Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(8-7;4-(-3))=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(1-7;5-(-3))=(-6;8)$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì $1\cdot 8-7\cdot (-6)=50\ne 0$, nên $A,B,C$ là ba đỉnh một tam giác. Đúng.
c) $K(8;4)=B$ thuộc đường thẳng $BC$. Ta có $\overrightarrow{AK}=(1;7)$, $\overrightarrow{BC}=(-7;1)$, tích vô hướng $1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$ nên $AK\perp BC$. Vậy $K$ là chân đường cao kẻ từ $A$ (trùng với đỉnh $B$ vì $AB\perp BC$). Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}=(1;7),\overrightarrow{BC}=(-7;1),\overrightarrow{CD}=(-1;-7),\overrightarrow{DA}=(7;-1)$. Bốn cạnh đều có độ dài $\sqrt{50}$ và các cạnh kề nhau vuông góc ($1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$). Vậy $ABCD$ là hình vuông. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(8-7;4+3)=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(1-7;5+3)=(-6;8)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;7)$ và $\overrightarrow{AC}=(-6;8)$ không cùng phương vì $1\cdot 8-7\cdot (-6)=50\ne 0$, nên $A,B,C$ không thẳng hàng, là ba đỉnh một tam giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
$K(8;4)=B$ thuộc đường thẳng $BC$. $\overrightarrow{AK}=(1;7)$, $\overrightarrow{BC}=(-7;1)$, $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{BC}=-7+7=0$ nên $AK\perp BC$. Vậy $K$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;7),\overrightarrow{BC}=(-7;1),\overrightarrow{CD}=(-1;-7),\overrightarrow{DA}=(7;-1)$; bốn cạnh đều dài $\sqrt{50}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ (tương tự các góc còn lại vuông). Vậy $ABCD$ là hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(3;-5),B(1;0)$.
a) Trung điểm $AB$: $I\left(\frac{3+1}{2};\frac{-5+0}{2}\right)=\left(2;-\frac{5}{2}\right)\ne \left(2;\frac{5}{2}\right)$ → sai.
b) $\overrightarrow{AB}=(-2;5)$ nên $\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{AB}=(6;-15)$, tức $C(6;-15)$ → đúng.
c) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}$ nên $D=2C-A=(12-3;-30+5)=(9;-25)\ne (9;25)$ → sai.
d) Chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-3$: $M=\frac{A+kB}{1+k}$, $x_M=\frac{3+(-3)(1)}{-2}=0$, $y_M=\frac{-5+(-3)(0)}{-2}=\frac{5}{2}$, tức $M\left(0;\frac{5}{2}\right)\ne \left(\frac{3}{2};\frac{5}{4}\right)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $I\left(2;-\frac{5}{2}\right)$, không phải $\left(2;\frac{5}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;5)$, $-3\overrightarrow{AB}=(6;-15)$ nên $C(6;-15)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$D=2C-A=(9;-25)$, không phải $(9;25)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=-3$: $M=\frac{A-3B}{-2}=\left(0;\frac{5}{2}\right)$, không phải $\left(\frac{3}{2};\frac{5}{4}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 40: Cho $A(-1;1),B(2;1),C(-1;-3)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(3;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$. Vì $3\cdot (-4)-0\cdot 0=-4\ne 0$ nên hai vecto không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng, là ba đỉnh tam giác. Đúng.
b) Tam giác vuông tại $A$ với $AB=3$, $AC=4$, diện tích $S=\frac{3\cdot 4}{2}=6\ne 12$. Sai.
c) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Gọi $D(x;y)$: $\overrightarrow{DC}=(-1-x;-3-y)=(3;0)\Rightarrow x=-4,y=-3$, tức $D(-4;-3)$. Đúng.
d) $N(0;y)$: $N{B}^2=4+(y-1{)}^2$, $N{C}^2=1+(y+3{)}^2$. Cho bằng nhau: $4+y^2-2y+1=1+y^2+6y+9\Rightarrow 5-2y=10+6y\Rightarrow y=-\frac{5}{8}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$ không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng, là ba đỉnh của một tam giác.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại $A$ với $AB=3$, $AC=4$ nên $S=\frac{3\cdot 4}{2}=6\ne 12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ khi $D=(-4;-3)$, khi đó tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $N(0;y)$, giải $NB=NC$: $4+(y-1{)}^2=1+(y+3{)}^2\Rightarrow y=-\frac{5}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(6-2;0-(-4))=(4;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(m-2;4-(-4))=(m-2;8)$. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức $4\cdot 8-4(m-2)=0\iff 32-4m+8=0\iff 4m=40\iff m=10$. Thử lại: với $m=10$, $C(10;4)$, đường thẳng qua $A(2;-4)$ và $B(6;0)$ có phương trình $y=x-6$, thay $x=10$ được $y=4$ — đúng. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 10.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ bằng nhau khi các tọa độ tương ứng bằng nhau: $m^2+3=5m-3$ và $2m=m^2$. Phương trình thứ nhất: $m^2-5m+6=0\iff m=2$ hoặc $m=3$. Phương trình thứ hai: $m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$. Giao của hai họ nghiệm là $m=2$. Kiểm tra: $\vec{u}=(7;4)=\vec{v}$. Đáp số: $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-(m-1);5-2m-2)=(3-m;3-2m)$ và $\overrightarrow{AC}=(m-3-(m-1);4-2)=(-2;2)$. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức định thức bằng 0: $(3-m)\cdot 2-(3-2m)\cdot (-2)=6-2m+6-4m=12-6m=0\Rightarrow m=2$. Thử lại với $m=2$: $A(1;2),B(2;1),C(-1;4)$; $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;2)=-2\overrightarrow{AB}$, đúng thẳng hàng. Kết quả khớp với đáp số đã cho: $m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $m,n$ sao cho $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$, tức là $(7;2)=m(2;1)+n(3;4)=(2m+3n;m+4n)$.

Suy ra hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}2m+3n=7\\ m+4n=2\end{array}$$

Từ phương trình thứ hai: $m=2-4n$. Thay vào phương trình thứ nhất:
$$2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-8n+3n=7\Rightarrow -5n=3\Rightarrow n=-\frac{3}{5}.$$

Khi đó $m=2-4\left(-\frac{3}{5}\right)=2+\frac{12}{5}=\frac{22}{5}$.

Kiểm tra: $2\cdot \frac{22}{5}+3\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{44-9}{5}=7$ ✓ và $\frac{22}{5}+4\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{22-12}{5}=2$ ✓.

Vậy $m+n=\frac{22}{5}-\frac{3}{5}=\frac{19}{5}=3,8$, khớp với đáp số nguồn 3,8.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a}{2};0\right)$; $N$ đối xứng $C$ qua $D$ nên $N=2D-C=(-a;a)$.
a) Tam giác $MAD$ vuông tại $A$ nên $M{D}^2=A{D}^2+A{M}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}$. Đúng.
b) $M{N}^2={\left(-a-\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{9a^2}{4}+a^2=\frac{13a^2}{4}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Đúng.
c) $MD=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
d) $\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{12}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác MAD vuông tại A: MD² = AD² + AM² = a² + a²/4 = 5a²/4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với M(a/2;0), N(−a;a): MN² = 9a²/4 + a² = 13a²/4 nên MN = a√13/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
MD = a√5/2, không bằng a√3/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
|MN| = a√13/2, không bằng a√3/12.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động thẳng đều từ A(600;200) đến B(200;500) trong 3 giờ. Sau 1 giờ, máy bay đi được 1/3 quãng đường, nên M = A + (1/3)(B − A). Vecto AB = (−400; 300), nên M = (600 − 400/3; 200 + 100) = (1400/3; 300). Vậy a/3 = 1400/3 ⇒ a = 1400 và b = 300, do đó a − b = 1400 − 300 = 1100, khớp với đáp án nguồn.

1) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D+1=-6\\ y_D-4=-2\end{array}$. — 0,25 điểm. $\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=-7\\ y_D=2\end{array}\Rightarrow D(-7;2)$ — 0,25 điểm.
2) Vì $\Delta$ vuông góc $d:-x+2y+5=0$ nên PTTQ của $\Delta$ có dạng $2x+y+c=0$ — 0,25 điểm. Mà $M(-1;4)\in \Delta$ nên ta có $2.(-1)+4+c=0\iff c=-2$ — 0,25 điểm. Vậy PTTQ của $\Delta$ là $2x+y-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(3;1)$, $B(-1;1)$ nên $AB$ nằm trên đường thẳng $y=1$ (nằm ngang), do đó đường cao từ $C$ là đường thẳng $x=2$. Vecto $\overrightarrow{BC}=(3;3)$ có hệ số góc của $BC$ bằng $1$, nên đường cao từ $A$ vuông góc với $BC$ có hệ số góc $-1$: $y-1=-(x-3)\iff y=-x+4$. Giao với $x=2$ ta được $y=2$. Vậy trực tâm $H(2;2)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ ta có hệ: $2m+3n=7$ và $m+4n=2$. Từ phương trình thứ hai $m=2-4n$, thay vào: $2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-5n=7\Rightarrow n=-0,6$, suy ra $m=2-4(-0,6)=4,4$. Vậy $m+n=4,4-0,6=3,8$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $A+C=B+D$, suy ra $D=A+C-B=(-3+5-1;1+3-4)=(1;0)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(4;3)$, $\overrightarrow{DC}=(5-1;3-0)=(4;3)$, đúng. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ ta có hệ: $2m+3n=7$ và $m+4n=2$. Từ phương trình thứ hai $m=2-4n$, thay vào: $2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-5n=7\Rightarrow n=-0,6$, suy ra $m=2-4(-0,6)=4,4$. Vậy $m+n=4,4-0,6=3,8$, khớp với đáp án B trong bảng chấm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trung điểm I của AB là I(2; 1/2). Vectơ chỉ đường trung tuyến CI là CI = I − C = (−1; −1/2), nên vectơ pháp tuyến của CI là (1/2; −1) tỉ lệ với (1; −2), không phải (9; −4). b) Đúng. AB = (−2; 9), AC = (0; 5) nên AB + 2AC = (−2; 19), độ dài = √(4 + 361) = √365. c) Đúng. AB = B − A = (1−3; 5−(−4)) = (−2; 9). d) Sai. BC = (2; −4) nên vectơ pháp tuyến của (d) là (2; 1) (vì (2;1)·(2;−4)=0... thực tế VTCP của BC là (1; −2), pháp tuyến (2; 1)). Đường thẳng qua A(3; −4): 2(x−3) + 1(y+4) = 0 ⟺ 2x + y − 2 = 0, khác 2x + y + 2 = 0 (thay A vào 2x+y+2 = 4 ≠ 0).
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB: I(2; 1/2). Vectơ chỉ phương của CI là (−1; −1/2), vectơ pháp tuyến tỉ lệ (1; −2), không phải (9; −4).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (−2; 9), AC = (0; 5), AB + 2AC = (−2; 19), độ dài = √(4+361) = √365.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = (1−3; 5+4) = (−2; 9).
d) (AI giải đề cho tôi)
BC có VTCP (1; −2), đường qua A(3; −4) song song BC: x − 2y − 11 = 0, tức 2x − 4y − 22 = 0; phương trình 2x + y + 2 = 0 không đi qua A (2·3 + (−4) + 2 = 4 ≠ 0) nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(-3;1)$, $B(1;4)$, $C(5;3)$: $x_D=-3+5-1=1$, $y_D=1+3-4=0$. Vậy $D(1;0)$, khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-5)$, $\overrightarrow{AC}=(-5;-2)$. Suy ra $-2\overrightarrow{AB}=(2;10)$, $3\overrightarrow{AC}=(-15;-6)$, nên $\overrightarrow{AE}=(2-15;10-6)=(-13;4)$. Do đó $E=A+\overrightarrow{AE}=(-11;6)$, tức $x_E=-11$, $y_E=6$. Vậy $x_E\cdot y_E=-66$.

a) $G\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên đúng. b) $\overrightarrow{AB}=(2;-7),\overrightarrow{AC}=(0;-7)$; do $\frac{0}{2}\ne \frac{-7}{-7}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng, nên sai. c) Đường thẳng qua $C(1;-2)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2;-7)$ có PTTS $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-7t\end{array}$ nên đúng. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff D(-1;5)$, không phải $D(1;5)$, nên sai.
a) Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $G\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$ suy ra mệnh đề đúng.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;-7),\overrightarrow{AC}=(0;-7)$. Do $\frac{0}{2}\ne \frac{-7}{-7}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Vì vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng suy ra mệnh đề sai.
c) Đường thẳng $d$ qua $C(1;-2)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2;-7)$ có PTTS: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-7t\end{array}$ suy ra mệnh đề đúng.
d) Giả sử $D(x;y)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;-7),\overrightarrow{DC}=(1-x;-2-y)$. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}2=1-x\\ -7=-2-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=5\end{array}$. Vậy $D(-1;5)$ suy ra mệnh đề sai.