Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, do đó $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$.

Ta có:
$$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=25^2+25^2+2\cdot 25\cdot 25\cdot \cos 60^{\circ }=625+625+625=1875.$$

Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}\approx 43,3N$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn 43,3.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh 2, góc B = 60° nên góc A = góc C = 120°, góc D = 60°. a) Đường chéo AC là phân giác góc A = 120° nên góc giữa \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AC} bằng 60° → đúng. b) \overrightarrow{DA} đối hướng \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AD} tạo với \overrightarrow{AB} góc 120° nên góc giữa \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DA} bằng 180° − 120° = 60° ≠ 30° → sai. c) Góc giữa \overrightarrow{DA} và \overrightarrow{DC} là góc D = 60°, nên \overrightarrow{DA}$\cdot$\overrightarrow{DC} = 2·2·$\cos$ 60° = 2 ≠ 3 → sai. d) Chọn A(0,0), B(2,0), C(1,$\sqrt{3}$), D(−1,$\sqrt{3}$), tâm O(1/2, $\sqrt{3}$/2). Khi đó \overrightarrow{OB} = (3/2, −$\sqrt{3}$/2), \overrightarrow{BA} = (−2, 0), tích vô hướng = (3/2)(−2) + 0 = −3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC là phân giác góc A = 120° nên (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{DA} đối hướng \overrightarrow{AD}; AD tạo với AB góc 120° nên (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DA}) = 60°, không phải 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc D đối diện góc B nên góc D = 60°. Do đó \overrightarrow{DA}$\cdot$\overrightarrow{DC} = 2·2·$\cos$ 60° = 2 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
A(0,0), B(2,0), C(1,$\sqrt{3}$), D(−1,$\sqrt{3}$), O(1/2, $\sqrt{3}$/2); \overrightarrow{OB}$\cdot$\overrightarrow{BA} = (3/2)(−2) + 0 = −3.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$. Ta có $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}$. Và $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u})=\frac{3}{4}\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}\overrightarrow{v}$. Giả sử $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$, so sánh hệ số theo $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ (hai vectơ độc lập tuyến tính): $1=\frac{3}{4}k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$ và $\frac{1}{3}=\frac{1}{4}k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$. Hai điều kiện cho cùng kết quả, vậy $\overrightarrow{AE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AF}$, tức $k=\frac{4}{3}$, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao hai đường chéo (tâm) của hình vuông ABCD. Vì O là trung điểm của AC và của BD nên theo tính chất trung điểm: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO}$ và $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$. Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$, suy ra $T=4MO\ge 0$. Dấu bằng xảy ra khi $M\equiv O$ (tâm hình vuông), tức $MO=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $0$, đạt được khi $M$ trùng tâm hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, tức $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$ với $F_3=50\sqrt{3}$ N.

Theo hình vẽ (trang 8): $\widehat{AMB}=120^{\circ }$, $\widehat{AMC}=150^{\circ }$, suy ra góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $360^{\circ }-120^{\circ }-150^{\circ }=90^{\circ }$, tức $\overrightarrow{F_2}\perp \overrightarrow{F_3}$.

Từ $\overrightarrow{F_1}=-(\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3})$ và $\overrightarrow{F_2}\perp \overrightarrow{F_3}$: $F_1^2=F_2^2+F_3^2$.

Bình phương hai vế của $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$:
$$F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos 120^{\circ }=F_3^2\Rightarrow F_1^2+F_2^2-F_1{F}_2=F_3^2.$$

Thay $F_1^2=F_2^2+F_3^2$: $F_2^2+F_3^2+F_2^2-F_1{F}_2=F_3^2\Rightarrow F_1{F}_2=2F_2^2\Rightarrow F_1=2F_2$ (vì $F_2>0$).

Suy ra $4F_2^2=F_2^2+F_3^2\Rightarrow F_3^2=3F_2^2\Rightarrow F_2=\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=50$ N.

Vậy $F_1=2F_2=100$ N. Kiểm tra: $F_3=\sqrt{3}\cdot 50=50\sqrt{3}$ N đúng đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là trung điểm BC. Ta có $\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$. Vì tam giác ABC vuông tại A nên trung tuyến $AM=\frac{BC}{2}=6$. Trọng tâm G nằm trên AM với $GM=\frac{1}{3}AM=2$. Do đó $|\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{CG}|=2\cdot GM=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC cân tại A nên $AB=AC=6$, góc $BAC=120°$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cdot \cos 120°=-18$. Ta có $AM=\frac{1}{3}AB$, $AN=\frac{1}{2}AC$. Biểu diễn: $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Khi đó $$\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^2-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$ $$=\frac{1}{6}(-18)-\frac{1}{2}(36)-\frac{1}{3}(36)+(-18)=-3-18-12-18=-51.$$ Vậy $\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=-51$.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi điểm $M$, ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$. Do đó $\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=6\overrightarrow{MG}$, tức $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{MG}$, vậy $M$, $G$, $N$ thẳng hàng. Đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định là trọng tâm $G$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC cân tại A nên $AB=AC=6$, góc $\widehat{BAC}=120°$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cdot \cos 120°=-18$.

Ta có $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Khi đó:
$$\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$$
$$=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$
$$=\frac{1}{6}(-18)-\frac{1}{2}\cdot 36-\frac{1}{3}\cdot 36+(-18)=-3-18-12-18=-57.$$

Vậy $\overrightarrow{BN}\cdot \overrightarrow{CM}=-57$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ (không cùng phương). Khi đó:
- $M$ là trung điểm $AC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{c}$.
- $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm $BE$: $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$, suy ra $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=2\vec{c}-\vec{b}$.
- $F$: $\overrightarrow{AF}=x\vec{b}$.

Tính $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AC}=x\vec{b}-\vec{c}$ và $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec{c}-(2\vec{c}-\vec{b})=\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}$.

Để $CF\parallel EM$, tồn tại $k$ sao cho $x\vec{b}-\vec{c}=k\left(\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}\right)$. So sánh hệ số theo $\vec{b}$ và $\vec{c}$: $x=k$ và $-1=-\frac{3}{2}k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$. Vậy $x=\frac{2}{3}\approx 0,67$.

Kiểm tra: với $x=\frac{2}{3}$, $\overrightarrow{CF}=\frac{2}{3}\vec{b}-\vec{c}=\frac{2}{3}\left(\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{EM}$, đúng yêu cầu song song.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{FA}+3\overrightarrow{FB}-2\overrightarrow{FC}=(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{F})+3(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{F})-2(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{F})=\overrightarrow{A}+3\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{C}-2\overrightarrow{F}$. Với $A(1;3),B(-3;1),C(5;-6)$: $\overrightarrow{A}+3\overrightarrow{B}-2\overrightarrow{C}=(1-9-10;3+3+12)=(-18;18)$. Với $F(0;a)$, $-2\overrightarrow{F}=(0;-2a)$, nên biểu thức trở thành $(-18;18-2a)$. Do đó $\left|\overrightarrow{FA}+3\overrightarrow{FB}-2\overrightarrow{FC}\right|=\sqrt{18^2+(18-2a{)}^2}\ge 18$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $18-2a=0⟺a=9$. Vậy $2a+9=2\cdot 9+9=27$, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 5 = 27).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11. a) Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC})$. Tương tự $\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\cdot \vec{0}=\vec{0}$ (đpcm).

b) Theo công thức trung điểm: vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}$; vì $N$ là trung điểm $CA$ nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{ON}$; vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$. Cộng vế theo vế ba đẳng thức: $2(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=2(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP})$, suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}$ với mọi điểm $O$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Từ $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{IA}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{IB}$, tức $I$ nằm giữa $A$ và $B$ với $\frac{IA}{IB}=\frac{3}{2}$.

a) Ta có $\overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$ (vì $AI:IB=3:2$ nên $AI=\frac{3}{5}AB$). Vậy $k=\frac{3}{5}$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=2\left(-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}\right)+3\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}\right)=\vec{0}$. Đúng.

b) Với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right)=\frac{2}{5}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{MB}$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh B, I, K thẳng hàng bằng phương pháp vectơ.

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Vì $I$ là trung điểm $AM$ nên:
$$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

Vì $K\in AC$ với $AK=\frac{1}{3}AC$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Tính vectơ $\overrightarrow{IK}$:
$$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right).$$

Tính vectơ $\overrightarrow{IB}$:
$$\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right).$$

So sánh hai kết quả:
$$\overrightarrow{IB}=-3\overrightarrow{IK}.$$

Suy ra $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IK}$ cùng phương, mà hai vectơ này có điểm chung $I$, nên ba điểm $B$, $I$, $K$ thẳng hàng. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm $AC$, $P$ là trung điểm $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
a) Đúng: theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
b) Sai: vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN}$, không phải $3\overrightarrow{BN}$.
c) Sai: dùng tọa độ $A(0;0),B(1;0),C(0;1)$: $N(0;0,5)\Rightarrow \overrightarrow{BN}=(-1;0,5)$, $P(0,5;0)\Rightarrow \overrightarrow{CP}=(0,5;-1)$. Khi đó $-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=(\frac{1}{3};\frac{1}{3})\ne \overrightarrow{AB}=(1;0)$. Tổng quát: $-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=-\frac{2}{3}\left(\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}-\vec{B}+\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}-\vec{C}\right)=-\frac{2\vec{A}}{3}+\frac{\vec{B}+\vec{C}}{3}\ne \vec{B}-\vec{A}$.
d) Đúng: $-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CP}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}-\vec{B}-\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}+\vec{C}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\vec{C}-3\vec{B}}{2}=\vec{C}-\vec{B}=\overrightarrow{BC}$. Kiểm tra tọa độ: $(-\frac{1}{3};\frac{2}{3})+(-\frac{2}{3};\frac{1}{3})=(-1;1)=\overrightarrow{BC}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN}\ne 3\overrightarrow{BN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thử $A(0;0),B(1;0),C(0;1)$: $-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=(\frac{1}{3};\frac{1}{3})\ne \overrightarrow{AB}=(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CP})=\frac{2}{3}\cdot \frac{3(\vec{C}-\vec{B})}{2}=\overrightarrow{BC}$.

a) Nhìn hình ta thấy $\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\Rightarrow$ ĐÚNG.
b) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\right|=2\left|\overrightarrow{IC}\right|=2IC=2\sqrt{10}\Rightarrow$ SAI (tự tính Pythagore ra $IC$).
c) Có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. $P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right).\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ $\Rightarrow P=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}A{B}^2+\frac{2}{3}A{C}^2\right)=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}.2^2+\frac{2}{3}.3^2\right)=\frac{28}{9}\Rightarrow$ ĐÚNG.
d) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow$ SAI.
a) Nhìn hình ta thấy $\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\Rightarrow$ ĐÚNG.
b) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\right|=2\left|\overrightarrow{IC}\right|=2IC=2\sqrt{10}\Rightarrow$ SAI (tự tính Pythagore ra $IC$)
c) Có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. $P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right).\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ $\Rightarrow P=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}A{B}^2+\frac{2}{3}A{C}^2\right)=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}.2^2+\frac{2}{3}.3^2\right)=\frac{28}{9}\Rightarrow$ ĐÚNG
d) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow$ SAI

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ nên $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=AB$. Điều kiện trở thành $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=AB$. Mặt khác $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}$. Gọi $N$ là điểm sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}$ (tức $N$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AC}$), khi đó $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{NB}$ (vì $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}$... chính xác là $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AC}$; xét $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}$, nên $\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BN}\right|$). Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn tương ứng với tập điểm $N$ thỏa $BN=AB$: đường tròn tâm $B$ bán kính $AB$. Do phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách, tập hợp $M$ cũng là đường tròn có bán kính $AB$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9 (giải đầy đủ):

a) Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vì $F\in AC$ với $AF=2FC$ nên $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vì $K$ là trung điểm $EF$:
$$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$ (đpcm)

b) Từ $\overrightarrow{PC}=-3\overrightarrow{PB}$, với gốc $A$: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}=-3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})\Rightarrow 4\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Suy ra
$$\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}.$$

c) Đặt $D=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ và dựng điểm cố định $G$ thỏa $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ (không phụ thuộc $M$). Với mọi điểm $M$, đặt gốc tại $A$:
$$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2(\vec{A}-\vec{M})-2(\vec{B}-\vec{M})-(\vec{C}-\vec{M})=\vec{M}+2\vec{A}-2\vec{B}-\vec{C}.$$
Khi đó
$$\overrightarrow{GM}=\vec{M}-\vec{G}=\vec{M}-(2\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})=\vec{M}+2\vec{A}-2\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{MN}.$$
Vậy $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{MN}$, tức $M$ là trung điểm của $GN$; do đó ba điểm $G,M,N$ thẳng hàng, nghĩa là đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định $G$ (với $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$) khi $M$ thay đổi.

d) Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J_1$ (đặt $L$) là trung điểm $AC$. Ta có $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JI}$ và $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=2\overrightarrow{JL}$. Điều kiện trở thành
$$|\overrightarrow{JI}|=|\overrightarrow{JL}|⟺JI=JL.$$
Vậy tập hợp điểm $J$ là đường trung trực của đoạn $IL$ (với $I$ trung điểm $AB$, $L$ trung điểm $AC$; chú ý $IL\parallel BC$ và $IL=\frac{1}{2}BC$).