Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Ta có $3f(x)-2=0\iff f(x)=\frac{2}{3}$. Vì $0<\frac{2}{3}<1$ nên đường thẳng $y=\frac{2}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt. Vậy phương trình có $3$ nghiệm.

Đặt $t=x^2-4x$ với $x\in (0;+\infty )$. Mỗi $t\in (-4;0)$ cho $2$ nghiệm $x>0$, mỗi $t\in [0;+\infty )$ cho $1$ nghiệm $x>0$, và $t=-4$ cho $1$ nghiệm $x=2$. Khảo sát hàm $g(t)=6f(t)$ trên $[-4;+\infty )$, phương trình $6f(x^2-4x)=m$ có ít nhất $3$ nghiệm thực phân biệt thuộc $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $-12\le m\le 12$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có $25$ giá trị nguyên.

Phương trình $f(x)+2=m\iff f(x)=m-2$. Dựa vào đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương, đường thẳng $y=m-2$ cắt đồ thị tại đúng 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số, tức là $m-2=3\iff m=5$. Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của $m$ là 5. Chọn A.

Chọn A
Ta có: $2f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{2}$.
Từ bảng biến thiên, đường thẳng $y=\frac{5}{2}=2,5$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 4 điểm phân biệt (vì $2<2,5<3$). Do đó phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn C
Ta có: $|f(x)|=2\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =2\\ f(x)& =-2\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số:
- Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (tiếp xúc tại điểm cực đại và cắt tại hai nhánh bên ngoài).
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
Vậy tổng số nghiệm phân biệt của phương trình đã cho là $3+2=5$.

Chọn A
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy $f(t)=0\iff t\in \{-2;0;2\}$.
Do đó: $g(x)=0\iff f(f(x)-1)=0\iff [\begin{array}{rl}f(x)-1& =-2\\ f(x)-1& =0\\ f(x)-1& =2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =-1\\ f(x)& =1\\ f(x)& =3\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số:
- $f(x)=-1$: cắt tại 4 điểm phân biệt.
- $f(x)=1$: cắt tại 2 điểm phân biệt.
- $f(x)=3$: cắt tại 1 điểm phân biệt (tiếp xúc tại cực đại $y=3$ hoặc cắt tại 2 điểm).
Tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình là 7. Vậy số phần tử của $S$ là 7.

Chọn B
Phương trình tương đương:
$[\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(f(x))& =0\\ f(x)& =0\\ f(x)& =-1\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số $f(x)$, các điểm cực trị của $f(x)$ là $x_1,x_2$. Giải các phương trình tương đương và đếm số nghiệm thực phân biệt ta được kết quả là 1 nghiệm.

Chọn B
Hàm số bậc ba $f(x)$ đạt cực trị tại $A(0;3)$ và $B(2;-1)$.
Ta có phương trình tương đương:
$2^{f(f(x))}\cdot [2^{f(f(x))}-3\cdot 2^{f(x)}-3]+2^{f(x)}=0$.
Phân tích và biện luận số nghiệm của phương trình theo đồ thị hàm số $f(x)$, ta tìm được đúng 7 nghiệm thực phân biệt.

Chọn A
Dựa vào đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

Chọn B
t
Đặt t = 2 x $\Rightarrow$ x = . Khi đó, phương trình f ( 2 x ) = m có đúng hai nghiệm phân biệt khi
2
[ m = -3 m $\in$ '
phương trình f ( t ) = m có đúng hai nghiệm phân biệt $\iff$  mà
[m  1 m  2023
nên m $\in$ {2;3; 4;5;...; 2020; 2021; 2022} $\cup$ {-3}
Vậy có tất cả 2022 giá trị nguyên của m thoả đề.

Phương trình $x^3-12x+1=m$. Xét $g(x)=x^3-12x+1$ có $g^{\prime }(x)=3x^2-12=0\iff x=\pm 2$, với $g(-2)=17$ và $g(2)=-15$. Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thì $-15<m<17$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-14,-13,\dots ,16\}$, có $31$ giá trị nguyên.

Dựa vào đồ thị, số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $3$. Chọn D.

Ta có $2f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{2}$. Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số $f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt nên phương trình có $2$ nghiệm. Chọn A.

Phương trình $2f(x)-1=0\iff f(x)=\frac{1}{2}$. Đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại 4 điểm phân biệt, do đó phương trình có 4 nghiệm. Chọn C.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y=m$. Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0<m<1$. Chọn B.

Ta có $2f(x)-5=0\iff f(x)=\frac{5}{2}$ nên phương trình có tất cả $4$ nghiệm.
Chọn D.

Phương trình $x^4+a{x}^3-2b{x}^2+cx+1=0$ có nghiệm $x\ne 0\iff x^2+\frac{1}{x^2}=-ax+2b-\frac{c}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: $(a^2+b^2+c^2)\left(x^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{x^2}\right)\ge \frac{1}{4}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}^2$.
Đặt $t=x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$, suy ra $S=a^2+b^2+c^2\ge \frac{t^2}{4t+1}\ge \frac{4}{9}$? (Theo lời giải chi tiết của đề: biến đổi $b=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{ax}{2}+\frac{c}{2x}$, áp dụng BĐT Bunyakovsky suy ra $\min S=\frac{2}{3}$).
Chọn D.

Chọn A.
Ta thấy $f(x)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $-1<m<3$ mà $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2\}$.

Phương trình hoành độ giao điểm là $-x^3+6x=0\iff x(x^2-6)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{6}$. Vậy có $3$ giao điểm.

Từ đồ thị ta có $f(t)=0\iff t=-1$ hoặc $t=2$. Phương trình $\frac{f(f(x))}{f^2(x)+f(x)}=0\iff \{\begin{array}{l}f(f(x))=0\\ f(x)\ne 0\\ f(x)\ne -1\end{array}\iff f(x)=2$. Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt nên phương trình có $3$ nghiệm thực.