Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Vectơ $\vec{e}=m\vec{i}+\vec{j}$ có tọa độ $\vec{e}=(m;1)$. Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{a}\cdot \vec{e}=2m+5\cdot 1=2m+5=0$, suy ra $m=-\frac{5}{2}$. Vậy $m=-\frac{5}{2}$ (tức $m=-2,5$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì E, F lần lượt là trung điểm của CA, AB nên EF là đường trung bình của ΔABC, do đó EF ∥ BC. Trong ΔABD, F là trung điểm của AB và đường thẳng qua F song song với BD (tức EF) cắt AD tại I, nên I là trung điểm của AD (đường trung bình của ΔABD). Suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AF}=2\vec{v}$ và $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AE}=2\vec{u}$ nên $\overrightarrow{AD}=\vec{u}+\vec{v}$. Vậy $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Xét tổng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+(\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=\vec{0}+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\vec{0}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$, tương ứng phương án D. Các phương án A (dấu ngược chiều), B, C không thỏa mãn đẳng thức này.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{EA})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}$. Mặt khác $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$ vì hiệu hai vế: $\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EC}$, hai vế bằng nhau. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A}=90^{\circ }$, $\hat{B}=50^{\circ }$, suy ra $\hat{C}=40^{\circ }$. Xét từng hệ thức: A) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-\hat{B}=130^{\circ }$ đúng. B) $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC})=\hat{C}=40^{\circ }$ đúng. C) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB})=\hat{B}=50^{\circ }$ đúng. D) $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB})=180^{\circ }-\hat{C}=140^{\circ }\ne 120^{\circ }$ nên sai. Vậy hệ thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông là $a$. Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$. Vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC})=-a^2$. Mặt khác $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})=\frac{-a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a√2 nên AB = AC = a, góc C = 45°. Tích vô hướng: CA·CB = |CA|·|CB|·cos C = a·a√2·(√2/2) = a². Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại đỉnh B, bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cdot \cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì D đối xứng với B qua G nên G là trung điểm BD, do đó $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BG}$. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$. Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}.$$
Thay $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$:
$$\overrightarrow{MD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.$$
Kiểm tra bằng tọa độ: đặt A(0,0), B(b), C(c) thì $G=\frac{b+c}{3}$, $D=2G-b=\frac{-b+2c}{3}$, $M=\frac{b+c}{2}$, nên
$$\overrightarrow{MD}=D-M=\frac{-b+2c}{3}-\frac{b+c}{2}=\frac{-5b+c}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.$$
Hai cách tính khớp nhau. Vậy $\overrightarrow{MD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BD=2CD$ nên $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$$
Vậy $a=\frac{1}{3}$, $b=\frac{2}{3}$. Do đó:
$$T=6a+9b=6\cdot \frac{1}{3}+9\cdot \frac{2}{3}=2+6=8.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AC$ nên theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=2AI=AC$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $\hat{A}=30^{\circ }$, $AB=a$ nên:
$$\cos 30^{\circ }=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AC=\frac{AB}{\cos 30^{\circ }}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$$

Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BE=\frac{1}{4}BC$ nên $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$ ta có $16=16+9-24\cos \alpha$, suy ra $\cos \alpha =\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$. Vậy phát biểu đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm G của tam giác ABC, ta có tính chất: với mọi điểm M, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$. Thật vậy, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MN}$ với N trung điểm BC, và $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MG}$ do G nằm trên trung tuyến MN với $\overrightarrow{GN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, suy ra tổng bằng $3\overrightarrow{MG}$. Do đó mệnh đề B đúng. Các mệnh đề A, C, D sai vì tổng $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ (chỉ đúng khi M trùng G ở dạng C, và D sai dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ABCD cạnh 12 cm, E trung điểm CD.
(a) Sai. Góc giữa hai vecto AB và AC là góc BAC = 45° (đường chéo AC tạo với cạnh AB góc 45°), không phải 30°.
(b) Đúng. Hai đường chéo của hình vuông vuông góc nhau nên AC ⊥ BD, do đó AC·BD = 0.
(c) Đúng. Vì E thuộc đoạn CD nên AE = AD + DE, do đó AE·CD = (AD + DE)·CD = AD·CD + DE·CD (tính chất phân phối của tích vô hướng).
(d) Đúng. AD·AC = |AD|·|AC|·cos45° = 12·12√2·(√2/2) = 144.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa AB và AC là góc BAC = 45°, không phải 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo hình vuông vuông góc nên AC·BD = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
AE = AD + DE nên AE·CD = AD·CD + DE·CD theo tính chất phân phối.
d) (AI giải đề cho tôi)
AD·AC = 12·12√2·cos45° = 144.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(3;0), C(3;3), D(0;3). Khi đó M(2;0) (vì BM=1), N(1;3) (vì DN=1), P(3;1,5) (trung điểm BC). Ta có $\overrightarrow{NM}=(1;-3)$, $\overrightarrow{NP}=(2;-1,5)$. Tích vô hướng: $1\cdot 2+(-3)(-1,5)=6,5$. Độ dài: $|\overrightarrow{NM}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{NP}|=\sqrt{4+2,25}=2,5$. Vậy $\cos (\overrightarrow{NM},\overrightarrow{NP})=\frac{6,5}{2,5\sqrt{10}}=\frac{2,6}{\sqrt{10}}\approx 0,8222\approx 0,82$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2-4\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=4\cdot 9-4\vec{a}\cdot \vec{b}+16=52-4\vec{a}\cdot \vec{b}$. Theo giả thiết $|2\vec{a}-\vec{b}{|}^2=76$, suy ra $52-4\vec{a}\cdot \vec{b}=76\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=-6$. Khi đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-6}{3\cdot 4}=-\frac{1}{2}$. Vậy góc giữa hai vec tơ là $120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh a có đường cao $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Trọng tâm G nằm trên trung tuyến AM với $AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $|\overrightarrow{AG}|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình ảnh, hai lực kéo $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ nằm trên cùng một đường thẳng (sợi dây kéo co) và ngược hướng nhau: $\overrightarrow{F_1}$ hướng sang trái (về phía lớp 10A8), $\overrightarrow{F_2}$ hướng sang phải (về phía lớp 10A7).
a) Đúng: mũi tên biểu diễn $\overrightarrow{F_1}$ dài hơn mũi tên $\overrightarrow{F_2}$ nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
b) Sai: hai vecto đối nhau phải cùng độ dài và ngược hướng; ở đây $\left|\overrightarrow{F_1}\right|>\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ nên chúng không phải hai vecto đối nhau.
c) Đúng: hai vecto ngược hướng nên $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=180^{\circ }$.
d) Sai: vì góc giữa hai vecto bằng $180^{\circ }$ nên $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}=-\left|\overrightarrow{F_1}\right|\left|\overrightarrow{F_2}\right|<0$.
Kết quả khớp với đáp án của đề (mã 102, Câu 1: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên hình, mũi tên $\overrightarrow{F_1}$ dài hơn mũi tên $\overrightarrow{F_2}$ nên độ lớn lực kéo của lớp 10A8 lớn hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto đối nhau cần cùng độ dài và ngược hướng; vì $\left|\overrightarrow{F_1}\right|>\left|\overrightarrow{F_2}\right|$ nên $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ không đối nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai lực kéo nằm trên cùng đường thẳng (sợi dây kéo co) và ngược hướng nên góc giữa chúng bằng $180^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì góc giữa hai vecto là $180^{\circ }$ nên $\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{F_2}=-\left|\overrightarrow{F_1}\right|\left|\overrightarrow{F_2}\right|<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=10\cdot 8+12\cdot (-6)=80-72=8$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{10^2+12^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}$, $|\vec{v}|=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$. Vậy $\cos \alpha =\frac{8}{2\sqrt{61}\cdot 10}=\frac{4}{10\sqrt{61}}\approx 0,0512$, suy ra $\alpha \approx 87,07^{\circ }\approx 87^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (87).