Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E$ nằm trên đoạn $BC$ với $BE=2EC$ nên $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$, tức $E$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k=2$. Công thức: $E=\frac{B+2C}{3}$. Tọa độ: $x_E=\frac{-3+2\cdot 1}{3}=\frac{-1}{3}$, $y_E=\frac{6+2\cdot (-2)}{3}=\frac{2}{3}$. Vậy $E\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, khớp phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$. Tích có hướng: $(-2)\cdot 0-(-7)\cdot 3=21\ne 0$ nên ba điểm không thẳng hàng → Đúng.
b) Trọng tâm $G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$ → Đúng.
c) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(-2+1-(-4);5+5-(-2))=(3;12)$. Vì $(3;12)\ne (3;10)$ → Sai.
d) $\overrightarrow{CA}=(-3;0)$, $\overrightarrow{CB}=(-5;-7)$, $\cos \widehat{ACB}=\frac{(-3)(-5)+0\cdot (-7)}{3\sqrt{74}}=\frac{15}{3\sqrt{74}}=\frac{5}{\sqrt{74}}\approx 0,581$, suy ra $\widehat{ACB}\approx 54,5^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$, tích có hướng $(-2)\cdot 0-(-7)\cdot 3=21\ne 0$ nên ba điểm không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ suy ra $D=A+C-B=(3;12)\ne (3;10)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{ACB}=\frac{5}{\sqrt{74}}\approx 0,581$ nên $\widehat{ACB}\approx 54,5^{\circ }\ne 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các cạnh: $A{B}^2=(0-4\sqrt{3}{)}^2+(3+1{)}^2=48+16=64\Rightarrow AB=8$; $A{C}^2=(8\sqrt{3}-4\sqrt{3}{)}^2+(3+1{)}^2=48+16=64\Rightarrow AC=8$; $BC=8\sqrt{3}$. a) $AC=8$ đúng. b) $AB=AC=8\ne BC$ nên tam giác cân tại $A$, không cân tại $B$ → sai. c) Chiều cao từ $A$ xuống $BC$ (đường thẳng $y=3$) bằng $4$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$ → đúng. d) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{64+192-64}{2\cdot 8\cdot 8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=30^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=(8\sqrt{3}-4\sqrt{3}{)}^2+(3+1{)}^2=48+16=64\Rightarrow AC=8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=AC=8$ và $BC=8\sqrt{3}$, tam giác cân tại $A$ chứ không cân tại $B$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC=8\sqrt{3}$, chiều cao từ $A$ đến đường thẳng $BC$ ($y=3$) bằng $4$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{192}{128\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$. Theo đề: $\frac{-3+9+x_C}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow x_C+6=1\Rightarrow x_C=-5$; và $\frac{6-10+y_C}{3}=0\Rightarrow y_C=4$. Vậy $C(-5;4)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(-3;5),B(2;-2),C(1;4)$: $x_D=-3+1-2=-4$, $y_D=5+4+2=11$. Vậy $D(-4;11)$, đáp án D. (Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(5;-7)$, $\overrightarrow{DC}=C-D=(5;-7)$, đúng.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;y)$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(-3-x;3-y)$, $\overrightarrow{BC}=(1-2;4-(-5))=(1;-9)$, $\overrightarrow{CM}=(x-2;y+5)$. Phương trình $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{CM}$ cho hệ: $2(-3-x)-1=4(x-2)\Rightarrow -7-2x=4x-8\Rightarrow 6x=1\Rightarrow x=\frac{1}{6}$; và $2(3-y)-(-9)=4(y+5)\Rightarrow 15-2y=4y+20\Rightarrow -6y=5\Rightarrow y=-\frac{5}{6}$. Vậy $M\left(\frac{1}{6};-\frac{5}{6}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto cùng phương khi định thức $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$. A: $2\cdot 6-3\cdot \frac{1}{2}=12-1,5=10,5\ne 0$ (không cùng phương). B: $\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}-6\cdot 1=6-6=0$ (cùng phương). C: $1\cdot 1-0\cdot 0=1\ne 0$. D: $1\cdot (-6)-2\cdot 3=-12\ne 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}-\vec{j}$ suy ra $A(2;-1)$; $\overrightarrow{OB}=\vec{i}+\vec{j}$ suy ra $B(1;1)$; $\overrightarrow{OC}=4\vec{i}+\vec{j}$ suy ra $C(4;1)$ → a đúng. Trung điểm $AB$: $E\left(\frac{2+1}{2};\frac{-1+1}{2}\right)=E\left(\frac{3}{2};0\right)$ → b đúng. Trọng tâm: $G\left(\frac{2+1+4}{3};\frac{-1+1+1}{3}\right)=G\left(\frac{7}{3};\frac{1}{3}\right)\ne \left(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$ → c sai. Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $D=A+C-B=(2+4-1;-1+1-1)=(5;-1)\ne (2;-1)$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ điểm bằng tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$: $A(2;-1),B(1;1),C(4;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$E\left(\frac{2+1}{2};\frac{-1+1}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};0\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(\frac{2+1+4}{3};\frac{-1+1+1}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{1}{3}\right)$, không phải $\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $ABCD$ là hình bình hành: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Rightarrow D=A+C-B=(5;-1)$, không phải $(2;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1,5 giờ, độ dời của tàu là $\overrightarrow{AB}=1,5\cdot \vec{v}=(4,5;6)$. Vậy tọa độ vị trí tàu lúc đó là $B=A+\overrightarrow{AB}=(1+4,5;2+6)=(5,5;8)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;-4)$ nên $3\overrightarrow{AB}=(-6;-12)\ne (6;12)$ → Sai. b) $\overrightarrow{BA}=(2;4)$, $\overrightarrow{BC}=(6;12)=3\overrightarrow{BA}$ cùng hướng → Đúng. c) $\overrightarrow{AC}=(4;8)$, $\overrightarrow{CB}=(-6;-12)$, tích vô hướng $=4\cdot (-6)+8\cdot (-12)=-120\ne 120$ → Sai. d) Từ $30\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ suy ra $46\overrightarrow{OD}=19\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}=(38;-57)-(24;27)=(14;-84)$, nên $D=\left(\frac{7}{23};-\frac{42}{23}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{39}{23};\frac{27}{23}\right)$. Tính $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=\frac{(-2)(-39/23)+(-4)(27/23)}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{(39^2+27^2)}/23}=\frac{78-108}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{2250}}=\frac{-30}{\sqrt{45000}}=\frac{-30}{150\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}\approx -0,1414$, góc $\approx 98^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$ nên $3\overrightarrow{AB}=(-6;-12)\ne (6;12)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(2;4)$ và $\overrightarrow{BC}=(6;12)=3\overrightarrow{BA}$, hai vectơ cùng hướng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=(4;8)\cdot (-6;-12)=-24-96=-120\ne 120$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $30\overrightarrow{OD}+19\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ được $D=\left(\frac{7}{23};-\frac{42}{23}\right)$, $\overrightarrow{BD}=\left(-\frac{39}{23};\frac{27}{23}\right)$. Khi đó $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD})=-\frac{\sqrt{2}}{10}$, góc $\approx 98^{\circ }\ne 45^{\circ }$.

Theo bảng đáp án nguồn (trang 7, mã đề 219, Phần II Câu 1): a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) $\overrightarrow{AB}(2;-4)$; $\overrightarrow{AC}(1;-8)$; $\frac{2}{1}\ne \frac{-4}{-8}$ nên $A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác (0.5 điểm)

b) $M\left(\frac{3}{2};-5\right)$ (0.5 điểm)

c) Gọi $D(x;y)$, $\overrightarrow{AB}=(2;-4)$; $\overrightarrow{DC}=(1-x;-7-y)$ (0.25 điểm). Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$$\{\begin{array}{l}1-x=2\\ -7-y=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-3\end{array}.$$ Vậy tọa độ $D(-1;-3)$ (0.25 điểm)

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) $\overrightarrow{AB}(2;-4)$; $\overrightarrow{AC}(1;-8)$; $\frac{2}{1}\ne \frac{-4}{-8}$ nên $A,B,C$ là 3 đỉnh của một tam giác (0.5 điểm)

b) $M\left(\frac{3}{2};-5\right)$ (0.5 điểm)

c) Gọi $D(x;y)$, $\overrightarrow{AB}=(2;-4)$; $\overrightarrow{DC}=(1-x;-7-y)$ (0.25 điểm). Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$$\{\begin{array}{l}1-x=2\\ -7-y=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-3\end{array}.$$ Vậy tọa độ $D(-1;-3)$ (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{3+6+3}{3}\right)=(2;4)$, nên a) Sai ($G(6;12)$ sai). $\overrightarrow{AG}=(1;1)$, $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}=(3;3)$ nên $D=A+(3;3)=(4;6)$, b) Đúng. Tứ giác $ABDC$ với $A(1;3),B(1;6),D(4;6),C(4;3)$: $\overrightarrow{AB}=(0;3)\perp \overrightarrow{BD}=(3;0)$, các cạnh bằng nhau bằng 3 và vuông góc, là hình vuông, c) Đúng. $\overrightarrow{AC}=(3;0)$, $\overrightarrow{BD}=(3;0)$, tích vô hướng $=9\ne 0$, d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: b, c đúng; a, d sai.
a) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{3+6+3}{3}\right)=(2;4)\ne (6;12)$.
b) $\overrightarrow{AG}=(1;1)$ nên $\overrightarrow{AD}=(3;3)$, $D=(4;6)$.
c) $A(1;3),B(1;6),D(4;6),C(4;3)$ tạo tứ giác có các cạnh $AB=BD=DC=CA=3$ và $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BD}$, là hình vuông.
d) $\overrightarrow{AC}=(3;0)$, $\overrightarrow{BD}=(3;0)$, tích vô hướng $=9\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Cho $A(4;1),B(-2;4),C(-2;-2)$.

a) $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
$\overrightarrow{AB}=(-6;3)$. Gọi $D(x_D;y_D)$ thì $\overrightarrow{DC}=(-2-x_D;-2-y_D)$.
Suy ra $-2-x_D=-6\Rightarrow x_D=4$; $-2-y_D=3\Rightarrow y_D=-5$.
Vậy $D(4;-5)$.
Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(0;-6)=\overrightarrow{BC}$, đúng.

b) Gọi $F(x;y)$. Ta có:
$\overrightarrow{AF}=(x-4;y-1)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;-3)$, $\overrightarrow{CF}=(x+2;y+2)$.

$\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}=(0;-6)-(-12;-6)+(2x+4;2y+4)=(2x+16;2y+4)$.

Phương trình $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}$ cho hệ:
$x-4=2x+16\Rightarrow x=-20$;
$y-1=2y+4\Rightarrow y=-5$.

Vậy $F(-20;-5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20 (Phần IV - Câu 2). Cho $A(-4;-1),B(2;-4),C(2;2)$.

a) ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(6;-3)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=(2-x;2-y)=(6;-3)$, suy ra $x=-4,y=5$. Vậy $D(-4;5)$. (Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(0;6)=\overrightarrow{BC}$, đúng.)

b) Gọi $F(x;y)$. Ta có:
- $\overrightarrow{AF}=(x+4;y+1)$
- $\overrightarrow{BC}=(0;6)$, $\overrightarrow{AC}=(6;3)$, $\overrightarrow{CF}=(x-2;y-2)$

Phương trình $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}$ trở thành:
$$(x+4;y+1)=(0;6)-(12;6)+(2x-4;2y-4)=(2x-16;2y-4)$$

Suy ra hệ: $x+4=2x-16\Rightarrow x=20$; $y+1=2y-4\Rightarrow y=5$.

Vậy $F(20;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=(-3-3;-2-0)=(-6;-2)$ và $\overrightarrow{CB}=(4-3;-3-0)=(1;-3)$.

a) Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-6)(1)+(-2)(-3)=-6+6=0$. Vậy $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$, tức tam giác ABC vuông tại C.

b) $CA=\sqrt{(-6{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$; $CB=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{10}$.
Diện tích tam giác ABC vuông tại C: $S=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, vectơ dịch chuyển là $\overrightarrow{AB}=2\vec{v}=(6;8)$. Suy ra $B=A+(6;8)=(3+6;2+8)=(9;10)$. Vậy $x\cdot y=9\cdot 10=90$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần IV):

a) G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, tức $C=3G-A-B$. Tọa độ: $x_C=3\cdot 3-(-1)-3=7$, $y_C=3\cdot 2-(-1)-5=2$. Vậy $C(7;2)$.

b) $M$ trên trục hoành nên $M(m;0)$. Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ khi $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(-1-m;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(3-m;5)$. Tích vô hướng: $(-1-m)(3-m)+(-1)(5)=m^2-2m-3-5=m^2-2m-8=0$. Giải được $m=4$ hoặc $m=-2$ (đều thỏa, vì khi đó $M$ không trùng $A$, $B$). Vậy $M(4;0)$ hoặc $M(-2;0)$.

Kiểm tra: với $M(4;0)$: $\overrightarrow{MA}=(-5;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(-1;5)$, tích $=5-5=0$ ✓. Với $M(-2;0)$: $\overrightarrow{MA}=(1;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(5;5)$, tích $=5-5=0$ ✓.