1-k)$.
Đặt $t=-k>0$, ta có $1-\frac{1}{k}=1+\frac{1}{t}=\frac{t+1}{t}$ và $1-k=1+t$.
$V=\frac{\pi }{3}\frac{(t+1{)}^3}{t^2}$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{(t+1{)}^3}{t^2}$ trên $(0;+\infty )$:
$g^{\prime }(t)=\frac{3(t+1{)}^2{t}^2-2t(t+1{)}^3}{t^4}=\frac{(t+1{)}^2(t-2)}{t^3}=0⟺t=2$.
Bảng biến thiên cho thấy $g(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=2$ với $g(2)=\frac{27}{4}$.
Vậy $V_{\min }=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{27}{4}=\frac{9\pi }{4}$. Chọn B.

Chọn D.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $S_1$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^4{\left(\frac{1}{4}{x}^2\right)}^{2}dx=\frac{\pi }{16}{\int }_0^4{x}^{4}dx=\frac{\pi }{16}{\frac{x^5}{5}|}_0^4=\frac{64\pi }{5}$ (hoặc theo đề bài hình phẳng $S_1$ cho đáp án D).

Khi quay tam giác đều $ABC$ quanh đường cao $AH$:
- Chiều cao của khối nón là $h=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- Bán kính đáy của khối nón là $r=BH=\frac{a}{2}$.
Thể tích của khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{24}$
Chọn C.

Chọn C.
Theo công thức tính thể tích vật thể theo thiết diện tích phân, $V={\int }_a^{b}S(x)dx$.

Chọn A.
- Khi tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $A$) quay quanh $AD$, ta được khối nón có bán kính đáy $R_1=AB=a$, chiều cao $h_1=AD=a$. Thể tích $V_1=\frac{1}{3}\pi R_1^2{h}_1=\frac{1}{3}\pi a^3$.
- Vì $DA\perp (ABC)\Rightarrow DA\perp BC$. Lại có $DB\perp BC\Rightarrow BC\perp (ABD)\Rightarrow BC\perp AB$, nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Khi tam giác $ABC$ quay quanh $AB$, ta được khối nón có bán kính đáy $R_2=BC=a$, chiều cao $h_2=AB=a$. Thể tích $V_2=\frac{1}{3}\pi R_2^2{h}_2=\frac{1}{3}\pi a^3$.
- Tam giác $DBC$ vuông tại $B$ có $BC=a$ và $BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$. Khi quay quanh $BC$, ta được khối nón có bán kính đáy $R_3=BD=a\sqrt{2}$, chiều cao $h_3=BC=a$. Thể tích $V_3=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{2}{)}^{2}a=\frac{2}{3}\pi a^3$.
Suy ra $V_1+V_2=\frac{1}{3}\pi a^3+\frac{1}{3}\pi a^3=\frac{2}{3}\pi a^3=V_3$.

Hoành độ giao điểm trên $[0;2]$ là $x=\sqrt{3}$. Thể tích $V=\pi {\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{1}{27}{x}^{6}dx+\pi {\int }_{\sqrt{3}}^2(4-x^2)dx=\left(-\frac{20}{7}\sqrt{3}+\frac{16}{3}\right)\pi$, suy ra $a=20,b=7,c=16,d=3\Rightarrow P=20+7+16+3=46$.