Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1, tâm $O$ tại gốc tọa độ. Khi đó $B=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Các đỉnh: $A\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $F(-1;0)$, $D\left(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $E\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{DE}=(-1;0)$, $\overrightarrow{AB}=(1;0)$, $\overrightarrow{DO}=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, còn $\overrightarrow{FA}=A-F=\left(-\frac{1}{2}+1;\frac{\sqrt{3}}{2}-0\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\overrightarrow{OB}$. Vậy $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{FA}$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 101, câu 4: D).

Ta có ${\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2-2\vec{a}\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\vec{b}=\frac{9}{2}$. Do đó: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|}=\frac{3}{8}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ và $MB=3MA$ nên $MA=\frac{1}{4}AB$, tức $AB=4MA$. Hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}$ (độ dài $MB=3MA$). Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng) nên A sai; $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$ (ngược hướng) nên B sai; $\overrightarrow{MB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}$ (ngược hướng với $\overrightarrow{BA}$) nên C sai. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(a^2+0\right)=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều ABC cạnh a=2, các góc 60°. a) Theo quy tắc ba điểm: AB + BC = AC, đúng. b) BC − AC = BC + CA = BA ≠ AB, sai. c) (AB+BC).AC = AC.AC = |AC|² = 4 ≠ −4, sai. d) AC − BC = AC + CB = AB; AB.BA = −|AB|² = −4 ≠ 4, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC − AC = BC + CA = BA, khác AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AB+BC).AC = AC.AC = |AC|² = 4 ≠ −4.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC − BC = AB; AB.BA = −|AB|² = −4 ≠ 4.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $H$ là trực tâm (đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp).

a) Ta có $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$, do đó $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA=a$.

b) Trong tam giác đều, trực tâm $H$ trùng trọng tâm nên $CH=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì $CH$ nằm trên phân giác của góc $C$ nên góc giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CH}$ bằng $30^{\circ }$. Do đó:
$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CH}=CB\cdot CH\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Kết luận: a) $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=a$; b) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CH}=\frac{a^2}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chữ nhật ABCD với AB=3, AD=4, hai vectơ AB và AD vuông góc.
a) Trong chữ nhật, AD = BC (cùng hướng, cùng độ dài) → đúng.
b) Vì AB ⊥ AD nên AD·AB = 0 ≠ 2 → sai.
c) BC − BA = BC + AB = AC; |AC| = √(3²+4²) = 5 → đúng.
d) |2AB + 3AD|² = 4|AB|² + 9|AD|² + 12(AB·AD) = 4·9 + 9·16 + 0 = 180, nên |2AB + 3AD| = 6√5 ≈ 13,42 ≠ 7 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong chữ nhật ABCD, vectơ AD và BC cùng hướng và cùng độ dài nên AD = BC.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB ⊥ AD nên AD·AB = 0, không bằng 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC − BA = BC + AB = AC và |AC| = √(3²+4²) = 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
|2AB + 3AD|² = 4·9 + 9·16 + 0 = 180 nên |2AB + 3AD| = 6√5 ≠ 7.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=6$ cm, $AD=8$ cm, tâm $O$.

a) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$). Vậy độ dài cần tính là $AC$. Theo Pythagore trong tam giác $ADC$ vuông tại $D$:
$$AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\text{ (cm)}.$$

b) Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$. Do đó:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\right).$$
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=|AB{|}^2=36$ và $AB\perp AD$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$. Vậy:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(36+0)=18.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tàu A đi về hướng tây với vận tốc 30 hải lí/giờ, tàu B đi về hướng đông (ngược chiều) với tốc độ 40 hải lí/giờ. Hai vecto vận tốc ngược hướng nên $\vec{b}=-\frac{40}{30}\vec{a}=-\frac{4}{3}\vec{a}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: Tam giác đều ABC cạnh 3, tâm O (trọng tâm). a) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ → sai. b) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{OC}$ → sai. c) O là trọng tâm tam giác đều nên $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}=\vec{0}$ → đúng. d) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $120^{\circ }$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\cdot 3\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{9}{2}\ne -9$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{OC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
O là trọng tâm (tâm) tam giác đều nên tổng ba vectơ từ đỉnh đến O bằng $\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\cdot 3\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{9}{2}\ne -9$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.

a. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành, vì $ABCD$ là hình bình hành). Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông).

b. Cách 1: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ với $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})={\overrightarrow{AB}}^2=a^2$.

Cách 2: Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $45^{\circ }$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

Kết luận: a) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{2}$; b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$: A đúng vì $AB$ song song và cùng chiều $DC$. C đúng vì quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$. D đúng vì quy tắc hình bình hành tại $A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không thể bằng $\overrightarrow{AD}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$). Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh A, B, C của tam giác, mỗi cặp đỉnh phân biệt tạo được 2 véc tơ (đi và ngược chiều). Số cặp đỉnh là $C_3^2=3$, nên số véc tơ là $3\times 2=6$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Tất cả đều khác $\vec{0}$ vì các đỉnh phân biệt. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABD$ cân tại $A$ với góc đỉnh $60^{\circ }$ là tam giác đều, do đó $BD=a$. Đường chéo $AC=a\sqrt{3}$ (vì $AC=2\cdot a\cos 30^{\circ }=a\sqrt{3}$). Tâm $O$ là trung điểm hai đường chéo nên $OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $OB=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$: đáp án D đúng. Các phương án A, B sai vì $OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne a$ và $\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$; phương án C sai vì $OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne \frac{a}{2}=OB$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với quy tắc trừ vectơ: $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{Y}-\overrightarrow{X}$. A: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(\vec{C}-\vec{A})-(\vec{B}-\vec{A})=\vec{C}-\vec{B}=\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{CB}$, nên mệnh đề A sai. B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng (quy tắc ba điểm). C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$ đúng. D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$ đúng. Vậy mệnh đề sai là A, khớp đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (1) Vì I là trung điểm BC nên $\overrightarrow{IB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$), mệnh đề sai. (2) Theo quy tắc trung điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, không phải $\overrightarrow{AI}$, mệnh đề sai. (3) G là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$, đúng. (4) Với M tùy ý, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ nên $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$, đúng. Vậy có 2 mệnh đề đúng, chọn D (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, góc $\widehat{BAC}=45^{\circ }$ và $AC=a\sqrt{2}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-a^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$. Suy ra $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BA}$. Vì $BA\perp BC$ nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$, và $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BA}=|BA{|}^2=a^2$. Vậy $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=a^2$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Câu 12, mã đề 0101: B).

Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 0101, câu 13): DSSD. a) Đúng. b) Sai. c) Sai vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2a\cdot 3a\cdot \cos 60^{\circ }=3a^2\ne 4a^2$. d) Đúng vì $12\overrightarrow{AJ}=7\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AJ}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (1) Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (hai vecto ngược hướng), mệnh đề sai. (2) Với $I$ trung điểm $BC$, quy tắc trung điểm cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, mệnh đề sai. (3) Trọng tâm $G$ thẳng hàng $A$, $I$ với $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}$, do đó $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$ (ngược hướng), mệnh đề sai. (4) Với $G$ là trọng tâm, đẳng thức $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$ đúng với mọi điểm $M$ (tính chất trọng tâm). Vậy chỉ có $1$ mệnh đề đúng, chọn $B$, khớp với đáp án nguồn.