Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(3)=21,{\int }_0^{1}f(3x)dx=9$. Tính tích phân $I={\int }_0^{3}x\cdot f^{\prime }(x)dx$.

Biết rằng $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$. Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ được biểu diễn trong hình bên dưới.



Biết rằng diện tích các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là $S_A=5,S_B=2$. Khi $F(-2)=1$. Hãy tính giá trị $F(1)$.

Biết ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=a\sqrt{2}+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}$ (hoặc tương tự ${\int }_1^e\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx=ae+b$). Tính $P=a\cdot b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Biết ${\int }_1^{4}x\cdot f^{\prime \prime }(x-1)dx=7$ và ${\int }_1^{2}2x\cdot f^{\prime }(x^2-1)dx=-3$. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm có hoành độ $x=3$ là:

Biết ${\int }_0^2{e}^x(2x+e^x)dx=a{e}^4+b{e}^2+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Tính $S=a+b+c$.

Cho parabol $y=x^2$ và tiếp tuyến $At$ tại $A(1;1)$. Diện tích phần gạch chéo là:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0;2]$ và $f(2)=3;{\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Tính $I={\int }_0^{2}x\cdot f^{\prime }(x)dx$.

Cho hai hàm số $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^4+a{x}^2+b;(a,b\in \mathbb{R})$ có đồ thị $(C)$ và $g(x)=m{x}^2+nx+p;(m,n,p\in \mathbb{R})$ có đồ thị $(P)$ như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $(P)$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y=x\sqrt{1+x^2}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$. Biết $S=a\sqrt{2}+b$ ($a,b\in \mathbb{Q}$). Tính $a+b$.

Cho $I={\int }_0^{4}x\sqrt{1+2x}dx$ và $u=\sqrt{2x+1}$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có độ dài trục lớn bằng 2 m, độ dài trục bé bằng 1 m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3,5 m. Thùng được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 0,75 m. Tính thể tích $V$ của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho $I={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{2x+m}}$, $m$ là số thực dương. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $I\ge 1$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên đoạn $[0;5]$ thỏa mãn ${\int }_0^{5}x{f}^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=8$; $f(5)=\ln 5$. Tính $I={\int }_0^5{e}^{f(x)}dx$.

Biết ${\int }_0^1\frac{x^2+2x}{(x+3{)}^2}dx=\frac{a}{4}-4\ln \frac{4}{b}$, với $a,b$ là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức $a^2+b^2$ bằng

Cho hàm số $f:[0;\frac{\pi }{2}]\to \mathbb{R}$ là hàm liên tục thỏa mãn ${\int }_0^{\pi /2}[(f(x){)}^2-2f(x)(\sin x-\cos x)]dx=1-\frac{\pi }{2}$. Tính tích phân ${\int }_0^{\pi /2}f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Biết $F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in [-5;2]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f(x)dx=\frac{14}{3}$. Tính $F(2)-F(-5)$.


Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=g(x)=xf(x^2)$ có đồ thị trên đoạn $[0;2]$ như hình vẽ. Biết diện tích miền tô màu là $S=\frac{5}{2}$, tính tích phân $I={\int }_1^{4}f(x)dx$.


Cho đồ thị $(C):y=\sqrt{x}$. Gọi $M$ là điểm thuộc $(C)$, $A(9;0)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, đường thẳng $x=9$ và trục hoành; $S_2$ là diện tích tam giác $OMA$. Tọa độ điểm $M$ để $S_1=2S_2$ là

Cho $\int f(x)dx=x^2+x+C_1,\int g(x)dx=x^4+x^3+C_2$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=2,x=6$. Khi đó: