Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ (vì $f^{\prime }(x)=2024^x\ln 2024+2024^{-x}\ln 2024+1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$). Do đó $f\left(|x^3-3x|\right)=f(-m)\iff |x^3-3x|=-m$ ($m<0$). Đặt $g(x)=x^3-3x$, phương trình $g(x)=-m$ có $3$ nghiệm $x_1<x_2<0<x_3$ và $g(x)=m$ có $3$ nghiệm $-x_3<0<-x_2<-x_1$. Tổng các nghiệm âm là $x_1+x_2-x_3=2-4\sqrt{2}$. Kết hợp $x_1+x_2+x_3=0$ suy ra $x_3=2\sqrt{2}-1\Rightarrow -m=x_3^3-3x_3=16\sqrt{2}-22\Rightarrow m=22-16\sqrt{2}$. Vậy $a=22,b=-16\Rightarrow a-b=38$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Ta có $6-2f(x)=0\iff f(x)=3$.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-\infty ;\frac{1}{2})$ hàm số đạt giá trị từ $3$ (tại $x\to -\infty$, với ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$) lên $5$ rồi giảm xuống $-\infty$, và trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$ hàm số tăng từ $-\infty$ lên $3$ (khi $x\to +\infty$). Do đó đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng $1$ điểm thuộc khoảng $(-1;\frac{1}{2})$.

Từ đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=m<0</td></tr><tr><td>x=n>0</td></tr></tbody></table>$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty$ (do $a<0$). Khi đó $f(0)=0$, và bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:



Phương trình $3f(x)+4=0\iff f(x)=-\frac{4}{3}<0$. Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt.

Đặt $t=\sqrt[3]{f(x)+m}\Rightarrow t^3=f(x)+m\Rightarrow f(x)=t^3-m$.
Mà $f(t)=x^3-m$ nên $f(x)+x^3=f(t)+t^3(1)$.
Xét $g(u)=f(u)+u^3\Rightarrow g^{\prime }(u)=5u^4+9u^2\ge 0,\forall u\in \mathbb{R}$, do đó $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ $(1)$ suy ra $x=t\Rightarrow f(x)+m=x^3\Rightarrow x^5+x^3=3m$.
Xét $h(x)=x^5+x^3,x\in [-1;1]$, có $h(x)\in [-2;2]$.
Để phương trình có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$ thì $3m\in [-2;2]\Rightarrow m\in \left[-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right]$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0$.
Chọn C.

Ta có $2f(x)+1-m=0\iff f(x)=\frac{m-1}{2}$. Dựa vào đồ thị trên $[0;+\infty )$, đường thẳng $y=\frac{m-1}{2}$ cắt phần đồ thị ứng với $x\ge 0$ tại hai điểm phân biệt khi $-1\le \frac{m-1}{2}<1\iff -1\le m<3$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1;2\}$, có $4$ giá trị. Chọn A.

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ được suy ra từ đồ thị $y=f(x)$ bằng cách giữ nguyên phần phía trên trục $Ox$ và lấy đối xứng phần phía dưới trục $Ox$ qua $Ox$. Khi đó điểm cực tiểu $(1;-1)$ biến thành điểm cực đại $(1;1)$, còn điểm cực đại $(-1;3)$ giữ nguyên. Do đó phương trình $|f(x)|=m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in (1;3)$. Chọn A.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=-m-8$. Để hai điểm biểu diễn $z_1,z_2$ cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tam giác thì $z_1,z_2$ phải là hai nghiệm phức không thực, tức ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>-8$ và $m\ne 0$. Khi đó $z_{1,2}=m\pm i\sqrt{m+8}$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{OAB}=\frac{1}{2}|m|\cdot 2\sqrt{m+8}=|m|\sqrt{m+8}=3\iff m^2(m+8)=9\iff m^3+8m^2-9=0$. Phương trình bậc ba này có $3$ nghiệm thực phân biệt thuộc $(-8;+\infty )\setminus \{0\}$ có tổng bằng $-8$ (theo định lí Vi-ét). Chọn C.

Từ đồ thị ta thấy $1<2<5$ nên đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $3$ điểm phân biệt. Vậy phương trình có $3$ nghiệm thực.

Đặt $g(x)=f(x^2+2x+3)$ trên $(-3;2)$. Nhận thấy đồ thị $g(x)$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng và $(-3;2)$ chứa đoạn đối xứng $(-3;1)$. Lập bảng biến thiên của $g(x)$ với $g(-1)=f(2)=-52$ và $g(-2)=g(0)=f(3)=-77$, phương trình $g(x)=m$ có $4$ nghiệm phân biệt thuộc $(-3;2)$ (có tổng bằng $2\cdot (-2)=-4$) khi và chỉ khi $-77<m<-52$. Vậy có $24$ giá trị nguyên của $m$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 15, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+(m+2)x^2+(m^2-m-3)x-m^2=0\iff (x-1)(x^2+(m+3)x+m^2)=0$. Đồ thị cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt khi $g(x)=x^2+(m+3)x+m^2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$, tức là $\{\begin{array}{l}\Delta =(m+3{)}^2-4m^2>0\\ g(1)=m^2+m+4\ne 0\end{array}\iff -3m^2+6m+9>0\iff -1<m<3$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn A.

Thực hiện phép biến đổi đồ thị hàm số $y=|f(|x|)|$: giữ nguyên phần đồ thị $y=f(x)$ bên phải trục $Oy$, lấy đối xứng qua $Oy$ để được đồ thị $y=f(|x|)$, sau đó lấy đối xứng phần dưới trục $Ox$ lên trên trục $Ox$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=|f(|x|)|$, phương trình $|f(|x|)|=m$ có tối đa $8$ nghiệm phân biệt khi $0<m<1$. Chọn C.

Ta có $2f(x)-1=0\iff f(x)=\frac{1}{2}$. Dựa vào đồ thị, đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ (nằm giữa $-2$ và $2$) cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt nên phương trình có $4$ nghiệm thực phân biệt. Chọn A.

Nhân liên hợp hai vế, phương trình tương đương $f^2(x)+\sqrt{f^4(x)+1}=-(m+1)+\sqrt{[-(m+1){]}^2+1}$. Xét hàm số $g(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ có $g^{\prime }(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên $g(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó phương trình trở thành $f^2(x)=-m-1\iff |f(x)|=\sqrt{-m-1}$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=|f(x)|$, phương trình có $6$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $2<\sqrt{-m-1}<3\iff 4<-m-1<9\iff -10<m<-5$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-9;-8;-7;-6\}$, có $4$ giá trị. Chọn A.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình $f(x^2-3x-2)=m$ $(1)$.
Đặt $x-\frac{3}{2}=t$, $f(x^2-3x-2)=m\iff f\left(t^2-\frac{17}{4}\right)=m\iff {\left(t^2-\frac{17}{4}\right)}^3-3{\left(t^2-\frac{17}{4}\right)}^2+21=m$ $(2)$.
Đặt $t^2-\frac{17}{4}=a$, $(2)\iff a^3-3a+21=m$ $(3)$.
Tổng các nghiệm của phương trình $(2)$ luôn bằng $0$. Giả sử phương trình $(1)$ có $k$ nghiệm (nghiệm kép ta tính $2$ nghiệm), ta có
$x_1+x_2+\cdots +x_k=\left(t_1-\frac{3}{2}\right)+\left(t_2-\frac{3}{2}\right)+\cdots +\left(t_k-\frac{3}{2}\right)=t_1+t_2+\cdots +t_k+\frac{3k}{2}=\frac{3k}{2}\le \frac{3.6}{2}=9$
(do phương trình $(1)$ là bậc $6$ nên có tối đa $6$ nghiệm).
Theo bài ra tổng các nghiệm phân biệt cũng bằng $9$ nên yêu cầu bài toán tương đương với tìm $m$ nguyên để phương trình $(1)$ có $6$ nghiệm phân biệt $\iff a^3-3a+21=m$ có $3$ nghiệm lớn hơn $-\frac{17}{4}\iff 19<m<23$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 24, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)