Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với gốc tại trung điểm chân cổng, trục Ox nằm trên mặt đất. Hai chân cổng tại $x=\pm 4$, đỉnh cổng $(0;5)$ nên parabol có dạng $y=a{x}^2+5$. Vì đi qua $(4;0)$: $0=16a+5\Rightarrow a=-\frac{5}{16}$, tức $y=-\frac{5}{16}{x}^2+5$. Đèn cao 4m: $4=-\frac{5}{16}{x}^2+5\Rightarrow x^2=\frac{16}{5}\Rightarrow x=\pm \frac{4}{\sqrt{5}}\approx \pm 1,789$. Hình chiếu của đèn cách chân gần nhất (tại $x=4$) một khoảng $4-\frac{4}{\sqrt{5}}\approx 2,211\approx 2,2$ m. Khớp với đáp án nguồn 2,2.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại chân trái cổng, trục Ox nằm trên mặt đất. Hai chân cổng tại $x=0$ và $x=8$, đỉnh cổng tại $(4;5)$. Parabol có dạng $y=a(x-4{)}^2+5$; thay điểm $(0;0)$: $0=16a+5\Rightarrow a=-\frac{5}{16}$. Vậy $y=-\frac{5}{16}(x-4{)}^2+5$. Đèn led cao 3m: $-\frac{5}{16}(x-4{)}^2+5=3\Rightarrow (x-4{)}^2=\frac{32}{5}\Rightarrow x=4\pm \sqrt{6,4}$. Theo hình vẽ đèn nằm bên phải nên $x=4+\sqrt{6,4}\approx 6,5298$. Khoảng cách từ hình chiếu của đèn đến chân gần nhất (chân phải tại $x=8$) là $8-6,5298\approx 1,4702\approx 1,5$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ: gốc O tại trung điểm hai chân cổng, hai chân cổng tại x=±2 (khoảng cách 4m), parabol có dạng y=ax²+k với y(2)=0 nên k=-4a. Điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5m có hoành độ x=2-0,5=1,5, cao 1,75m nên a(1,5)²+k=1,75, tức 2,25a-4a=1,75 → -1,75a=1,75 → a=-1, k=4. Đỉnh parabol tại x=0, y=k=4. Vậy chiều cao cổng là 4m, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, Phần III câu 1 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục tọa độ: gốc O tại trung điểm hai chân cổng trên mặt đất, trục Oy là trục đối xứng của parabol. Hai chân cổng cách nhau 4m nên parabol $y=a{x}^2+h$ cắt mặt đất tại $x=\pm 2$, tức $4a+h=0$. Điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5m có hoành độ $x=2-0,5=1,5$ và chiều cao tại đó là 1,75m nên $2,25a+h=1,75$. Trừ hai phương trình: $-1,75a=1,75\Rightarrow a=-1$, suy ra $h=4$. Vị trí cao nhất của cổng là đỉnh parabol, cao $h=4$m (khớp đáp án mã đề 1354: 4).

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1202, dòng 15: DSSD). Lưu ý: trong bản gốc, phương trình "$y=-x^2+4$." bị dàn trang lệch vị trí (xuất hiện ngay sau dòng "Các khẳng định sau đúng hay sai?" thay vì cuối ý d); nội dung được sắp xếp lại về đúng vị trí cuối ý d).

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ. Theo đề bài ta có phương trình parabol là $y=a{x}^2+3$

Điểm $A(-1,8;0)$ thuộc parabol nên $a=\frac{-25}{27}$.
Vậy parabol có phương trình: $y=\frac{-25}{27}{x}^2+3$ (0.25đ)

Tổng chiều dài của các thanh kim loại là:
$$2\left(\frac{-25}{27}(0,3{)}^2+3+\frac{-25}{27}(0,6{)}^2+3+\frac{-25}{27}(0,9{)}^2+3+\frac{-25}{27}(1,2{)}^2+3+\frac{-25}{27}(1,5{)}^2+3\right)+3=\frac{143}{6}m$$

Số tiền là: $\frac{143}{6}\times 30.000=715.000$ (đ) (0.25đ)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ. Theo đề bài ta có phương trình parabol là $y=a{x}^2+3$

Điểm $A(-1,8;0)$ thuộc parabol nên $a=\frac{-25}{27}$.
Vậy parabol có phương trình: $y=\frac{-25}{27}{x}^2+3$ (0.25đ)

Tổng chiều dài của các thanh kim loại là:
$$2\left(\frac{-25}{27}(0,3{)}^2+3+\frac{-25}{27}(0,6{)}^2+3+\frac{-25}{27}(0,9{)}^2+3+\frac{-25}{27}(1,2{)}^2+3+\frac{-25}{27}(1,5{)}^2+3\right)+3=\frac{143}{6}m$$

Số tiền là: $\frac{143}{6}\times 30.000=715.000$ (đ) (0.25đ)

Dây cáp có hình dạng đường parabol có bề lõm hướng lên trên và đỉnh của parabol là gốc $O(0;0)$. Vì thế ta giả sử công thức của parabol là $y=a{x}^2,a>0$. (0,25 điểm)

Theo giả thiết, cây cầu có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m nên ta có các điểm $A(-200;75)$ và $B(200;75)$ thuộc parabol. (0,25 điểm)

Khi đó ta có: $75=a\cdot 200^2\Rightarrow a=\frac{3}{1600}$. Phương trình của parabol là: $y=\frac{3}{1600}{x}^2$. (0,25 điểm)

Với $x=80$ ta có $y=\frac{3}{1600}\cdot 80^2=12$. (0,25 điểm)

Dây cáp có hình dạng đường parabol có bề lõm hướng lên trên và đỉnh của parabol là gốc $O(0;0)$. Vì thế ta giả sử công thức của parabol là $y=a{x}^2,a>0$. (0,25 điểm)



Theo giả thiết, cây cầu có trụ tháp đôi cao $75m$ so với mặt của cây cầu và cách nhau $400m$ nên ta có các điểm $A(-200;75)$ và $B(200;75)$ thuộc parabol. (0,25 điểm)

Khi đó ta có:

$75=a\cdot 200^2\Rightarrow a=\frac{3}{1600}$. Phương trình của parabol là: $y=\frac{3}{1600}{x}^2$. (0,25 điểm)

Với $x=100$ ta có $y=\frac{3}{1600}\cdot 100^2=18,75$. (0,25 điểm)

Vậy chiều cao của dây cáp tại điểm cách tâm của cây cầu 100 m là $18,75m$.

Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. Ta tính được khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 40 m và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy bằng 80 m.
Tọa độ 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ lần lượt nằm trên đường tròn đáy và đường tròn nắp của tháp. Đồng thời 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ cũng thuộc hypebol nên thay vào phương trình hypebol ta tính được:
$$R=30\sqrt{1+\frac{(-80{)}^2}{50^2}}\approx 57(\text{m})$$
$$r=30\sqrt{1+\frac{40^2}{50^2}}\approx 38(\text{m}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ với đỉnh parabol tại gốc $O$, trục $Oy$ hướng xuống, parabol có dạng $y=-a{x}^2$ (đỉnh tại $(0;0)$, nhánh hướng xuống). Chiều cao cổng là $4m$ nên chân cổng nằm trên đường thẳng $y=-4$. Cửa chính cao $3m$ nên mép trên cửa chính nằm tại $y=-3+1=-1$ (cách đỉnh $4-3=1m$), và rộng $4m$ nên hai mép cửa chính có hoành độ $x=\pm 2$. Thay điểm $(2;-1)$ vào $y=-a{x}^2$: $-1=-a(2{)}^2\Rightarrow a=\frac{1}{4}$. Vậy $y=-\frac{x^2}{4}$. Tại chân cổng $y=-4$: $-4=-\frac{x^2}{4}\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=\pm 4$. Khoảng cách $AB=4-(-4)=8m$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (8).

Gọi $r$ và $R$ lần lượt là bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. Ta tính được khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng 40 m và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy bằng 80 m.
Tọa độ 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ lần lượt nằm trên đường tròn đáy và đường tròn nắp của tháp. Đồng thời 2 điểm $M(R;-80)$ và $N(r;40)$ cũng thuộc hypebol nên thay vào phương trình hypebol ta tính được:
$$R=30\sqrt{1+\frac{(-80{)}^2}{50^2}}\approx 57(\text{m})$$
$$r=30\sqrt{1+\frac{40^2}{50^2}}\approx 38(\text{m}).$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: gốc $O$ là trung điểm của $BC$, trục $Ox$ nằm trên mặt đất, trục $Oy$ là trục đối xứng của parabol đi qua đỉnh $A$. Khi đó $B(-5;0)$, $C(5;0)$, $A(0;H)$ với $H=AH$ là chiều cao cổng. Parabol có dạng $y=a(x^2-25)$ (đi qua hai chân $B$, $C$). Điểm $M$ trên thân cổng có $MK=18$ (khoảng cách tới mặt đất) và $BK=1$ nên $M$ có hoành độ $x=-5+1=-4$, tung độ $y=18$, tức $M(-4;18)$. Thay vào phương trình: $18=a(16-25)=-9a\Rightarrow a=-2$. Vậy parabol là $y=-2x^2+50$, đỉnh $A(0;50)$. Chiều cao $AH=50$ (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 50.

Phương trình của $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $a>b$. Suy ra: $\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. $M{F}_1$ và $M{F}_2$ vuông góc nhau nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=c=4$, $(C)$ có phương trình là: $x^2+y^2=16$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=16\\ 9x^2+25y^2=225\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{175}{16}\\ y^2=\frac{81}{16}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{array}$$ Vậy: có 4 điểm $M$ là thỏa mãn bài toán là: $$M_1\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_2\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right),M_3\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_4\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right).$$

Phương trình của $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $a>b$. Suy ra: $\{\begin{array}{l}{a}^2=25\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4$. $M{F}_1$ và $M{F}_2$ vuông góc nhau nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính $R=c=4$, $(C)$ có phương trình là: $x^2+y^2=16$. Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=16\\ 9x^2+25y^2=225\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{175}{16}\\ y^2=\frac{81}{16}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}\\ y=\pm \frac{9}{4}\end{array}$$ Vậy: có 4 điểm $M$ là thỏa mãn bài toán là: $$M_1\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_2\left(\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right),M_3\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};\frac{9}{4}\right),M_4\left(-\frac{5\sqrt{7}}{4};-\frac{9}{4}\right).$$

Hướng dẫn chấm: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh $G(2;4)$ và đi qua gốc tọa độ. Gọi phương trình của parabol là $y=a{x}^2+bx+c$. Parabol (P): $y=a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm $A(0;0)$ và có đỉnh $G(2;4)$ nên ta có: $\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}$ $\Rightarrow (P):y=-x^2+4x$. Do vậy chiều cao $CF=DE=f(0,9)=2,79(m)$, $CD=4-2.0,9=2,2(m)$. Diện tích hai cánh cổng là $S_{CDEF}=CD\cdot CF=6,138(m^2)$. Diện tích phần xiên hoa là $S_{xh}=S-S_{CDEF}=\frac{32}{3}-6,138=\frac{6793}{1500}(m^2)$. Nền tiền là hai cánh cổng là $6,138.1200000=7365600$ (đồng) và tiền làm phần xiên hoa là $\frac{6793}{1500}.900000=4075800$ (đ). Vậy tổng chi phí là $7365600+4075800=11441400$ đồng $\approx 11441$ (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Elip có bán trục lớn 2a=10 (a=5), bán trục nhỏ 2b=6 (b=3), trục lớn nằm trên trục Ox theo hình.
a) Phương trình: x²/25 + y²/9 = 1. Đúng.
b) c² = a² − b² = 25 − 9 = 16 nên c = 4, tức M(−4;0), N(4;0) chính là hai tiêu điểm. Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a = 10. Đúng.
c) Mọi điểm trong hồ có khoảng cách đến O không vượt quá a = 5m (điểm xa O nhất trên elip là hai đỉnh của trục lớn, cách O đúng 5m). P cách O là 6m > 5m nên P nằm ngoài hồ (hình vẽ cũng thể hiện P ngoài elip). Sai.
d) C trên elip, cách trục lớn (Ox) một khoảng |y| = 2. Thay vào phương trình: x²/25 = 1 − 4/9 = 5/9, suy ra |x| = 5√5/3 ≈ 3,73m, không phải 5/3m. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán trục lớn a=5 (trên Ox), bán trục nhỏ b=3 (trên Oy), nên phương trình là x²/25 + y²/9 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = a² − b² = 16, c = 4 nên M(−4;0), N(4;0) là hai tiêu điểm; tổng khoảng cách từ mọi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a = 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm xa O nhất trên elip cách O đúng a = 5m. P cách O 6m > 5m nên P nằm ngoài hồ.
d) (AI giải đề cho tôi)
|y| = 2 cho x²/25 = 1 − 4/9 = 5/9, suy ra |x| = 5√5/3 ≈ 3,73m ≠ 5/3m.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $2a=769266$ nên $a=384633$ km; $2b=768106$ nên $b=384053$ km. Trái đất là tiêu điểm nên khoảng cách ngắn nhất từ trái đất đến mặt trăng là $a-c$ với $c=\sqrt{a^2-b^2}$. Tính $c^2=(a-b)(a+b)=580\cdot 768686=445837880$, suy ra $c\approx 21115$ km. Vậy khoảng cách ngắn nhất $a-c\approx 384633-21115=363518$ km $\approx 364$ (nghìn km).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có tiêu điểm $F_2(6;0)$ nên $c=6$ và trục thực là trục $Ox$. Điểm $M(4;0)$ thuộc hypebol nên là đỉnh, do đó $a^2=16$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=36-16=20$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1$, tương ứng đáp án B. (D sai vì là phương trình elip.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với đỉnh chụp đèn là gốc $O$, trục đối xứng là trục $Ox$. Parabol có dạng $y^2=4px$. Theo hình vẽ, miệng chụp có đường kính $20\text{ cm}$ nên bán kính $10\text{ cm}$, và độ sâu $15\text{ cm}$, tức parabol đi qua điểm $(15;10)$. Thay vào phương trình: $10^2=4p\cdot 15\Rightarrow 100=60p\Rightarrow p=\frac{5}{3}$. Tiêu điểm cách đỉnh một khoảng bằng $p$, nên khoảng cách từ dây tóc bóng đèn tới đỉnh chụp là $p=\frac{5}{3}\approx 1,67\text{ cm}$.