Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+m^2$. Hàm số có hai điểm cực trị khi ${\Delta }^{\prime }=9-3m^2>0\iff -\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$. Trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị là điểm uốn $U(1;m^2+m-2)$ thuộc đường thẳng $d:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\iff m^2+m-2=-2\iff m=0$ hoặc $m=-1$. Kiểm tra điều kiện đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với $d$, chỉ có $m=0$ thỏa mãn (khi đó hai điểm cực trị là $(0;0)$ và $(2;-4)$ có đường thẳng đi qua là $y=-2x$ vuông góc với $d$ và trung điểm $(1;-2)\in d$). Vậy có $1$ giá trị của $m$. Chọn D.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{3}{x}^2=0\iff f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^2$. Parabol $y=\frac{1}{3}{x}^2$ đi qua $(0;0),\left(1;\frac{1}{3}\right),\left(2;\frac{4}{3}\right),(3;3)$ và cắt đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ tại $3$ điểm phân biệt $a<b<c$, trong đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua $x=b$ duy nhất. Vậy hàm số $g(x)$ có $1$ điểm cực đại.

Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+4(2m-1)x-(m^2-8)$ và $f^{\prime \prime }(x)=-6x+4(2m-1)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ khi $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(-1)=0\\ f^{\prime \prime }(-1)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-m^2-8m+9=0\\ 8m+2>0\end{array}\iff m=1$. Chọn D.

Đặt $h(x)=f(x^2)-\frac{2}{3}{x}^3$, khi đó $g(x)=h(|x|)$. Với $x>0$, $h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)-2x^2=2x[f^{\prime }(x^2)-x]$. Đặt $t=x^2>0$, phương trình $f^{\prime }(t)=\sqrt{t}$ có $2$ nghiệm dương phân biệt (do đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ cắt đường cong $y=\sqrt{t}$ tại $2$ điểm có hoành độ dương mà qua đó $f^{\prime }(t)-\sqrt{t}$ đổi dấu). Suy ra hàm số $h(x)$ có $2$ điểm cực trị dương, do đó hàm số chẵn $g(x)=h(|x|)$ có $2\cdot 2+1=5$ điểm cực trị. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=4(m+1)x^3-4mx$. Hàm số đạt cực đại tại $x=2\Rightarrow y^{\prime }(2)=0\iff 32(m+1)-8m=0\iff 24m+32=0\iff m=-\frac{4}{3}$. Với $m=-\frac{4}{3}$, ta có $y^{\prime }=-\frac{4}{3}{x}^3+\frac{16}{3}x=-\frac{4}{3}x(x^2-4)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=2$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Chọn C.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 121; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 24, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn C.
Xét $y=x^2-2mx+1\Rightarrow y^{\prime }=2x-2m=0\iff x=m$. Điểm cực trị của đồ thị là $(m;-m^2+1)$.
Xét $y=\frac{1}{3}{x}^3-(m-1)x^2+(m^2-2m)x-1$:
$y^{\prime }=x^2-2(m-1)x+m^2-2m=0\iff [\begin{array}{rl}& x=m\\ & x=m-2\text{ (loại)}\end{array}$
Điểm cực trị tương ứng với $x=m$ của đồ thị là $\left(m;\frac{1}{3}{m}^3-m^2-1\right)$.
Theo giả thiết ta có $-m^2+1=\frac{1}{3}{m}^3-m^2-1\iff m^3=6\iff m=\sqrt[3]{6}$.

Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x^2+2x+m)$. Để hàm số có $4$ điểm cực trị thì phương trình $x^2+2x+m=0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt khác $0$ và $-1$, tức là ${\Delta }^{\prime }=1-m>0$ và $m\ne 0,m\ne 1\iff m<1,m\ne 0$. Kết hợp $m\in (-2023;2024),m\in \mathbb{Z}$ ta có $m\in \{-2022,-2021,\dots ,-1\}$, gồm $2022$ giá trị.

Ta có $y^{\prime }=x^4-8x^2+3-m$. Hàm số có $4$ điểm cực trị khi phương trình $x^4-8x^2+3=m$ có $4$ nghiệm phân biệt $\iff -13<m<3$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-12;-11;\dots ;2\}$, có $15$ giá trị nguyên. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=6x^2+6(m-1)x+6(m-2)=6[x^2+(m-1)x+(m-2)]=6(x+1)(x+m-2)$. Phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm là $x_1=-1$ và $x_2=2-m$. Để hàm số có 2 điểm cực trị nằm trong $(-2;3)$ thì $x_1\ne x_2$ và $x_2\in (-2;3)$. Ta có $2-m\ne -1\iff m\ne 3$, và $-2<2-m<3\iff -1<m<4$. Kết hợp lại ta được $m\in (-1;4)\setminus \{3\}=(-1;3)\cup (3;4)$. Chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ là số lần đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành và đổi dấu. Quan sát đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy đồ thị cắt trục hoành và đổi dấu tại 3 điểm phân biệt ($x=-2,x=1,x=2$), còn tại $x=5$ đồ thị tiếp xúc không đổi dấu. Do đó hàm số $y=f(x)$ có 3 điểm cực trị. Vậy chọn C.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đây là đồ thị của hàm số đạo hàm $y=f^{\prime }(x)$. Từ đồ thị ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt ($x=0$, một điểm thuộc $(-2;-1)$ và một điểm thuộc $(1;2)$) và đổi dấu qua cả $3$ điểm đó, nên mệnh đề (I) đúng. Các điểm cực trị của $f(x)$ không phải là $\pm 1$ (vì $x=\pm 1$ là điểm cực trị của $f^{\prime }(x)$, tại đó $f^{\prime }(-1)=1\ne 0,f^{\prime }(1)=-1\ne 0$), nên (IV) sai. Trên $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)$ vẫn âm trên khoảng từ $1$ đến nghiệm dương nên (II) sai. Trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ nên (III) sai. Vậy chỉ có $1$ mệnh đề đúng.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{1}{x^2}$. Điểm cực trị của $g(x)$ là nghiệm đơn của $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$. Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là một parabol và đồ thị $y=\frac{1}{x^2}$ có hai nhánh dương. Dựa vào sự tương giao giữa parabol và đường cong $y=\frac{1}{x^2}$, phương trình có 4 nghiệm phân biệt đổi dấu. Do đó hàm số $g(x)$ có 4 điểm cực trị. Vậy chọn A.