Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $m=1$: $f(x)=0\cdot x^2-0\cdot x+4=4$, không phải tam thức bậc hai → SAI.
b) Với $m=0$: $f(x)=-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ → ĐÚNG.
c) Điều kiện: $-x^2+2x+3\ge 0\iff x\in [-1;3]$ và $x+1\ge 0\iff x\ge -1$. Bình phương: $-x^2+2x+3=x^2+2x+1\iff 2x^2=2\iff x=\pm 1$. Thử $x=-1$: $\sqrt{0}=0=x+1$ thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm $x=\pm 1$, không phải nghiệm duy nhất $x=1$ → SAI.
d) Với $m=1$: $f(x)=4>0$ với mọi $x$. Với $m>1$: $a=m-1>0$ và $\Delta =4(m-1{)}^2-4(m-1)(m+3)=4(m-1)(m-1-m-3)=-16(m-1)<0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$ thì $f(x)=4$, hằng số, không phải tam thức bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$: $-x^2+2x+3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế với điều kiện $x\ge -1$: $2x^2=2\iff x=\pm 1$; cả hai đều thỏa nên phương trình có hai nghiệm $x=\pm 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $f(x)=4>0$; với $m>1$: $a>0$ và $\Delta =-16(m-1)<0$ nên $f(x)>0$ với mọi $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-x^2+2x+3$ có $\Delta =2^2-4(-1)(3)=16>0$ nên có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ (a đúng). Vì hệ số $a=-1<0$, $f(x)$ âm ngoài hai nghiệm, dương giữa hai nghiệm, đúng như bảng xét dấu (b đúng). $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm (c đúng). Với d: $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$. Yêu cầu $g(x)-f(x)<0\forall x$ tương đương $x^2-(m+1)x+2m-1>0\forall x$, tức $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2,3,4\}$ — chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 5 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =16>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1,x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a=-1<0$, nghiệm $-1$ và $3$: $f(x)$ âm trên $(-\infty ,-1)$ và $(3,+\infty )$, dương trên $(-1,3)$ — khớp bảng xét dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff x\in (-1,3)$, nghiệm nguyên: $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x$ khi $x^2-(m+1)x+2m-1>0\forall x$, tức $m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2,3,4\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\Delta =2^2-4(-1)(3)=16>0$, hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ — đúng. b) $f(x)=-(x+1)(x-3)$, hệ số $a=-1<0$ nên $f(x)$ âm ngoài khoảng $(-1;3)$, dương trong khoảng; bảng xét dấu với $-$, $0$, $+$, $0$, $-$ tại $-1$ và $3$ khớp — đúng. c) $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0;1;2$ — đúng 3 nghiệm nguyên. d) $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x\iff x^2-(m+1)x+2m-1>0$ với mọi $x\iff \Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, nên $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5 — sai. Kết quả ĐĐĐS khớp bảng đáp án mã đề 3267, Phần II câu 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =16>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$, $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-(x+1)(x-3)$ với $a=-1<0$: âm ngoài khoảng $(-1;3)$, dương trong khoảng, khớp bảng xét dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff -1<x<3$, nghiệm nguyên: $0;1;2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$ âm với mọi $x\iff m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ 3 giá trị, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x^2+2x+3$, ${\Delta }^{\prime }=1+3=4>0$ nên hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ (ý a đúng). Vì $a=-1<0$, tam thức dương trên $(-1;3)$ và âm ngoài khoảng, đúng như bảng xét dấu (ý b đúng). $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm (ý c đúng). Với ý d: $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$. Để $g(x)-f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$ cần $\Delta <0$: $(m+1{)}^2-4(2m-1)<0\iff m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, tức $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 5 (ý d sai). Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }=1+3=4>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$, $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=-1<0$, $f(x)$ âm khi $x<-1$ hoặc $x>3$, dương trên $(-1;3)$, bằng 0 tại $x=-1$ và $x=3$ — đúng như bảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff -1<x<3$, nghiệm nguyên: $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1<0\forall x$ khi $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2;3;4\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng khu đất là $x$ (m), $x>0$, khi đó chiều dài là $x+4$ (m). Diện tích không nhỏ hơn $96m^2$: $x(x+4)\ge 96\iff x^2+4x-96\ge 0\iff (x-8)(x+12)\ge 0$. Vì $x>0$ nên $x\ge 8$. Chu vi khu đất (số mét lưới cần mua) là $P=2(x+x+4)=4x+8\ge 4\cdot 8+8=40$. Vậy Bác Hùng phải mua ít nhất $a=40$ (m) lưới, khớp với đáp án nguồn (Mã chẵn, Câu 4: 40).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài là $x+7$ (m) với $x>0$. Diện tích không nhỏ hơn $120m^2$: $x(x+7)\ge 120\iff x^2+7x-120\ge 0$. Phương trình $x^2+7x-120=0$ có nghiệm $x=8$ hoặc $x=-15$ (loại). Với $x>0$, bất phương trình cho $x\ge 8$. Chu vi khu đất $P=2(x+x+7)=4x+14$ tăng theo $x$, nên nhỏ nhất khi $x=8$: $P=2(8+15)=46$ (m). Vậy $a=46$, trùng với đáp án nguồn (Mã lẻ, Câu 4: 46).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ cao hai thành rãnh là $h$ (cm), với $0<h<20$. Khi gập hai bên theo góc vuông, chiều rộng đáy rãnh là $MN=40-2h$ (cm). Diện tích mặt cắt ngang hình chữ nhật $AMNB$ là $S=h(40-2h)$. Yêu cầu kỹ thuật: $h(40-2h)\ge 150\iff 40h-2h^2\ge 150\iff 2h^2-40h+150\le 0\iff h^2-20h+75\le 0$. Phương trình $h^2-20h+75=0$ có nghiệm $h=5$ hoặc $h=15$, nên bất phương trình cho $5\le h\le 15$ (thỏa mãn $0<h<20$). Vậy độ cao ít nhất của rãnh dẫn nước là $5$ cm. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, Phần III Câu 3: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ cao hai thành rãnh là $h$ (cm), với $0<h<20$. Vì tổng bề ngang $AB=40$ cm, chiều rộng đáy rãnh là $MN=40-2h$ (cm). Diện tích mặt cắt ngang hình chữ nhật $AMNB$ là $S=h(40-2h)$. Yêu cầu kỹ thuật: $h(40-2h)\ge 150\iff 2h^2-40h+150\le 0\iff h^2-20h+75\le 0\iff (h-5)(h-15)\le 0\iff 5\le h\le 15$. Vậy độ cao ít nhất bác Nam cần làm là $h=5$ cm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 001, Phần III Câu 3 = 5).

Lời giải: Trả lời: 46. Gọi $xm$ là chiều rộng của mảnh vườn, $x>0$. Chiều dài của mảnh vườn là $x+7$. Diện tích của mảnh vườn là $x^2+7x$. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn $120m^2$ thì $$x^2+7x\ge 120\iff x\in (-\infty ;-15]\cup [8;+\infty )$$ Khi đó chiều rộng của mảnh vườn ít nhất là $8m$. Vậy bác Hùng phải mua ít nhất $46m$ lưới. (Ghi chú: nguồn ghi "bác Hùng" dù đề bài là "Bác An" — giữ nguyên theo nguồn.)

Gọi x là số lần tăng giá bán thêm 10 nghìn đồng $(x\ge 0)$. Khi đó, số tiền tăng thêm cho mỗi chiếc áo là 10x (nghìn đồng). Giá bán mới của một chiếc áo: $200+10x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được trên mỗi chiếc áo: Lấy giá bán mới trừ đi giá nhập (100 nghìn đồng), ta có: $(200+10x)-100=10x+100$ (nghìn đồng). Số lượng áo bán ra trong tháng: Cứ mỗi lần tăng giá thì số lượng bán giảm 20 chiếc, nên tổng số áo bán được là: $500-20x$ (chiếc). (Điều kiện thực tế: $500-20x>0\iff x<25$.) Tổng lợi nhuận trong tháng là tích của lợi nhuận trên mỗi chiếc áo và số lượng áo bán ra. Bài toán yêu cầu lợi nhuận đạt ít nhất 60 triệu đồng (tức là 60000 nghìn đồng). Ta thiết lập được bất phương trình: $(10x+100)(500-20x)\ge 60000$; $5000x-200x^2+50000-2000x\ge 60000$; $\iff -200x^2+3000x-10000\ge 0\iff x^2-15x+50\le 0\iff 5\le x\le 10$. Để đạt lợi nhuận ít nhất 60 triệu đồng, số lần tăng giá x phải nằm trong đoạn từ 5 đến 10. Mức giá bán tương ứng là hàm số đồng biến theo x: $P(x)=200+10x$. Vì đề bài yêu cầu tìm mức giá bán thấp nhất, ta chọn giá trị nhỏ nhất của x, tức là $x=5$. Thay vào, ta được giá bán thấp nhất cần niêm yết là: $200+10(5)=250$ (nghìn đồng).

Đáp án: 8. $f(x)=a{x}^2+bx+c\ge 0,\forall x\in R\iff \{\begin{array}{l}\Delta \le 0\\ a>0\end{array}$. Vậy để $f(x)=(m-2)x^2+2(2m-3)x+5m-6\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ ta cần điều kiện: $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }\le 0\\ a>0\end{array}$ $$\iff \{\begin{array}{l}(2m-3{)}^2-(m-2)(5m-6)\le 0\\ m-2>0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}-m^2+4m-3\le 0\\ m>2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in (-\infty ;1]\cup [3;+\infty )\\ m>2\end{array}\iff m\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$$ Với có 8 giá trị nguyên của $m$ (giữ nguyên lỗi chính tả 'Với có' theo bản in gốc).

Gọi n là số khách du lịch $(n\ge 50)$. Giá vé mỗi người: $p=360000-6000(n-50)=660000-6000n$. Doanh thu: $R=n.p=n(660000-6000n)=660000n-6000n^2$. Điều kiện không lỗ: $R\ge 18096000\iff 660000n-6000n^2\ge 18096000$ $\iff -6000n^2+660000n-18096000\ge 0\iff n^2-110n+3016\le 0\iff 52\le n\le 58$. Vì $n\ge 50$ nên số khách ít nhất là: 52. Kết luận: Số người ít nhất là 52 khách.

Đáp án: 48
Gọi $x$ là tổng số áo mà lớp đặt ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x\ge 35$) $\Rightarrow$ Số áo đặt vượt quá mốc 35 chiếc là: $x-35$ (áo).
Theo chính sách, cứ thêm 1 áo thì giá giảm 2000 đồng, nên tổng số tiền được giảm cho mỗi chiếc áo là:
$$2000(x-35)\text{ (đoˆˋng)}.$$
Giá tiền thực tế để in mỗi chiếc áo là:
$$150000-2000.(x-35)=150000-2000x+70000=220000-2000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Tổng doanh thu xưởng in thu được từ đơn hàng của lớp là:
$$x.(220000-2000x)=-2000x^2+220000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Để xưởng in không bị lỗ thì tổng doanh thu thu được phải lớn hơn hoặc bằng chi phí thực tế
$\Rightarrow$ Ta có bất phương trình: $-2000x^2+220000x\ge 5952000$
$\iff x^2-110x\le -2976\iff x^2-110x+2976\le 0\iff 48\le x\le 62$
Vậy lớp cần đặt ít nhất 48 chiếc áo để xưởng in không bị lỗ.

Đáp án: 48
Gọi $x$ là tổng số áo mà lớp đặt ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x\ge 35$) $\Rightarrow$ Số áo đặt vượt quá mốc 35 chiếc là: $x-35$ (áo).
Theo chính sách, cứ thêm 1 áo thì giá giảm 2000 đồng, nên tổng số tiền được giảm cho mỗi chiếc áo là:
$$2000(x-35)\text{ (đoˆˋng)}.$$
Giá tiền thực tế để in mỗi chiếc áo là:
$$150000-2000.(x-35)=150000-2000x+70000=220000-2000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Tổng doanh thu xưởng in thu được từ đơn hàng của lớp là:
$$x.(220000-2000x)=-2000x^2+220000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Để xưởng in không bị lỗ thì tổng doanh thu thu được phải lớn hơn hoặc bằng chi phí thực tế
$\Rightarrow$ Ta có bất phương trình: $-2000x^2+220000x\ge 5952000$
$\iff x^2-110x\le -2976\iff x^2-110x+2976\le 0\iff 48\le x\le 62$
Vậy lớp cần đặt ít nhất 48 chiếc áo để xưởng in không bị lỗ.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, bốn tam giác xung quanh là các tam giác vuông bằng nhau với hai cạnh góc vuông là $x$ và $20-x$ (vì cạnh hình vuông lớn bằng 20 cm). Cạnh viên gạch là cạnh huyền của tam giác vuông này nên bình phương cạnh viên gạch bằng $x^2+(20-x{)}^2$.

Diện tích viên gạch:
$$S=x^2+(20-x{)}^2=2x^2-40x+400.$$

Yêu cầu $S\le 208$:
$$2x^2-40x+400\le 208\iff x^2-20x+96\le 0.$$

Phương trình $x^2-20x+96=0$ có $\Delta =400-384=16$, nghiệm $x=\frac{20\pm 4}{2}$, tức $x=8$ hoặc $x=12$.

Kết hợp điều kiện $0<x<20$ (để tạo thành bốn tam giác xung quanh), ta được:
$$8\le x\le 12.$$

Kiểm tra: $x=10$ thì $S=100+100=200\le 208$ (thỏa mãn); $x=7$ thì $S=49+169=218>208$ (loại); $x=13$ thì $S=169+49=218>208$ (loại).

Vậy $x\in [8;12]$ (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu là $149x$ (nghìn đồng). Không bị lỗ khi $149x\ge x^2-3551x+3360000$, tức $x^2-3700x+3360000\le 0$. Biệt thức $\Delta =3700^2-4\cdot 3360000=13690000-13440000=250000$, $\sqrt{\Delta }=500$. Nghiệm: $x=\frac{3700\pm 500}{2}$, tức $x=1600$ hoặc $x=2100$. Vậy $1600\le x\le 2100$, nên $a=1600$, $b=2100$ và $T=b-a=500$.

Đáp số: 900.

Lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết $x$ sản phẩm là:
$1200x-\left(x^2+300x+200000\right)=-x^2+900x-200000$.

Để xí nghiệp không bị lỗ thì $-x^2+900x-200000\ge 0\iff 400\le x\le 500$.
Vậy để không bị lỗ, xí nghiệp cần sản xuất nhiều hơn hoặc bằng 400 sản phẩm và ít hơn hoặc bằng 500 sản phẩm.

Khi đó $\{\begin{array}{l}a=400\\ b=500\end{array}\Rightarrow S=a+b=900$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải bất phương trình $P(x)>729$: $-27x^2+1188x-7776>729\iff -27x^2+1188x-8505>0\iff x^2-44x+315<0$. Biệt thức $\Delta =44^2-4\cdot 315=1936-1260=676$, $\sqrt{\Delta }=26$. Nghiệm: $x=\frac{44-26}{2}=9$ và $x=\frac{44+26}{2}=35$. Vậy $P(x)>729$ khi $x\in (9;35)$, tức $a=9$, $b=35$, nên $a+b=44$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải bất phương trình $P(x)>1792$: $-28x^2+896x-4368>1792\iff -28x^2+896x-6160>0\iff x^2-32x+220<0$. Phân tích: $x^2-32x+220=(x-10)(x-22)$, nên bất phương trình có nghiệm $10<x<22$, tức khoảng $(a;b)=(10;22)$. Vậy $a+b=10+22=32$.

Lợi nhuận mỗi tháng của cửa hàng: $L(x)=(20-x)(x-11)=-x^2+31x-220$.
ĐK thỏa đề: $L(x)\ge 18,(x\ge 11)$.
Giải BPT: $-x^2+31x-238\ge 0\iff 14\le x\le 17$.
Mức giá cửa hàng đưa ra là từ 14 đến 17 triệu đồng.