Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;2)$ với hệ số góc $k=\frac{6-2}{-2-1}=-\frac{4}{3}$, nên có phương trình $y=-\frac{4}{3}(x-1)+2$. Tại $x=0$ (trên trục $Oy$): $y=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$. Vậy $M\left(0;\frac{10}{3}\right)$, khớp phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-4+3;-14+0)=(-1;-14)\ne (-1;14)$ → Sai.
b) Trọng tâm $G\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, nên $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CG}=\frac{16}{3}+\frac{49}{3}=\frac{65}{3}$; $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{53}$, $|\overrightarrow{CG}|=\frac{\sqrt{113}}{3}$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{53\cdot 113}}=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$ → Sai.
c) $M$ trung điểm $BC$: $M\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ → Đúng.
d) $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{53}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 1: S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-1;-14)$, khác (-1;14) → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$, $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{53}$ → Đúng.

Gọi B(x;y) suy ra $\overrightarrow{AB}=(x-4;y-8)$, $\overrightarrow{AC}=(-15;5)$

- Theo đề ta có: $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=12\end{array}\to B(-8;12)$

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$ nên $AB=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$, đúng.
b) $\overrightarrow{AC}=(3;0)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-4+3;-14+0)=(-1;-14)\ne (-1;14)$, sai.
c) $G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CG}=\frac{16}{3}+\frac{49}{3}=\frac{65}{3}$, $|CG|=\frac{\sqrt{113}}{3}$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{113}}=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$, sai.
d) $M=\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 3: Đ, S, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{(-4+2{)}^2+(-2-5{)}^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=2(-2;-7)+(3;0)=(-1;-14)\ne (-1;14)$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$, $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, đúng.

ĐÁP SỐ:

a) Gọi D(x;y). Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;3);\overrightarrow{DC}=(7-x;4-y)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}3=7-x\\ 3=4-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}$

Vậy D(4; 1) thì ABCD là hình bình hành.

b) Gọi H(x;y). Ta có
$\overrightarrow{AH}=(x-1;y-2);\overrightarrow{BC}=(3;-1)$
$\overrightarrow{BH}=(x-4;y-5);\overrightarrow{AC}=(6;2)$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3.(x-1)-1.(y-2)=0\\ 6.(x-4)+2.(y-5)=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 3x+y=17\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=8\end{array}$

Vậy H(3;8) là trực tâm của tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B(5;3)$, $C(-1;2)$ nên $\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$, độ dài $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$ → a) Đúng; b) Sai vì tọa độ là $(-6;-1)$ chứ không phải $(6;1)$. Điểm $M$ đối xứng với $A(3;-2)$ qua $B$ là trung điểm của $AM$ nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$, suy ra $M=2B-A=(10-3;6+2)=(7;8)$ → c) Đúng. Xét góc $\widehat{ABC}$: $\overrightarrow{BA}=(-2;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$, tích vô hướng $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=12+5=17>0$ nên góc $\widehat{ABC}$ nhọn, không phải góc tù → d) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$ nên $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{37}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(-1-5;2-3)=(-6;-1)$, không phải $(6;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B$ là trung điểm $AM$ nên $M=2B-A=(2\cdot 5-3;2\cdot 3-(-2))=(7;8)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-2)(-6)+(-5)(-1)=17>0$ nên $\widehat{ABC}$ là góc nhọn.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;4)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;0)$.
Suy ra $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=(-1;4)$.

b) Gọi $M(a;b)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(3-a;-2-b)$, $\overrightarrow{MC}=(-1-a;2-b)$.
Suy $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=(7-a;-6-b)$.
Vì $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}$ nên $\{\begin{array}{l}7-a=-1\\ -6-b=4\end{array}$. Suy ra $\{\begin{array}{l}a=8\\ b=-10\end{array}$.
Vậy $M(8;-10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AB=3,BC=4,AC=5$ nên $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$, tam giác vuông tại $B$. a) Chân phân giác trong tại $A$ cắt $BC$ tại $D$ với $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$, nên $D=\frac{5B+3C}{8}=(3;-\frac{1}{2})$, khi đó $a+4b=3+4\cdot (-\frac{1}{2})=1$: đúng. b) $G=(\frac{0+3+3}{3};\frac{1+1-3}{3})=(2;-\frac{1}{3})$: đúng. c) Tam giác vuông tại $B$: đúng. d) $\overrightarrow{AB}=(3-0;1-1)=(3;0)\ne (-3;0)$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất đường phân giác, $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$, nên $D=\frac{5B+3C}{8}=(3;-\frac{1}{2})$, suy ra $a+4b=3-2=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=(\frac{0+3+3}{3};\frac{1+1-3}{3})=(2;-\frac{1}{3})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB=3,BC=4,AC=\sqrt{9+16}=5$, vì $3^2+4^2=5^2$ nên tam giác vuông tại $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-0;1-1)=(3;0)$, không phải $(-3;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{NA}=(1-x;3-y)$ và $\overrightarrow{BN}=(x-2;y+4)$. Điều kiện $\overrightarrow{NA}=-3\overrightarrow{BN}$ cho hệ: $1-x=-3(x-2)\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}$; $3-y=-3(y+4)\Rightarrow 2y=-15\Rightarrow y=-\frac{15}{2}$. Vậy $x-y=\frac{5}{2}-\left(-\frac{15}{2}\right)=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: 10).

$\overrightarrow{AB}=(1;-3)\Rightarrow -2\overrightarrow{AB}=(-2;6)$ (0,25 điểm).
$\overrightarrow{AM}=(x-1;y-1)$.
$\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AB}\iff x-1=-2$ và $y-1=6$ (0,5 điểm).
Giải ra x = -1; y = 7 (0,25 điểm).
Vậy M(x;y) = (-1; 7).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (1,0 điểm)

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.

Mặt khác $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Với $A(2;0)$, $B(1;1)$, $C(-2;3)$:

$\overrightarrow{AC}=(-2-2;3-0)=(-4;3)$.

$\overrightarrow{BC}=(-2-1;3-1)=(-3;2)$.

Gọi $H(x;y)$ là trực tâm. Khi đó $CH\perp AB$ và $BH\perp AC$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1)$, $\overrightarrow{CH}=(x+2;y-3)$:
$$\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0\iff -(x+2)+(y-3)=0\iff y=x+5.$$

Ta có $\overrightarrow{AC}=(-4;3)$, $\overrightarrow{BH}=(x-1;y-1)$:
$$\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\iff -4(x-1)+3(y-1)=0\iff -4x+3y+1=0.$$

Thay $y=x+5$: $-4x+3x+15+1=0\iff x=16$, suy ra $y=21$.

Vậy $H(16;21)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}=(14;21)$ và $\overrightarrow{BC}=(-3;2)$, khi đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=14\cdot (-3)+21\cdot 2=-42+42=0$, tức $AH\perp BC$. Vậy $H(16;21)$ thỏa cả ba điều kiện $CH\perp AB$, $BH\perp AC$ và $AH\perp BC$, đúng là trực tâm tam giác $ABC$.

a. Tính đúng mỗi vecto $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(1;4);\\ \overrightarrow{AC}=(3;2)\end{array}$
Tính đúng $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=(-5;0)$

b. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}(1)$
Gọi D(x;y). Tính đúng $\overrightarrow{DC}=(2-x;3-y)$
$(1)\iff \{\begin{array}{l}2-x=1\\ 3-y=4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$. Vậy D(1;-1)

a. Tính đúng mỗi vecto $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(3;2)\\ \overrightarrow{AC}=(6;-1)\end{array}$
Tính đúng $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(0;5)$

b. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (1)
Gọi D(x;y). Tính đúng $\overrightarrow{DC}=(5-x;0-y)$
$(1)\iff \{\begin{array}{l}5-x=3\\ -y=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\end{array}$. Vậy D(2;-2)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (đề 102), Phần II. a) $\overrightarrow{BC}=(2-\mathrm{1...})$: $\overrightarrow{BC}=C-B=(2-(-1);2-4)=(3;-2)$ → Đúng. b) Với $D(x_0;y_0)$ thì $\overrightarrow{AD}=D-A=(x_0+1;y_0-5)$, không phải $(x_0-1;y_0+5)$ → Sai. c) $ABCD$ hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;-1)$, nên $\overrightarrow{DC}=(2-x_0;2-y_0)=(0;-1)\Rightarrow x_0=2,y_0=1$, tức $D(2;1)\ne (2;-3)$ → Sai. d) Trung điểm của $BC$ là $\left(\frac{-1+2}{2};\frac{4+2}{2}\right)=(0,5;3)\ne I(-1;9)$ → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b, c, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(2-(-1);2-4)=(3;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=D-A=(x_0+1;y_0-5)$, khác $(x_0-1;y_0+5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ cho $D(2;1)$, không phải $D(2;-3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $(0,5;3)$, khác $I(-1;9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) $\overrightarrow{BC}=(2-(-4);2-1)=(6;1)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{AD}=(x_0-(-1);y_0-5)=(x_0+1;y_0-5)\ne (x_0-1;y_0+5)$ → Sai. c) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(6;1)$, suy ra $D=A+(6;1)=(5;6)$ → Đúng. d) Trung điểm $BC$ có tọa độ $\left(\frac{-4+2}{2};\frac{1+2}{2}\right)=(-1;1,5)\ne (-1;1)$ → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(2-(-4);2-1)=(6;1)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=(x_0+1;y_0-5)$, không phải $(x_0-1;y_0+5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=(6;1)$ nên $D=(-1+6;5+1)=(5;6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $BC$ là $(-1;1,5)$, không phải $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $a=\frac{-3+9+0}{3}=2$, $b=\frac{-6+(-3)+6}{3}=-1$. Vậy $G(2;-1)$ và $T=2a+3b=2\cdot 2+3\cdot (-1)=4-3=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 3: 1).

a, Ta có $\overrightarrow{AB}=(-8;2)\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=(-16;4)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-8)$ (0,25 điểm), suy ra $\vec{u}=(-10;-4)$ (0,25 điểm).

b, Điểm $M\in Ox$ nên $M(x;0)$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}=(5-x;2),\overrightarrow{MC}=(3-x;-4)$.

Theo đề bài, $\widehat{AMC}=90^{\circ }\iff \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=0\iff (5-x)(3-x)-8=0$ (0,25 điểm)

$\iff x^2-8x+7=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=7\end{array}\right]$ (0,25 điểm)

Vậy có hai trường hợp điểm $M$ thoả mãn bài toán là: $M(1;0)$ và $M(7;0)$.

a, Ta có $\overrightarrow{AB}=(-8;2)\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=(-16;4)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-8)$ (0,25 điểm), suy ra $\vec{u}=(-10;-4)$ (0,25 điểm).

b, Điểm $M\in Ox$ nên $M(x;0)$.

Ta có: $\overrightarrow{MA}=(5-x;2),\overrightarrow{MC}=(3-x;-4)$.

Theo đề bài, $\widehat{AMC}=90^{\circ }\iff \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=0\iff (5-x)(3-x)-8=0$ (0,25 điểm)

$\iff x^2-8x+7=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=7\end{array}\right]$ (0,25 điểm)

Vậy có hai trường hợp điểm $M$ thoả mãn bài toán là: $M(1;0)$ và $M(7;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-4+2;-2-5)=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=C-A=(1+2;5-5)=(3;0)$ → Đúng. b) $G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$ → Đúng. c) ABCD hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $D=C-\overrightarrow{AB}=(1+2;5+7)=(3;12)\ne (3;10)$ → Sai. d) $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{-6}{\sqrt{53}\cdot 3}=\frac{-2}{\sqrt{53}}\approx -0,2747$, suy ra $\widehat{BAC}\approx 105,95^{\circ }\approx 106^{\circ }\ne 105^{\circ }$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1111: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4+2;-2-5)=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(1+2;5-5)=(3;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, suy ra $D=C-\overrightarrow{AB}=(3;12)$, không phải $(3;10)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{-6}{3\sqrt{53}}\approx -0,2747$ nên $\widehat{BAC}\approx 106^{\circ }$, không phải $105^{\circ }$.

+) Ta có: $M\in Ox\Rightarrow M(x;0)$. Tìm được: $\overrightarrow{AB}=(3;1)$; $\overrightarrow{AM}=(x-1;-2)$ (0,25 đ)
+) $A,B,M$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\Rightarrow \frac{x-1}{3}=\frac{-2}{1}\Rightarrow x=-5$. Vậy $M(-5;0)$ (0,25 đ)