Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Theo Pythagore: $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=52-36=16$, tức $AB=4$. Khi đó ${\left|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|}^2=4A{B}^2+A{C}^2+4\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=64+36+0=100$, suy ra $\left|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=10$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh 2 nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=2$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Do đó ${\left|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|}^2=4\cdot 4+4+4\cdot (\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC})=16+4+0=20$, suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Vậy $a=2$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ (đặt đuôi chung tại $B$) bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án với 4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bất kỳ.

Phương án B: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}$. Suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ (vì $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$). Vậy B đúng.

Phương án A sai: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}$, khác $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ nói chung.

Phương án C sai: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ nói chung.

Phương án D sai: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ nói chung (ví dụ với $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$: vế trái $=(0,-1)+(0,1)=\vec{0}$, vế phải $=(1,0)+(-1,0)=\vec{0}$ — nhưng thử $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$, $D(1,1)$: vế trái $=(-1,-1)+(-1,1)=(-2,0)$, vế phải $=(1,0)+(1,0)=(2,0)$, khác nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(34,0), D(8.5; 17√3/2), C(42.5; 17√3/2); Q(17,0), P(25.5; 17√3/2).
a) Theo quy tắc hình bình hành, AD + AB = AC (đường chéo từ A), không phải BD. Sai.
b) IA - DI + IC = IA + ID + IC = (IA + IC) + ID = 0 + ID = ID (vì I trung tâm nên IA + IC = 0). Đúng.
c) QC - CP = QC + PC. QC = (25.5; 17√3/2), PC = (17; 0), tổng = (42.5; 17√3/2) = AC = AB + AD. Đúng.
d) |AD + AB|² = 17² + 34² + 2·17·34·cos60° = 289 + 1156 + 578 = 2023 = 49·... thực tế 2023 = 7·289, nên |AD + AB| = 17√7. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AD + AB = AC theo quy tắc hình bình hành (đường chéo từ A), không phải BD.
b) (AI giải đề cho tôi)
IA - DI + IC = IA + ID + IC = (IA + IC) + ID = 0 + ID = ID vì I là tâm hình bình hành nên IA + IC = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
QC - CP = QC + PC = (25.5; 17√3/2) + (17; 0) = (42.5; 17√3/2) = AC = AB + AD.
d) (AI giải đề cho tôi)
|AD + AB|² = 17² + 34² + 2·17·34·cos60° = 2023 = 7·17², nên |AD + AB| = 17√7.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;\sqrt{3}),B(-1;0),C(1;0)$. Khi đó $D(-0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$ (trung điểm $AB$), $E(0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$ (trung điểm $AC$), $F(0;0)$ (trung điểm $BC$).

a) $\overrightarrow{DF}=(0,5;-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{AC}=(1;-\sqrt{3})=2\overrightarrow{DF}$, nên hai vecto cùng hướng (đây là trung bình tuyến), không ngược hướng → Sai.

b) $\overrightarrow{DA}=(0,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{DF}=(0,5;-\frac{\sqrt{3}}{2})$, tổng bằng $(1;0)$; $\overrightarrow{DE}=(1;0)$. Vậy $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}$ → Đúng.

c) Vì $\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (cùng hướng) nên $\overrightarrow{DF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ → Sai.

d) $\overrightarrow{BE}=(1,5;\frac{\sqrt{3}}{2})$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE}=0,5\cdot 1,5+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0,75-0,75=0$ → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ nên hai vecto cùng hướng, không ngược hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;\sqrt{3}),B(-1;0),C(1;0)$: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DF}=(1;0)=\overrightarrow{DE}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (cùng hướng), không phải $-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{BE}=0,75-0,75=0$, hai vecto vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều, D trung điểm AB, E trung điểm AC, F trung điểm BC. a) DF là đường trung bình song song với AC và cùng hướng với AC (từ D đến F tương ứng từ A đến C), nên hai vecto cùng hướng, không ngược hướng → Sai. b) Tọa độ vecto: DA + DF = (A−D) + (F−D) = A + F − 2D với D=(A+B)/2, F=(B+C)/2 nên = A + (B+C)/2 − (A+B) = (C−B)/2; còn DE = E−D = (A+C)/2 − (A+B)/2 = (C−B)/2. Vậy DA + DF = DE → Đúng. c) Vì DF cùng hướng AC và DF = ½AC nên DF = ½AC, không phải −½AC → Sai. d) DF ∥ AC (đường trung bình), BE là trung tuyến từ B xuống AC; trong tam giác đều trung tuyến cũng là đường cao nên BE ⊥ AC, do đó DF·BE = 0 → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
DF là đường trung bình của tam giác nên DF ∥ AC và cùng hướng với AC (DF = ½AC), hai vecto cùng hướng chứ không ngược hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
DA + DF = A + F − 2D = A + (B+C)/2 − (A+B) = (C−B)/2 = E − D = DE.
c) (AI giải đề cho tôi)
DF cùng hướng với AC nên DF = ½AC, không phải −½AC.
d) (AI giải đề cho tôi)
DF ∥ AC còn BE là trung tuyến (đồng thời là đường cao) của tam giác đều nên BE ⊥ AC, suy ra DF·BE = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$, đặt $A$ làm gốc, $B$ có vectơ $\vec{b}$: $-2\vec{m}+3(\vec{b}-\vec{m})=\vec{0}\Rightarrow \vec{m}=\frac{3}{5}\vec{b}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. a) Đúng vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ (hệ số $0<\frac{3}{5}<1$). b) Đúng. c) $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, khác $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ nên Sai. d) $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}={\overrightarrow{CA}}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AM}=4a^2+\frac{3}{5}(\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB})$. Vì $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=-2a\cdot a\cos 60^{\circ }=-a^2$, nên $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=4a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{17}{5}{a}^2$: Đúng. Khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ với $0<\frac{3}{5}<1$, nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc $A$: $-2\overrightarrow{AM}+3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM})=\vec{0}\Rightarrow 5\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$, không phải $-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CM}=|\overrightarrow{CA}{|}^2+\frac{3}{5}\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=4a^2+\frac{3}{5}(-2a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }\cdot (-1))=4a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{17}{5}{a}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ với $MA=\frac{1}{5}AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ (A đúng); $\overrightarrow{MB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra B: $-\frac{1}{4}\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}$, đúng. Kiểm tra C: $-4\overrightarrow{MA}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}$, đúng. D sai vì $\overrightarrow{MB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ (cùng chiều với $\overrightarrow{AB}$), không phải $-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm NP nên $\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IN}=\vec{0}$ (C đúng); quy tắc trung tuyến $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MI}$ (A đúng); tính chất trọng tâm $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\vec{0}$ (B đúng). Còn $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}\ne \overrightarrow{NP}$, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương, hai vectơ $\vec{u}=(2x-1)\vec{a}+(3y-1)\vec{b}$ và $\vec{v}=\vec{a}+\vec{b}$ cùng phương khi tồn tại $k$ sao cho $\vec{u}=k\vec{v}$. Suy ra hệ: $2x-1=k$ và $3y-1=k$, tức $2x-1=3y-1$, nên $2x=3y$, do đó $P=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: A(0;0), B(a;0), D(0;a), C(a;a). E đối xứng D qua C nên E(2a;a). Khi đó $\overrightarrow{AE}=(2a;a)$, $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, nên $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AB}=2a^2+0=2a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì M nằm trên AB với AM = 1/4 AB nên MB = 3/4 AB, và hai vectơ MA, MB ngược hướng. Xét từng khẳng định: B đúng vì AM = 1/4 AB và cùng hướng AB. C đúng vì BM = 3/4 AB = 3/4 BA (cùng hướng BA). D đúng vì MB = 3/4 AB = 3·(1/4 AB) = -3 MA (ngược hướng). A sai vì MA và MB ngược hướng nên phải là MA = -1/3 MB, không thể là MA = 1/3 MB. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(8a;0)$, $D(0;6a)$, $C(4a;6a)$ (vì $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$). Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;3a)$.

Ta có:
- $\overrightarrow{IA}=(0;-3a)$, $\overrightarrow{IB}=(8a;-3a)$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(8a;-6a)$.
- $\overrightarrow{ID}=(0;3a)$.

Do đó $(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})\cdot \overrightarrow{ID}=8a\cdot 0+(-6a)(3a)=-18a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là trung điểm BC. Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AH là đường cao, $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Trọng tâm G nằm trên AH với $\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HC}$... Cụ thể: $GC=\frac{2}{3}HC$ với $HC=\frac{a}{2}$, do đó $GC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì G thuộc đường trung tuyến AH nên tia CG chính là tia phân giác của góc C = 60°, suy ra góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{GC}$ bằng 30°. Vậy $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{GC}=CA\cdot GC\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vì $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{NA}$ nên N chia AC theo tỉ lệ $AN:NC=1:2$, do đó $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. K là trung điểm MN nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $MB=2MC$ và $M$ nằm giữa $B,C$ nên $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $m=1$, $n=2$, do đó $2m+499n=2+998=1000$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì I là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AI$. Tam giác ABC vuông tại B, $\hat{A}=30°$ nên $AC=\frac{AB}{\cos 30°}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền cách đều ba đỉnh nên $AI=\frac{AC}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}$. Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AI=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ vận tốc cùng phương (trục Đông – Tây) nhưng ngược chiều: $\overrightarrow{v_1}$ hướng Đông, $\overrightarrow{v_2}$ hướng Tây. Độ lớn: $|\overrightarrow{v_1}|=40$ km/h, $|\overrightarrow{v_2}|=60$ km/h, nên tỉ số độ lớn là $60/40=3/2$. Vì hai vectơ ngược chiều nên $\overrightarrow{v_2}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{v_1}$.