Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$. Khi đó $${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+3x+2}=[\ln (x+1)-\ln (x+2){]}_0^1=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3.$$ Vậy $a=2,b=-1$, suy ra $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\mathrm{e}}^x$, $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{t}$, đổi cận: $x=\ln 3\to t=3$; $x=\ln 6\to t=6$.

Khi đó mẫu số: ${\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^{-x}-3=t+\frac{2}{t}-3=\frac{t^2-3t+2}{t}=\frac{(t-1)(t-2)}{t}$.

Suy ra $$I={\int }_3^6\frac{\mathrm{d}t}{t^2-3t+2}={\int }_3^6\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t-1}\right)\mathrm{d}t=[\ln (t-2)-\ln (t-1){]}_3^6$$
$$=(\ln 4-\ln 5)-(\ln 1-\ln 2)=\ln 4-\ln 5+\ln 2=\ln 8-\ln 5=3\ln 2-\ln 5.$$

Vậy $a=2$, $b=5$ và $P=ab=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm của $y=x^2$ và $y=-2x+3$: $x^2+2x-3=0\iff x=1$ (hoặc $x=-3$ loại). Trên $[0;1]$ đường thẳng nằm trên parabol, trên $[1;2]$ parabol nằm trên đường thẳng. Diện tích: $$S={\int }_0^1(-2x+3-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2+2x-3)dx$$ $${\int }_0^1(-2x+3-x^2)dx={\left[-x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=-1+3-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$$ $${\int }_1^2(x^2+2x-3)dx={\left[\frac{x^3}{3}+x^2-3x\right]}_1^2=\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{7}{3}$$ Vậy $S=\frac{5}{3}+\frac{7}{3}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm viên gạch là gốc $O$, cạnh hình vuông 60 cm nên các đỉnh hình vuông là $(\pm 30,\pm 30)$. Đường parabol có đỉnh tại $O$ và đi qua hai đỉnh $(30,30)$, $(-30,30)$ của viên gạch có dạng $y=\frac{x^2}{30}$; tương tự có ba parabol đối xứng $y=-\frac{x^2}{30}$, $x=\frac{y^2}{30}$, $x=-\frac{y^2}{30}$.

Một cánh hoa (hướng về đỉnh $(30,30)$) giới hạn bởi $y=\frac{x^2}{30}$ và $x=\frac{y^2}{30}$, tức $y=\sqrt{30x}$, với $0\le x\le 30$. Diện tích một cánh hoa:
$$S_1={\int }_0^{30}\left(\sqrt{30x}-\frac{x^2}{30}\right)dx={\left[\frac{2\sqrt{30}}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^3}{90}\right]}_0^{30}=600-300=300(c{m}^2).$$

Có 4 cánh hoa như nhau nên diện tích phần tô màu là:
$$S=4\cdot 300=1200(c{m}^2).$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Bài 12 – Tích phân), tính từng tích phân:

a. ${\int }_0^2(x^2+1{)}^{2}dx={\int }_0^2(x^4+2x^2+1)dx={\left[\frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x\right]}_0^2=\frac{32}{5}+\frac{16}{3}+2=\frac{96+80+30}{15}=\frac{206}{15}.$

b. Chia đa thức: $\frac{2x^3+2x^2+1}{x+1}=2x^2+\frac{1}{x+1}$. Do đó
${\int }_1^2\left(2x^2+\frac{1}{x+1}\right)dx={\left[\frac{2x^3}{3}+\ln (x+1)\right]}_1^2=\left(\frac{16}{3}+\ln 3\right)-\left(\frac{2}{3}+\ln 2\right)=\frac{14}{3}+\ln \frac{3}{2}.$

c. ${\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}xdx={\int }_0^{\pi }\frac{1+\cos 2x}{2}dx={\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}.$

d. $2^x\cdot 3^x=6^x$, nên ${\int }_0^1{6}^{x}dx={\left[\frac{6^x}{\ln 6}\right]}_0^1=\frac{6-1}{\ln 6}=\frac{5}{\ln 6}.$

e. Trên $[0,6]$: $x^2-6x\le 0$; trên $[6,8]$: $x^2-6x\ge 0$.
${\int }_0^6(6x-x^2)dx={\left[3x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^6=108-72=36$.
${\int }_6^8(x^2-6x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-3x^2\right]}_6^8=\left(\frac{512}{3}-192\right)-(72-108)=-\frac{64}{3}+36=\frac{44}{3}$.
Tổng: $36+\frac{44}{3}=\frac{152}{3}.$

f. $\sqrt{e^{x+2}}=e^{(x+2)/2}$, nên ${\int }_0^2{e}^{(x+2)/2}dx={\left[2e^{(x+2)/2}\right]}_0^2=2e^2-2e=2e(e-1).$

(AI giải đề cho tôi)
Xét trên đoạn $[1;3]$, ta có $f(x)-g(x)=x^2-2x-1-(2x-4)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\le 0$ với mọi $x\in [1;3]$, tức $f(x)\le g(x)$ trên $[1;3]$. Do đó diện tích hình phẳng cần tính là:
$$S={\int }_1^3[g(x)-f(x)]dx={\int }_1^3(-x^2+4x-3)dx.$$
Tính nguyên hàm: $\int (-x^2+4x-3)dx=-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x$.
Vậy
$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right){|}_1^3=\left(-9+18-9\right)-\left(-\frac{1}{3}+2-3\right)=0-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}.$$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho bằng $\frac{4}{3}$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Hình $(H)$ giới hạn bởi parabol $y=\frac{10}{3}x-x^2$ (nằm trên) và đường gãy khúc $y=-x$ khi $x\le 1$, $y=x-2$ khi $x>1$ (nằm dưới).

Giao điểm với $y=-x$: $\frac{10}{3}x-x^2=-x\iff x^2-\frac{13}{3}x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{13}{3}>1$ (loại). Giao điểm với $y=x-2$: $\frac{10}{3}x-x^2=x-2\iff 3x^2-7x-6=0\iff x=3$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$ (loại vì cần $x>1$). Vậy miền tính từ $x=0$ đến $x=3$, đổi công thức tại $x=1$.

Trên $[0;1]$: parabol nằm trên đường $y=-x$.
$$S_1={\int }_0^1\left(\frac{13}{3}x-x^2\right)dx={\left[\frac{13}{6}{x}^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{13}{6}-\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.$$

Trên $[1;3]$: parabol nằm trên đường $y=x-2$.
$$S_2={\int }_1^3\left(\frac{7}{3}x-x^2+2\right)dx={\left[\frac{7}{6}{x}^2-\frac{x^3}{3}+2x\right]}_1^3=\left(\frac{21}{2}-3\right)-\left(\frac{7}{6}-\frac{1}{3}+2\right)=\frac{15}{2}-\frac{17}{6}=\frac{14}{3}.$$

Vậy $S=S_1+S_2=\frac{11}{6}+\frac{14}{3}=\frac{39}{6}=\frac{13}{2}$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x=x(x^2-3)$ có nghiệm $x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3}$. Xét dấu trên $[-2;2]$: $f(x)<0$ trên $(-2;-\sqrt{3})\cup (0;\sqrt{3})$ và $f(x)>0$ trên $(-\sqrt{3};0)\cup (\sqrt{3};2)$. Diện tích là $$S={\int }_{-2}^2|x^3-3x|dx={\int }_{-2}^{-\sqrt{3}}(3x-x^3)dx+{\int }_{-\sqrt{3}}^0(x^3-3x)dx+{\int }_0^{\sqrt{3}}(3x-x^3)dx+{\int }_{\sqrt{3}}^2(x^3-3x)dx.$$ Với $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}$ (nguyên hàm của $x^3-3x$):
${\int }_{-2}^{-\sqrt{3}}(3x-x^3)dx=-\left[F(-\sqrt{3})-F(-2)\right]=-\left[\left(-\frac{9}{4}\right)-(-2)\right]=\frac{1}{4}$;
${\int }_{-\sqrt{3}}^0(x^3-3x)dx=F(0)-F(-\sqrt{3})=0-\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{9}{4}$;
${\int }_0^{\sqrt{3}}(3x-x^3)dx=-\left[F(\sqrt{3})-F(0)\right]=\frac{9}{4}$;
${\int }_{\sqrt{3}}^2(x^3-3x)dx=F(2)-F(\sqrt{3})=(-2)-\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{1}{4}$.
Vậy $S=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+\frac{1}{4}=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc tại trung điểm H của AB trên mặt đất, trục Oz là trục đối xứng của parabol. Parabol có đỉnh G(0;4) và đi qua A(-3;0), B(3;0) nên có dạng $y=a{x}^2+4$. Thay B(3;0): $0=9a+4\Rightarrow a=-\frac{4}{9}$, vậy $y=-\frac{4}{9}{x}^2+4$.

Vì $AC=BD=1m$ nên $C(-2;0)$, $D(2;0)$. Hai cánh cổng đóng lại là hình chữ nhật CDEF với $CD=4m$ và chiều cao bằng tung độ của parabol tại $x=2$: $y=-\frac{16}{9}+4=\frac{20}{9}m$. Diện tích hình chữ nhật: $S_1=4\cdot \frac{20}{9}=\frac{80}{9}{m}^2$.

Diện tích toàn bộ phần cổng dưới parabol: ${\int }_{-3}^3\left(4-\frac{4x^2}{9}\right)dx=24-\frac{4}{9}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_{-3}^3=24-\frac{4}{9}\cdot 18=16m^2$, khớp với dữ kiện tổng diện tích hai cánh cổng và phần làm xiên hoa là $16m^2$.

Diện tích phần để trống làm xiên hoa: $S_2=16-\frac{80}{9}=\frac{64}{9}{m}^2$.

Tổng chi phí: $\frac{80}{9}\cdot 990000+\frac{64}{9}\cdot 810000=8800000+5760000=14560000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $[-1;1]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=4$; trên $[1;4]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên ${\int }_1^{4}f(x)dx=-9$. Do đó ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx=4-9=-5$. Khi đó ${\int }_{-1}^4[f(x)-2]dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx-2(4-(-1))=-5-10=-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại hoành độ $x$ là hình chữ nhật cạnh $3x$ và $3x^2-2$, nên diện tích thiết diện $S(x)=3x(3x^2-2)=9x^3-6x$. Thể tích: $$V={\int }_1^3(9x^3-6x)dx={\left[\frac{9x^4}{4}-3x^2\right]}_1^3=\left(\frac{729}{4}-27\right)-\left(\frac{9}{4}-3\right)=\frac{621}{4}+\frac{3}{4}=156.$$ Vậy $V=156$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
F(x)=x³/3+x²+C. a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz. b) F(0)=1→C=1, F(2)=8/3+4+1=23/3≠13, sai. c) ∫₀²(x²+2x)dx=8/3+4=20/3, k·20/3=2→k=3/10, đúng. d) f(x)/x²=1+2/x, ∫₁³=2+2ln3=a+alnb→a=2,b=3, 3a²−2b=12−6=6≠8, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, ∫₁³f(x)dx=F(3)−F(1) vì F là nguyên hàm của f.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x³/3+x²+C; F(0)=1→C=1; F(2)=8/3+4+1=23/3≠13.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀²f(x)dx=[x³/3+x²]₀²=8/3+4=20/3; k·20/3=2→k=3/10.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(x)/x²=1+2/x; ∫₁³(1+2/x)dx=2+2ln3=a+alnb→a=2,b=3; 3a²−2b=12−6=6≠8.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f\left(\frac{\pi }{2}\right)-f(0)={\int }_0^{\pi /2}{f}^{\prime }(x)dx$. Vì $2{\sin }^2\frac{x}{2}=1-\cos x$ nên $f^{\prime }(x)=2024-(1-\cos x)=2023+\cos x$. Do đó ${\int }_0^{\pi /2}(2023+\cos x)dx=2023\cdot \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}=\frac{2023\pi }{2}+1$. Suy ra $f(0)=\frac{2023\pi }{2}-\left(\frac{2023\pi }{2}+1\right)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo ba khoảng: $I=\frac{1}{7}\left({\int }_{-5}^0(2t^2-1)dt+{\int }_0^2(t-1)dt+{\int }_2^9(5-2t)dt\right)$. Tính từng phần: ${\int }_{-5}^0(2t^2-1)dt={\left[\frac{2t^3}{3}-t\right]}_{-5}^0=0-\left(-\frac{250}{3}+5\right)=\frac{235}{3}$; ${\int }_0^2(t-1)dt={\left[\frac{t^2}{2}-t\right]}_0^2=0$; ${\int }_2^9(5-2t)dt={\left[5t-t^2\right]}_2^9=(45-81)-(10-4)=-42$. Tổng: $\frac{235}{3}-42=\frac{109}{3}$. Vậy $I=\frac{1}{7}\cdot \frac{109}{3}=\frac{109}{21}\approx 5,19$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $2^x-4$ đổi dấu tại $x=2$ (vì $2^2=4$). Do đó
$$I={\int }_0^2(4-2^x)dx+{\int }_2^3(2^x-4)dx.$$
Tính từng phần:
$${\int }_0^2(4-2^x)dx={\left[4x-\frac{2^x}{\ln 2}\right]}_0^2=\left(8-\frac{4}{\ln 2}\right)-\left(0-\frac{1}{\ln 2}\right)=8-\frac{3}{\ln 2},$$
$${\int }_2^3(2^x-4)dx={\left[\frac{2^x}{\ln 2}-4x\right]}_2^3=\left(\frac{8}{\ln 2}-12\right)-\left(\frac{4}{\ln 2}-8\right)=\frac{4}{\ln 2}-4.$$
Cộng lại:
$$I=8-\frac{3}{\ln 2}+\frac{4}{\ln 2}-4=4+\frac{1}{\ln 2}.$$
Vậy $a=4,b=1,c=1$ (phân số $\frac{1}{1}$ tối giản), suy ra
$$P=a^2+b^2+c^2=16+1+1=18.$$
Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_2^3\frac{x^2-2x+1}{x}dx={\int }_2^3\left(x-2+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}-2x+\ln x\right]}_2^3=\left(\frac{9}{2}-6+\ln 3\right)-\left(2-4+\ln 2\right)=\frac{1}{2}+\ln 3-\ln 2$. Vậy $a=2,b=1,c=1$, do đó $S=2a+b+c=4+1+1=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_{-2}^{0}2f(x)dx=\frac{8}{3}$ suy ra ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx=\frac{4}{3}$. Theo hình vẽ, trên $[-2;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên parabol $y=x^2+4x$, nên diện tích hình $(H)$ là $$S={\int }_{-2}^0\left[f(x)-(x^2+4x)\right]dx={\int }_{-2}^{0}f(x)dx-{\int }_{-2}^0(x^2+4x)dx.$$ Tính ${\int }_{-2}^0(x^2+4x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right){|}_{-2}^0=0-\left(-\frac{8}{3}+8\right)=-\frac{16}{3}$. Vậy $$S=\frac{4}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{20}{3}\approx 6,67.$$ Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $\frac{20}{3}\approx 6,67$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_{\pi }^{b}4\cos 2xdx=2\sin 2b-2\sin 2\pi =2\sin 2b$. Điều kiện $2\sin 2b=1\iff \sin 2b=\frac{1}{2}$. Với $b\in (\pi ;3\pi )$ thì $2b\in (2\pi ;6\pi )$, khoảng này có độ dài $4\pi$ tương ứng với 2 chu kỳ của hàm số $\sin$. Trên mỗi chu kỳ, phương trình $\sin t=\frac{1}{2}$ có đúng 2 nghiệm, vậy tổng cộng có $2\times 2=4$ nghiệm. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$. Do đó $${\int }_1^3\frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}={\int }_1^3(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})dx={\left[\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}+\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_1^3.$$ Tại $x=3$: $\frac{2}{3}(8+\sqrt{27})=\frac{2}{3}(8+3\sqrt{3})$. Tại $x=1$: $\frac{2}{3}(2\sqrt{2}+1)$. Hiệu: $\frac{2}{3}(8+3\sqrt{3}-2\sqrt{2}-1)=\frac{2}{3}(7+3\sqrt{3}-2\sqrt{2})=2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{14}{3}$. Vậy $a=2,b=-\frac{4}{3},c=\frac{14}{3}$, nên $P=2-\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{16}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{6x+3}{3x+5}=\frac{2(3x+5)-7}{3x+5}=2-\frac{7}{3x+5}$. Do đó ${\int }_0^1\frac{6x+3}{3x+5}dx={\left[2x-\frac{7}{3}\ln (3x+5)\right]}_0^1=2-\frac{7}{3}\ln 8+\frac{7}{3}\ln 5=2-7\ln 2+\frac{7}{3}\ln 5$. Vậy $a=2,b=-7,c=\frac{7}{3}$, nên $a+2b+3c=2-14+7=-5$. Đáp án B.