Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị ta có $f(t)=0\iff t=-1$ hoặc $t=2$. Phương trình $\frac{f(f(x))}{f^2(x)+f(x)}=0\iff \{\begin{array}{l}f(f(x))=0\\ f(x)\ne 0\\ f(x)\ne -1\end{array}\iff f(x)=2$. Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt nên phương trình có $3$ nghiệm thực.

Ta có $6-2f(x)=0\iff f(x)=3$.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-\infty ;\frac{1}{2})$ hàm số đạt giá trị từ $3$ (tại $x\to -\infty$, với ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$) lên $5$ rồi giảm xuống $-\infty$, và trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$ hàm số tăng từ $-\infty$ lên $3$ (khi $x\to +\infty$). Do đó đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng $1$ điểm thuộc khoảng $(-1;\frac{1}{2})$.

Từ đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=m<0</td></tr><tr><td>x=n>0</td></tr></tbody></table>$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty$ (do $a<0$). Khi đó $f(0)=0$, và bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:



Phương trình $3f(x)+4=0\iff f(x)=-\frac{4}{3}<0$. Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt.

Ta có $2f(x)+1-m=0\iff f(x)=\frac{m-1}{2}$. Dựa vào đồ thị trên $[0;+\infty )$, đường thẳng $y=\frac{m-1}{2}$ cắt phần đồ thị ứng với $x\ge 0$ tại hai điểm phân biệt khi $-1\le \frac{m-1}{2}<1\iff -1\le m<3$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1;2\}$, có $4$ giá trị. Chọn A.

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ được suy ra từ đồ thị $y=f(x)$ bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục $Ox$ và lấy đối xứng phần phía dưới trục $Ox$ qua $Ox$. Khi đó điểm cực tiểu $(1;-1)$ biến thành điểm cực đại $(1;1)$, còn điểm cực đại $(-1;3)$ giữ nguyên. Do đó phương trình $|f(x)|=m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in (1;3)$. Chọn A.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+(m+2)x^2+(m^2-m-3)x-m^2=0\iff (x-1)(x^2+(m+3)x+m^2)=0$. Đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt khi $g(x)=x^2+(m+3)x+m^2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$, tức là $\{\begin{array}{l}\Delta =(m+3{)}^2-4m^2>0\\ g(1)=m^2+m+4\ne 0\end{array}\iff -3m^2+6m+9>0\iff -1<m<3$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn A.

Thực hiện phép biến đổi đồ thị hàm số $y=|f(|x|)|$: giữ nguyên phần đồ thị $y=f(x)$ bên phải trục $Oy$, lấy đối xứng qua $Oy$ để được đồ thị $y=f(|x|)$, sau đó lấy đối xứng phần dưới trục $Ox$ lên trên trục $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=|f(|x|)|$, phương trình $|f(|x|)|=m$ có tối đa $8$ nghiệm phân biệt khi $0<m<1$. Chọn C.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ trên trang 5, phương trình $f(t)=1$ có $3$ nghiệm thực phân biệt là $t_1\in (-2;-1)$, $t_2=0$, và $t_3\in (1;2)$. Xét các phương trình: $f(x)=t_1\in (-1;1)$ có $1$ nghiệm (do $t_1<-1$ nằm dưới giá trị cực tiểu $-1$); nhưng theo đồ thị đường ngang qua $1$ cắt tại $t_1\in (-2;-1)>-1$, nên $f(x)=t_1\in (-1;3)$ có $3$ nghiệm phân biệt, $f(x)=0\in (-1;3)$ có $3$ nghiệm phân biệt, và $f(x)=t_3\in (1;2)\subset (-1;3)$: trong đó một nghiệm trùng cực trị hoặc nằm ngoài miền tạo tổng cộng $7$ nghiệm thực phân biệt. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 643; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $f(x)=-\frac{m}{2}$ có đúng $3$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $-4<-\frac{m}{2}<2\iff -4<m<8$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-3;-2;-1\}$, có $3$ giá trị. Chọn D.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+x^2-3x+4=2x+1\iff x^3+x^2-5x+3=0\iff (x-1{)}^2(x+3)=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Suy ra hai giao điểm là $A(-3;-5)$ và $B(1;3)$, do đó $AB=\sqrt{(1-(-3){)}^2+(3-(-5){)}^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$. Chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)