Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

- Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $M=\frac{2B+C}{3}=\left(\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$.
- Từ $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$: $N=\frac{1}{3}C=\left(\frac{a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$.
- $P$ trên $AB$ với $AP=\frac{4a}{15}$: $P=\left(\frac{4a}{15};0\right)$.

a) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$, $\overrightarrow{PN}=\left(\frac{a}{6}-\frac{4a}{15};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)=\left(-\frac{a}{10};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$. Tích vô hướng: $-\frac{5a^2}{60}+\frac{3a^2}{36}=0$, nên $AM\perp PN$. Đúng.

b) $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{28a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$. Sai.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, khác $\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Sai.

Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $M\left(\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$, $N\left(\frac{a}{6};\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)$, $P\left(\frac{4a}{15};0\right)$: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=\frac{5a}{6}\cdot \left(-\frac{a}{10}\right)+\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$ nên $AM\perp PN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}\Rightarrow |\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}$, không bằng $\frac{a\sqrt{7}}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $a$ có góc $A=60^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, khác biểu thức trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì J là trung điểm AC, K là trung điểm BD nên vectơ JK = ½(AB + DC) (theo vectơ). Do CD ⊥ AB nên |JK|² = ¼(AB² + CD²) = ¼(AB² + 16/9 AB²) = 25/36 AB², suy ra JK = 5/6 AB ≈ 0,83 AB. Vậy k = 5/6 ≈ 0,83, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABD có AB=AD=√5 và góc ABD=60° nên đều, suy ra BD=√5. Chọn tọa độ B(0,0), D(√5,0), A(√5/2, √15/2), tâm O(√5/2, 0), C(√5/2, −√15/2). Từ IC + 3ID = 0 suy ra I = (C+3D)/4 = (7√5/8, −√15/8). Khi đó AO = (0, −√15/2), BI = (7√5/8, −√15/8), tích vô hướng AO·BI = (−√15/2)(−√15/8) = 15/16 = 0,9375 ≈ 0,94, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Theo tính chất đường phân giác trong: $\overrightarrow{AD}=\frac{AC}{AB+AC}\overrightarrow{AB}+\frac{AB}{AB+AC}\overrightarrow{AC}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, khác với khẳng định $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$ nên sai. b) Đúng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 120^{\circ }=5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{35}{2}$. c) Đúng: $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. d) Đúng: $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã 102 dòng 25: S Đ Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường phân giác trong: $\overrightarrow{AD}=\frac{AC}{AB+AC}\overrightarrow{AB}+\frac{AB}{AB+AC}\overrightarrow{AC}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}\ne \frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 7\cos 120^{\circ }=-\frac{35}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $B$ là trung điểm $AI$ nên $\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}=2\vec{b}$. Vì $AJ=\frac{2}{5}AC$ nên $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\vec{c}$. Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c})$.

Tính: $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}-2\vec{b}=-\frac{5}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$.
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\vec{c}-2\vec{b}$.

Điều kiện $\overrightarrow{IG}=-k\overrightarrow{IJ}$: $-\frac{5}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}=-k\left(-2\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}\right)=2k\vec{b}-\frac{2k}{5}\vec{c}$.

So sánh hệ số: $2k=-\frac{5}{3}\Rightarrow k=-\frac{5}{6}$; kiểm tra $-\frac{2k}{5}=\frac{1}{3}\Rightarrow k=-\frac{5}{6}$ (nhất quán).

Vậy $k=-\frac{5}{6}\approx -0,8$, trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=(\vec{I}-\vec{A})+3(\vec{I}-\vec{B})-(\vec{I}-\vec{C})=3\vec{I}-(\vec{A}+3\vec{B}-\vec{C})$. Với $A(5;-2),B(7;3),C(-9;1)$: $\vec{A}+3\vec{B}-\vec{C}=(5+21+9;-2+9-1)=(35;6)$. Với $I(x;0)$, biểu thức trở thành $(3x-35;-6)$, độ dài $\sqrt{(3x-35{)}^2+36}$ nhỏ nhất khi $3x-35=0$, tức $x=\frac{35}{3}$. Vậy $a=35,b=3$, $a+b=38$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, gốc tại $A$. Vì $B$ là trung điểm $AI$ nên $\overrightarrow{AI}=2\vec{b}$. Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Điểm $J$: $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\vec{c}$.

Tính: $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}-2\vec{b}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{3}$.
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\vec{c}-2\vec{b}=\frac{2}{5}(\vec{c}-5\vec{b})$.

Suy ra $\overrightarrow{IG}=\frac{5}{6}\overrightarrow{IJ}$. Mà $\overrightarrow{IG}=-k\overrightarrow{IJ}$ nên $-k=\frac{5}{6}$, tức $k=-\frac{5}{6}\approx -0,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Đúng.
a) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): a) Sai.
b) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): b) Sai.
c) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): c) Đúng.
d) Theo bảng đáp án (Mã đề 1101, Phần II, Câu 3): d) Đúng. Thật vậy, vì $A{A}^{\prime }$ là đường kính của $(O)$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$; do $H$ là trực tâm nên $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$, suy ra $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24$.

b) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → Sai.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=24\ne 20$ → Sai.

d) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ → Đúng.

a) $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Tích vô hướng:
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(k\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}-|\overrightarrow{AB}{|}^2+k|\overrightarrow{AC}{|}^2-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}(24k-32+36k-24)=\frac{1}{2}(60k-56)$.
Cho bằng 0: $k=\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$ → Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\iff k=\frac{14}{15}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=32+36-48=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cos 45^{\circ }=24\ne 20$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5a)** Chọn hệ vectơ với gốc A, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.

- $M$ trên $AB$ với $AM=\frac{1}{3}AB$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{u}$.
- $N$ trên $CD$ với $DN=\frac{1}{2}DC$, mà $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec{u}$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $BMN$ thỏa $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{3}\left(\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)=\frac{11}{18}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}$.

Theo giả thiết: $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}=x\vec{v}$ nên $\overrightarrow{AI}=\vec{u}+x\vec{v}$; và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}=y\vec{u}+xy\vec{v}$.

Để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$ thì $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AG}$, tức:
$$y=\frac{11}{18},xy=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{1/3}{11/18}=\frac{6}{11}.$$

Vậy $x=\frac{6}{11},y=\frac{11}{18}$.

**Câu 5b)** Gọi $a$ là cạnh tam giác đều, đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(3;0)$, $C\left(\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ (chọn cạnh bằng 3).

- $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $N(1;0)$.
- $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $M\left(\frac{5}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Đường thẳng $AM$: điểm $\left(t\cdot \frac{5}{2};t\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Đường thẳng $CN$: $C+s(N-C)=\left(\frac{3}{2}-\frac{s}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}(1-s)\right)$.

Giao điểm $I$: giải hệ
$$\frac{5t}{2}=\frac{3}{2}-\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}t}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(1-s).$$
Từ phương trình thứ hai: $t=3(1-s)$. Thay vào phương trình thứ nhất: $\frac{5\cdot 3(1-s)}{2}=\frac{3-s}{2}\Rightarrow 15(1-s)=3-s\Rightarrow 12=14s\Rightarrow s=\frac{6}{7}$, $t=\frac{3}{7}$.

Suy ra $I=\left(\frac{15}{14};\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)$.

Tính các vectơ:
$$\overrightarrow{BI}=\left(\frac{15}{14}-3;\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)=\left(-\frac{27}{14};\frac{3\sqrt{3}}{14}\right),$$
$$\overrightarrow{IC}=\left(\frac{3}{2}-\frac{15}{14};\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)=\left(\frac{6}{14};\frac{18\sqrt{3}}{14}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{IC}=\frac{1}{196}\left[(-27)(6)+(3\sqrt{3})(18\sqrt{3})\right]=\frac{-162+162}{196}=0.$$

Vậy $\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{IC}=0$, tức $BI\perp IC$. $■$

Phân tích $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$ theo $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA}$. Phân tích $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BP}$ theo $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA}$. $M,N,P$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{MP}$. Giải ra $x=2$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}\\ \overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BJ}\end{array}\Rightarrow 2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f2]

(1,0 điểm)

Suy ra: $\overrightarrow{HK}.2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{HK}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}\right)=\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{DB}$

$=\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DK}\right)\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CK}\right)\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}\right)=\overrightarrow{AC}.\vec{0}=0$.

Vậy $\overrightarrow{HK}.\overrightarrow{IJ}=0$ nên $HK\perp JI$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại A, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ với $|\vec{u}|=2$, $|\vec{v}|=AD=BC=3$, góc $\widehat{BAD}=60°$ nên $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 3\cdot \cos 60°=3$.

Từ $\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{DK}$, với $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AK}-\vec{v}$, ta có $\overrightarrow{AK}=-2(\overrightarrow{AK}-\vec{v})\Rightarrow 3\overrightarrow{AK}=2\vec{v}\Rightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\vec{v}$.

Suy ra $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\vec{u}=\frac{2}{3}\vec{v}-\vec{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}\vec{v}-\vec{u}\right)\cdot (\vec{u}+\vec{v})=\frac{2}{3}\vec{u}\cdot \vec{v}+\frac{2}{3}|\vec{v}{|}^2-|\vec{u}{|}^2-\vec{u}\cdot \vec{v}$$
$$=\frac{2}{3}(3)+\frac{2}{3}(9)-4-3=2+6-7=1.$$

Vậy $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ làm gốc tọa độ vecto. Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}$ (tính chất trực tâm). Ta có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Mặt khác $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$, tức hai vecto luôn cùng hướng với mọi tam giác không suy biến (và không cân để tránh trường hợp đặc biệt). Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang ABCD có AB ∥ CD. Giả thiết |AC| = |BD| nghĩa là hai đường chéo bằng nhau. Trong hình thang, hai đường chéo bằng nhau khi và chỉ khi hình thang cân (điều kiện này tương đương với hai cạnh bên bằng nhau). Cụ thể: đặt hệ trục với A(0;0), B(b;0), D(d;h), C(c;h) với AB ∥ CD. Ta có AC² = c² + h², BD² = (d−b)² + h². |AC| = |BD| ⟺ c² = (d−b)² ⟺ |c| = |b−d|, tức hai cạnh bên AD² = d² + h² và BC² = (c−b)² + h² bằng nhau khi c = b−d (hoặc c = d−b, trường hợp suy biến). Vậy hình thang cân nên |BC| = |AD|.
a) Đúng: giả thiết cho |AC| = |BD| nên hai đường chéo có độ dài bằng nhau.
b) Đúng: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
c) Sai: vì hình thang cân nên hai cạnh bên AD và BC có độ dài bằng nhau (|BC| = |AD| theo kết luận của bài).
d) Đúng: đảo lại, nếu |BC| = |AD| (hai cạnh bên bằng nhau) thì hình thang cân, mà hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nên |AC| = |BD|.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết bài cho |AC| = |BD|, tức hai đường chéo AC và BD có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân, do đó ABCD là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì hình thang cân nên hai cạnh bên bằng nhau: |BC| = |AD| (đúng như kết luận của bài), do đó khẳng định hai cạnh bên không bằng nhau là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu |BC| = |AD| thì hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nên là hình thang cân; hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau, suy ra |AC| = |BD|.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(b;0)$, $D(d;h)$, $C(c;h)$ với $h>0$ (vì $AB\parallel CD$). Ta có $|\overrightarrow{AC}{|}^2=c^2+h^2$, $|\overrightarrow{BD}{|}^2=(d-b{)}^2+h^2$, $|\overrightarrow{AD}{|}^2=d^2+h^2$, $|\overrightarrow{BC}{|}^2=(c-b{)}^2+h^2$.

a) Đề bài cho $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, tức hai đường chéo bằng nhau → đúng.

b) Từ $c^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2$ suy ra $c^2=(d-b{)}^2$, tức $c=\pm (d-b)$. Nếu $c=d-b$ thì $|BC{|}^2=(d-2b{)}^2+h^2=|AD{|}^2=d^2+h^2$ chỉ khi $d=b$, khi đó $D$ có hoành độ bằng $B$, hình thang suy biến (loại). Vậy $c=b-d$, khi đó $|AD{|}^2=d^2+h^2=|BC{|}^2=(c-b{)}^2+h^2=d^2+h^2$. Hai cạnh bên bằng nhau nên hình thang cân → đúng.

c) Vì hình thang cân nên $|AD|=|BC|$, khẳng định 'không bằng nhau' → sai.

d) Ngược lại, nếu $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AD}|$ thì $(c-b{)}^2=d^2$, tức $c=b\pm d$. Trường hợp $c=b+d$ thì $|CD|=|c-d|=b=|AB|$, tứ giác là hình bình hành, không phải hình thang (hai đáy phải khác nhau). Vậy $c=b-d$, suy ra $|AC{|}^2=(b-d{)}^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2=|BD{|}^2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giả thiết bài toán cho trực tiếp $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, tức hai đường chéo $AC$ và $BD$ có độ dài bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0;0),B(b;0),D(d;h),C(c;h)$, điều kiện $|AC|=|BD|$ cho $c^2=(d-b{)}^2$. Trường hợp $c=d-b$ dẫn đến hình thang suy biến, nên $c=b-d$, suy ra $|AD{|}^2=d^2+h^2=|BC{|}^2$. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ b), hình thang cân nên hai cạnh bên $AD$ và $BC$ có độ dài bằng nhau, không phải 'không bằng nhau'.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $|BC|=|AD|$ thì $(c-b{)}^2=d^2$. Trường hợp $c=b+d$ cho $|CD|=|AB|$ (hình bình hành, không phải hình thang), nên $c=b-d$, do đó $|AC{|}^2=(b-d{)}^2+h^2=(d-b{)}^2+h^2=|BD{|}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$, tứ giác $AGCN$ có cặp cạnh $AN$ và $GC$ song song, bằng nhau nên là hình bình hành.

a) Sai. Các vectơ có điểm cuối là $G$ tạo từ 5 điểm $A,B,C,G,N$ là $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BG},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NG}$ — chỉ có 4 vectơ (không tính vectơ-không $\overrightarrow{GG}$).

b) Đúng. Vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$ nên $AN\parallel GC$ và $AN=GC$, do đó $AGCN$ là hình bình hành.

c) Đúng. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Hai đường chéo $AC$ và $GN$ của hình bình hành $AGCN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức tại $M$, nên $MG=MN$: $G$ và $N$ đối xứng qua $M$. (Kiểm tra: $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ vì $G$ là trọng tâm.)

d) Sai. $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GN}$, với $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{GN}=2\overrightarrow{GM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$, nên $\overrightarrow{BN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BM}$. Trung tuyến: $B{M}^2=\frac{2A{B}^2+2B{C}^2-A{C}^2}{4}=\frac{72+200-144}{4}=32\Rightarrow BM=4\sqrt{2}$. Vậy $BN=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ne 4\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vectơ có điểm cuối là $G$: $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{BG},\overrightarrow{CG},\overrightarrow{NG}$ (không tính vectơ-không $\overrightarrow{GG}$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GC}$ nên $AN\parallel GC$ và $AN=GC$, tứ giác $AGCN$ là hình bình hành.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $AGCN$ có hai đường chéo $AC$ và $GN$ cắt nhau tại trung điểm chung là $M$ (trung điểm $AC$), nên $MG=MN$, tức $G$ và $N$ đối xứng qua $M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BM}$ với $BM=4\sqrt{2}$ (trung tuyến: $B{M}^2=\frac{2\cdot 6^2+2\cdot 10^2-12^2}{4}=32$). Vậy $BN=\frac{16\sqrt{2}}{3}\ne 4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu hai vế của từng đẳng thức, dùng $\overrightarrow{XY}=-\overrightarrow{YX}$.

A: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{CB}$. Vì có $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$ nên xích không khép kín: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\ne \vec{0}$ nói chung. Vậy A sai.

B: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FA}=\vec{0}$, nên B đúng.

C: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, nên C đúng.

D: Hiệu hai vế là $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}$, nên D đúng.

Vậy đẳng thức sai là A.