Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$. Biết $AB=12;A{A}^{\prime }=24$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$?

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3},{\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{3}$. Xét $2$ vectơ ${\vec{u}}_1=(-2;1;3)$ và ${\vec{u}}_2=(1;-1;3)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{rl}x& =1+t\\ y& =-1-t\\ z& =2\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$. Đường vuông góc chung của $d_1,d_2$ đi qua điểm nào?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;0;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{1}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ cắt và vuông góc với $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u}(a;b;4)$. Giá trị biểu thức $S=a+b$ bằng

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2$, $BC=3$ và $C{C}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $IG$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ =có AB 2=a, AD 3a và AA′ = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B′D′ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-2}$, $d_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+4}{-1}$, $d_3:\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{6}$. Đường thẳng song song với $d_3$, cắt $d_1$ và $d_2$ có phương trình là:

Câu 2. Để bắc các cột kèo thuận tiện, người ta thiết lập một hệ trục $Oxyz$ hợp lý, đơn vị trên mỗi trục là một mét. Trong hệ toạ độ đó, từ điểm $M(3;-4;-5)$ người ta nhận thấy có thể bắc được thanh xà thẳng nối các cột nằm trên các đường thẳng $d_1:\frac{x+4}{-5}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{3}$ và $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+5}{-2}$. Khi đó đoạn thanh xà nối hai cột có độ dài bằng bao nhiêu mét? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;3;-2)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $2$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Câu 3. Trạm kiểm soát không lưu của một sân bay đang theo dõi hai chuyến bay thương mại thông qua hệ thống radar. Xét trong không gian tọa độ $Oxyz$ (mặt phẳng $Oxy$ biểu diễn mặt đất, chiều dương trục $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên các trục tính bằng km), tại thời điểm hệ thống bắt đầu theo dõi:
Máy bay thứ nhất đang ở vị trí $A_0(0;0;10)$ và di chuyển thẳng đều với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_1=(15;0;0)$.
Máy bay thứ hai đang ở vị trí $B_0(10;-5;10)$ và di chuyển thẳng đều với vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=(13;5;0)$.
Biết vận tốc của hai máy bay tính bằng km/phút và trong khoảng thời gian theo dõi, hai máy bay đều giữ nguyên hướng và tốc độ bay. Giả sử quy định an toàn hàng không yêu cầu phải luôn duy trì khoảng cách giữa hai máy bay tối thiểu là $10\text{ km}$. Hệ thống cảnh báo va chạm tự động (TCAS) của trạm sẽ kích hoạt còi báo động ngay khi khoảng cách giữa hai máy bay chạm mốc vi phạm này. Hỏi kể từ lúc bắt đầu theo dõi ($t=0$), sau bao nhiêu giây thì còi báo động tại trạm kiểm soát không lưu bắt đầu kêu? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*

Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ ($42\times 42\text{ cm}$) trong không gian $Oxyz$ (giả sử $\vec{i}=\vec{j}=\vec{k}=1\text{ cm}$). Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là $100\text{ m}$, trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d^{\prime }$ lần lượt có phương trình $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2\\ z=4\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$. Để bắn trúng hồng tâm (thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d^{\prime }$ và cách giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ một khoảng $6\text{ cm}$. Khi $c<0$, tính giá trị biểu thức $2a-b+3c$.

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $1$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $X$ ở trên mặt đất tới đỉnh $T$ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $T(40;60;150)$ và $X(100;-40;0)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $A(40;30;-20)$ nằm dưới một cái hồ tới một điểm $M(a;b;c)$ nằm trên dây cáp sao cho khoảng cách $MA$ này là nhỏ nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=-1+2t\\ z=2t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{-2}$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và có $AB=A{A}^{\prime }=2$. Gọi $E$ là trung điểm $AB$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $CE$ và $A^{\prime }B$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình vẽ).

Tính khoảng cách ngắn nhất (km) giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.