Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

Sắp xếp: 5,0; 5,5; 6,2; 6,5; 6,5; 6,5; 7,0; 7,8; 8,0; 9,0
Vì cỡ mẫu $n=10$ (số chẵn), nên số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 trong dãy đã sắp xếp.
Số trung vị: $M_e=\frac{6,5+6,5}{2}=6,5$.

Tứ phân vị:
- $Q_2=6,5$
- Dãy bên trái: 5,0; 5,5; 6,2; 6,5; 6,5 $\Rightarrow Q_1=6,2$
- Dãy bên phải: 6,5; 7,0; 7,8; 8,0; 9,0 $\Rightarrow Q_3=7,8$

Mốt: Giá trị 6,5 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Vậy $M_o=6,5$

Sắp xếp: 5,0; 5,5; 6,2; 6,5; 6,5; 6,5; 7,0; 7,8; 8,0; 9,0
Vì cỡ mẫu $n=10$ (số chẵn), nên số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 trong dãy đã sắp xếp.
Số trung vị: $M_e=\frac{6,5+6,5}{2}=6,5$.

Tứ phân vị:
- $Q_2=6,5$
- Dãy bên trái: 5,0; 5,5; 6,2; 6,5; 6,5 $\Rightarrow Q_1=6,2$
- Dãy bên phải: 6,5; 7,0; 7,8; 8,0; 9,0 $\Rightarrow Q_3=7,8$

Mốt: Giá trị 6,5 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Vậy $M_o=6,5$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các điểm: $9\cdot 1+10\cdot 1+11\cdot 3+12\cdot 5+13\cdot 8+14\cdot 13+15\cdot 19+16\cdot 24+17\cdot 14+18\cdot 10+19\cdot 2=9+10+33+60+104+182+285+384+238+180+38=1523$. Kiểm tra tổng tần số: $1+1+3+5+8+13+19+24+14+10+2=100$ học sinh. Vậy $\overline{x}=\frac{1523}{100}=15,23$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu: $10+10+11+12+12+13+14,5+15+18+20+20+21+28=204,5$.
a) $\overline{x}=\frac{204,5}{13}\approx 15,7\ne 17,5$ → SAI.
b) $n=13$ lẻ nên trung vị là giá trị thứ 7 (đã sắp xếp): $M_e=14,5\ne 11,5$ → SAI.
c) Nửa dưới (6 giá trị): $10,10,11,12,12,13\Rightarrow Q_1=\frac{11+12}{2}=11,5$; nửa trên (6 giá trị): $15,18,20,20,21,28\Rightarrow Q_3=\frac{20+20}{2}=20$. Vậy $\Delta Q=20-11,5=8,5$ → ĐÚNG.
d) $\sum x_i^2=3562,25$; $S^2=\frac{3562,25}{13}-{\left(\frac{204,5}{13}\right)}^2\approx 274,02-247,46\approx 26,56$; $S\approx 5,15$ → ĐÚNG.
Kết quả S S Đ Đ khớp với đáp án chính thức (mã 101, Phần 2, Câu 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{204,5}{13}\approx 15,7$, không phải $17,5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$n=13$ lẻ, trung vị là giá trị thứ 7 bằng $14,5$, không phải $11,5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=11,5$, $Q_3=20$, nên $\Delta Q=8,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^2\approx 26,56$ nên $S\approx 5,15$.

Sắp xếp: 23 23 24 24 24 24 25 25 29 32
$Q_1=24,Q_3=25$
$\Rightarrow \Delta Q=1$

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=13$ giá trị đã sắp xếp: $10,10,11,12,12,13,14,5,15,18,20,20,21,28$.
a) Sai. $n=13$ lẻ nên trung vị là giá trị thứ 7: $M_e=14,5\ne 20$.
b) Đúng. Tổng $\sum x_i=204,5$ nên $\overline{x}=\frac{204,5}{13}\approx 15,73$.
c) Đúng. $R=28-10=18$.
d) Sai. $\sum x_i^2=3562,25$ nên $S^2=\frac{3562,25}{13}-{\overline{x}}^2\approx 274,02-247,46\approx 26,56\ne 26,65$. Kết quả khớp đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=13$ lẻ, trung vị là giá trị thứ 7 của dãy đã sắp xếp: $M_e=14,5\ne 20$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sum x_i=204,5$, $\overline{x}=204,5/13\approx 15,73$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=x_{max}-x_{min}=28-10=18$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sum x_i^2=3562,25$, $S^2=3562,25/13-(204,5/13{)}^2\approx 26,56\ne 26,65$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu (đã sắp xếp): 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14,5, 15, 18, 20, 20, 21, 28 (n = 13).
a) Tổng các giá trị: 10+10+11+12+12+13+14,5+15+18+20+20+21+28 = 204,5 nên $\overline{x}=\frac{204,5}{13}\approx 15,73\approx 15,7\ne 17,5$ → khẳng định a SAI.
b) n = 13 lẻ nên trung vị là giá trị thứ 7: $M_e=14,5\ne 11,5$ → khẳng định b SAI.
c) Theo cách tính tứ phân vị của đề: $Q_1$ ở vị trí $\frac{n+1}{4}=3,5$ nên $Q_1=\frac{11+12}{2}=11,5$; $Q_3$ ở vị trí $\frac{3n}{4}=9,75$ nên $Q_3$ là giá trị thứ 10 bằng 20. Suy ra $\Delta Q=Q_3-Q_1=20-11,5=8,5$ → khẳng định c ĐÚNG (đồng ý với đáp án nguồn).
d) Phương sai: $S^2=\frac{1}{13}\sum (x_i-\overline{x}{)}^2\approx \frac{345,55}{13}\approx 26,58$ nên $S\approx 5,15$ → khẳng định d ĐÚNG.
So sánh với đáp án nguồn (Phần 2, Câu 2, mã 101: S S Đ Đ): khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng mẫu số liệu là 204,5 nên $\overline{x}=204,5/13\approx 15,7\ne 17,5$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
n = 13 lẻ, trung vị là giá trị thứ 7 nên $M_e=14,5\ne 11,5$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo cách tính tứ phân vị của đề: $Q_1$ ở vị trí $\frac{n+1}{4}=3,5$ nên $Q_1=\frac{11+12}{2}=11,5$; $Q_3$ ở vị trí $\frac{3n}{4}=9,75$ nên $Q_3$ là giá trị thứ 10 bằng 20. Do đó $\Delta Q=Q_3-Q_1=20-11,5=8,5$ → Đúng (khớp đáp án nguồn).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^2\approx 26,58$ nên $S\approx 5,15$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+5+6+8+3+1=25$. Dữ liệu xếp tăng dần: hai điểm 5, năm điểm 6, sáu điểm 7, tám điểm 8, ba điểm 9, một điểm 10.
a) Vị trí tứ phân vị thứ 3: $\frac{3\cdot 25}{4}=18,75$, làm tròn lên thành giá trị thứ 19. Giá trị thứ 13 đến 21 đều bằng 8 nên $Q_3=8$. Đúng.
b) Trung vị là giá trị thứ $\frac{25+1}{2}=13$. Giá trị thứ 13 bằng 7 (vì tích lũy: 2+5+6=13). Đúng.
c) Số trung bình $\bar{x}=\frac{5\cdot 2+6\cdot 5+7\cdot 6+8\cdot 8+9\cdot 3+10\cdot 1}{25}=\frac{183}{25}=7,32$. Phương sai $s^2=\frac{5^2\cdot 2+6^2\cdot 5+7^2\cdot 6+8^2\cdot 8+9^2\cdot 3+10^2\cdot 1}{25}-7,32^2=\frac{1379}{25}-53,5824=1,5776$, nên $s=\sqrt{1,5776}\approx 1,256>1$. Đúng.
d) Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }=10-5=5\ne 7$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí $Q_3$: $\frac{3\cdot 25}{4}=18,75\to$ giá trị thứ 19 bằng 8, nên $Q_3=8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung vị là giá trị thứ 13 trong 25 giá trị, bằng 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,32$, $s^2=1,5776$, $s\approx 1,256>1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=10-5=5\ne 7$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Mốt là giá trị có tần số lớn nhất: tần số lớn nhất là 11 ứng với $x=22$, nên mốt bằng 22 chứ không phải 11 (11 chỉ là tần số lớn nhất).
b) Sai. $\overline{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1\ne 23$.
c) Đúng. Với $n=40$, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 20 và 21. Cộng dồn tần số: 5, 13, 24 nên cả hai vị trí 20, 21 đều thuộc giá trị 22, vậy $Me=22$.
d) Sai. $\sum n_i{x}_i^2=5\cdot 400+8\cdot 441+11\cdot 484+10\cdot 529+6\cdot 576=19598$, nên $\overline{x^2}=\frac{19598}{40}=489,95$ và $s^2=489,95-(22,1{)}^2=489,95-488,41=1,54\ne 2,04$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất: tần số lớn nhất 11 ứng với $x=22$, nên mốt bằng 22, không phải 11.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1\ne 23$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tần số cộng dồn: 5, 13, 24; vị trí thứ 20 và 21 đều là 22 nên $Me=22$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x^2}=\frac{19598}{40}=489,95$, phương sai $s^2=489,95-22,1^2=1,54\ne 2,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng điểm 6 lần thi cần đạt ít nhất $6\cdot 70=420$ điểm. Sau 5 lần thi, tổng điểm của Vân là $5\cdot 67,5=337,5$ điểm. Gọi $x$ là điểm lần thi cuối, điều kiện $337,5+x\ge 420\Rightarrow x\ge 82,5$. Thang điểm mỗi lần tối đa 100 nên $x=82,5$ thỏa mãn. Vậy Vân phải đạt ít nhất 82,5 điểm (khớp đáp án nguồn 82,5).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Mốt là giá trị có tần số lớn nhất: tần số lớn nhất là 11 ứng với $x=22$, nên mốt bằng 22 chứ không phải 11 (11 chỉ là tần số).
b) Sai. $\overline{x}=\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22\cdot 11+23\cdot 10+24\cdot 6}{40}=\frac{884}{40}=22,1\ne 23$.
c) Sai. $\sum n_i{x}_i^2=2000+3528+5324+5290+3456=19598$, nên $s^2=\frac{19598}{40}-(22,1{)}^2=489,95-488,41=1,54\ne 2,04$.
d) Đúng. Với $n=40$, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 20 và 21. Tần số tích lũy: 5, 13, 24 nên cả hai giá trị thứ 20 và 21 đều bằng 22, do đó $Me=22$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất, tức $x=22$ (tần số 11), không phải 11.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x}=\frac{884}{40}=22,1\ne 23$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{19598}{40}-22,1^2=1,54\ne 2,04$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị thứ 20 và 21 đều bằng 22 nên $Me=22$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số lần thí nghiệm: 78+259+346+230+77+10=1000.

**Số trung bình:**
$$\bar{x}=\frac{0\cdot 78+1\cdot 259+2\cdot 346+3\cdot 230+4\cdot 77+5\cdot 10}{1000}=\frac{0+259+692+690+308+50}{1000}=\frac{1999}{1000}=1,999\approx 2.$$

**Tứ phân vị:** Với n=1000, vị trí Q1 là 250,25 và Q3 là 750,75.
- Tần số tích lũy: 78 (giá trị 0), 337 (giá trị 1), 683 (giá trị 2), 913 (giá trị 3), 990 (giá trị 4), 1000 (giá trị 5).
- Giá trị thứ 250 và 251 đều bằng 1 nên $Q_1=1$.
- Giá trị thứ 750 và 751 đều bằng 3 nên $Q_3=3$.
- Khoảng tứ phân vị $IQR=Q_3-Q_1=3-1=2$.

**Mốt:** Giá trị có tần số lớn nhất là 2 (xuất hiện 346 lần), nên mốt $M_o=2$.

Kết luận: số trung bình $\bar{x}=1,999\approx 2$; $Q_1=1$, $Q_3=3$, $IQR=2$; mốt $M_o=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $n+m=40-5-8-6=21$, suy ra $m=21-n$. Sản lượng trung bình: $\frac{20\cdot 5+21\cdot 8+22n+23m+24\cdot 6}{40}=22,1$. Tử số: $100+168+144+22n+23m=412+22n+23m=884$, nên $22n+23m=472$. Thay $m=21-n$: $22n+483-23n=472\Rightarrow n=11$ (và $m=10$). Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng khối lượng của 30 quả trứng là $36,5\cdot 30=1095$ (g). Tổng các giá trị đã biết: $25\cdot 3+30\cdot 5+35\cdot 10+45\cdot 4+50\cdot 2=75+150+350+180+100=855$ (g). Do đó $6x=1095-855=240$, suy ra $x=40$. Vậy mẫu số liệu (đã sắp xếp) gồm: giá trị 25 (tần số 3), 30 (5), 35 (10), 40 (6), 45 (4), 50 (2). Tần số tích lũy: 3; 8; 18; 24; 28; 30. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3\cdot 30}{4}=22,5$, tức quan sát thứ 23. Vì $18<23\le 24$ nên quan sát thứ 23 có giá trị 40. Vậy $Q_3=40$ (g).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=7$): 5; 7; 17; 19; 23; 24; 39. Tứ phân vị thứ nhất là giá trị ở vị trí thứ $(7+1)/4=2$, tức $Q_1=7$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=8$ giá trị đã sắp xếp: $1;4;5;7;8;10;12;15$. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa sau gồm $8;10;12;15$, nên $Q_3=\frac{10+12}{2}=11$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (n = 12) tăng dần: 15; 16; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30; 31; 32. Vì n = 12 chẵn, tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 6 giá trị đầu: 15; 16; 16; 18; 20; 22. Trung vị của 6 giá trị này là trung bình của giá trị thứ 3 và thứ 4: Q1 = (16 + 18)/2 = 17,0. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có 8 số liệu nên trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 sau khi sắp xếp. Phép biến đổi $y_i=3x_i-2$ là phép biến đổi tuyến tính tăng ngặt, do đó không làm thay đổi thứ tự của dãy. Trung vị mới là $M_e^{\prime }=3M_e-2=3\cdot 15-2=43$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình $\overline{x}=\frac{6+6,5+7+7,5+8+8,5+50}{7}=\frac{93,5}{7}\approx 13,35$ bị giá trị ngoại lai 50 kéo lên rất cao, không phản ánh thu nhập phổ biến. Trung vị $M_e=7,5$ (giá trị thứ 4 trong dãy đã sắp xếp) không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai, nên đại diện trung thực nhất cho mức thu nhập phổ biến. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy đã xếp tăng dần: 1; 3; $x$; $y$; 10; 12 với $1\le 3\le x\le y\le 10$. Trung vị là trung bình cộng hai giá trị giữa: $\frac{x+y}{2}=5\Rightarrow x+y=10$. Mốt duy nhất là 3 nên giá trị 3 phải xuất hiện nhiều nhất và duy nhất, tức $x=3$ (khi đó 3 xuất hiện hai lần, các giá trị khác xuất hiện một lần). Suy ra $y=7$ (thỏa $3\le 7\le 10$). Vậy $x+2y=3+14=17$. Đáp án B.