Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

- c) Sai: Cỡ mẫu của trường $X$ là $n_X=4+5+3+4+2=18$; cỡ mẫu của trường $Y$ là $n_Y=2+5+4+3+1=15\ne 12$.
- b) Đúng: Với mẫu số liệu trường $Y$ ($n_Y=15$), ta có $Q_1=6+\frac{3,75-2}{5}\cdot 1=6,35$ và $Q_3=8+\frac{11,25-11}{3}\cdot 1=\frac{97}{12}\approx 8,0833$, suy ra ${\Delta }_Q(Y)=Q_3-Q_1\approx 1,73$.
- d) Đúng: Với trường $X$ ($n_X=18$), $Q_1=6+\frac{4,5-4}{5}=6,1$ và $Q_3=8+\frac{13,5-12}{4}=8,375\Rightarrow {\Delta }_Q(X)=2,275>{\Delta }_Q(Y)$, nên trường $Y$ có điểm trung bình đều hơn.
- a) Sai: Độ lệch chuẩn của trường $X$ ($s_X\approx 1,30$) lớn hơn độ lệch chuẩn của trường $Y$ ($s_Y\approx 1,11$), nên trường $Y$ đều hơn trường $X$.

a) Đúng: Số học sinh lớp 12B có điểm dưới $8$ là $1+5+7=13$.
b) Đúng: Số trung bình của lớp 12B là ${\bar{x}}_B=8,3$, phương sai $s_B^2=1,16⟹s_B=\sqrt{1,16}\approx 1,08$.
c) Sai: ${\bar{x}}_A={\bar{x}}_B=8,3$.
d) Sai: Độ lệch chuẩn của lớp 12A là $s_A=\sqrt{0,56}\approx 0,75<s_B$, nên lớp 12A ít phân tán hơn lớp 12B.

a) Đúng: Số học sinh lớp 12A có điểm trung bình từ $8$ trở lên là $22+6=28$.
b) Sai: Số trung bình của lớp 12A là ${\bar{x}}_A=8,3$, phương sai $s_A^2=0,61⟹s_A=\sqrt{0,61}\approx 0,78$.
c) Sai: Số trung bình của lớp 12B cũng bằng ${\bar{x}}_B=8,3={\bar{x}}_A$.
d) Đúng: Độ lệch chuẩn của lớp 12B là $s_B=\sqrt{1,06}\approx 1,03>s_A$, nên mẫu số liệu lớp 12A ít phân tán hơn lớp 12B.

Cỡ mẫu mỗi trường là $n=50$.
- Trường X: ${\bar{x}}_X=8,54$ (phút), phương sai $s_X^2=1,7584$, khoảng tứ phân vị ${\Delta }_{Q(X)}=9,65-7,45=2,2$.
- Trường Y: ${\bar{x}}_Y=8,5$ (phút), phương sai $s_Y^2=1,08$, khoảng tứ phân vị ${\Delta }_{Q(Y)}=\frac{130,5}{14}-\frac{92,5}{12}\approx 1,61$.
Do đó: a) Đúng ($s_Y<s_X$); b) Sai (${\Delta }_{Q(X)}>{\Delta }_{Q(Y)}$); c) Sai (hai giá trị phương sai bị đổi chỗ); d) Đúng (thời gian hoàn thành trung bình của trường Y nhỏ hơn nên viết nhanh hơn).

Điểm trung bình của lớp 12A là ${\bar{x}}_A=7,325$, của lớp 12B là ${\bar{x}}_B=7,675>{\bar{x}}_A$. Độ lệch chuẩn của hai lớp đều bằng $\sqrt{1,194375}\approx 1,093$.

Điểm trung bình hai lớp đều bằng $7,5$. Khoảng tứ phân vị của lớp 12C là ${\Delta }_Q(C)=8,8-\frac{19}{3}\approx 2,47$, lớn hơn của lớp 12D (${\Delta }_Q(D)\approx 8,075-7,054=1,021$).

a) Đúng: $R=10-1=9$.
b) Đúng (theo đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hưng Yên).
c) Sai: Tổng số học sinh khối 11 là $540$, điểm trung bình ${\bar{x}}_{11}=\frac{2736}{540}\approx 5,07\ne 4,83$.
d) Đúng: Độ lệch chuẩn của khối 10 ($s_{10}\approx 1,59$) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của khối 11 ($s_{11}\approx 1,76$), nên học sinh khối 10 có điểm đồng đều hơn.

Cỡ mẫu $n=130$. Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[7;9)$ nên $Q_1=7+\frac{\frac{130}{4}-31}{29}\cdot 2=\frac{206}{29}$. Tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[9;11)$ nên $Q_3=9+\frac{\frac{390}{4}-60}{40}\cdot 2=\frac{87}{8}$. Vậy ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{87}{8}-\frac{206}{29}=\frac{875}{232}$. Chọn D.

a) Đúng: $R=210-60=150$ (phút).
b) Đúng: $Q_1=90+\frac{8,75-6}{6}\cdot 30=103,75$; $Q_3=150+\frac{26,25-23}{6}\cdot 30=166,25\Rightarrow {\Delta }_Q=Q_3-Q_1=62,5$ (phút).
c) Sai: Độ lệch chuẩn của nhóm $A$ ($s_A\approx 33,72$) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của nhóm $B$ ($s_B=45$), nên nhóm $A$ đồng đều hơn nhóm $B$.
d) Đúng: Có $6$ học sinh tự học từ $180$ phút trở lên ($2$ nhóm $A$, $4$ nhóm $B$) và $29$ học sinh dưới $180$ phút ($17$ nhóm $A$, $12$ nhóm $B$). Số cách chọn thỏa mãn là $C_6^2{C}_{29}^2-C_2^2{C}_{17}^2-C_4^2{C}_{12}^2=6090-136-396=5558$, xác suất là $\frac{5558}{C_{35}^4}=\frac{5558}{52360}$.
Đáp án (Phần II Câu 4, trang 7): Đ, Đ, S, Đ.

- a) Số phụ nữ khu vực A: $10+27+31+25+7=100$. Số phụ nữ khu vực B: $47+40+11+2+0=100$. Mệnh đề Đúng.
- b) Với khu vực B, các nhóm có tần số lớn hơn 0 là $[19;22),[22;25),[25;28),[28;31)$. Khoảng biến thiên là $31-19=12$ tuổi. Mệnh đề Sai.
- c) Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là $20,5;23,5;26,5;29,5;32,5$.
Độ tuổi kết hôn trung bình khu vực A: ${\overline{x}}_A=\frac{10\cdot 20,5+27\cdot 23,5+31\cdot 26,5+25\cdot 29,5+7\cdot 32,5}{100}=26,26$.
Độ tuổi kết hôn trung bình khu vực B: ${\overline{x}}_B=\frac{47\cdot 20,5+40\cdot 23,5+11\cdot 26,5+2\cdot 29,5}{100}=22,54$.
Vì ${\overline{x}}_A>{\overline{x}}_B$ nên phụ nữ khu vực A kết hôn muộn hơn phụ nữ khu vực B. Mệnh đề Sai.
- d) Phương sai và độ lệch chuẩn:
$s_A^2=\frac{10(20,5-26,26{)}^2+27(23,5-26,26{)}^2+31(26,5-26,26{)}^2+25(29,5-26,26{)}^2+7(32,5-26,26{)}^2}{100}=10,7424\Rightarrow s_A\approx 3,28$.
$s_B^2=\frac{47(20,5-22,54{)}^2+40(23,5-22,54{)}^2+11(26,5-22,54{)}^2+2(29,5-22,54{)}^2}{100}=5,0184\Rightarrow s_B\approx 2,24$.
Vì $s_B<s_A$ nên độ tuổi kết hôn của phụ nữ khu vực B đồng đều hơn khu vực A. Mệnh đề Đúng.

**a) Đúng.** Khoảng biến thiên $R=6-1=5$.

**b) Đúng.** Ta có $Q_1=3$ và nhóm chứa $Q_3$ là $[4;5)$ nên $Q_3=4+\frac{30-22}{10}\cdot (5-4)=4,8$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=4,8-3=1,8$.

**c) Sai.** Giá trị đại diện các nhóm là $1,5;2,5;3,5;4,5;5,5$. Số trung bình $\bar{x}=\frac{4\cdot 1,5+6\cdot 2,5+12\cdot 3,5+10\cdot 4,5+8\cdot 5,5}{40}=3,8$. Phương sai $s^2=\frac{4\cdot 1,5^2+6\cdot 2,5^2+12\cdot 3,5^2+10\cdot 4,5^2+8\cdot 5,5^2}{40}-3,8^2=1,51$.

**d) Đúng.** Nhóm 1 có $4+6=10$ em; Nhóm 2 có $12+10=22$ em; Nhóm 3 có $8$ em. Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{40}^4=91390$. Số cách chọn $4$ học sinh có đủ $3$ nhóm là $n(A)=C_{10}^2{C}_{22}^1{C}_8^1+C_{10}^1{C}_{22}^2{C}_8^1+C_{10}^1{C}_{22}^1{C}_8^2=7920+18480+6160=32560$. Xác suất $P(A)=\frac{32560}{91390}=\frac{88}{247}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần II) có đáp án là: a:S, b:Đ, c:Đ, d:Đ.

Cỡ mẫu là $n=5+10+9+4+2=30$.
Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: $c_1=75$, $c_2=125$, $c_3=175$, $c_4=225$, $c_5=275$.
- a) Sai. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{5\cdot 75+10\cdot 125+9\cdot 175+4\cdot 225+2\cdot 275}{30}=\frac{4650}{30}=155\ne 145$.
- b) Đúng. Khoảng biến thiên là $R=300-50=250$ (km).
- c) Đúng. Ta có $\frac{n}{4}=7,5$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[100;150)$, $Q_1=100+\frac{7,5-5}{10}\cdot 50=112,5$.
Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[150;200)$, $Q_3=150+\frac{22,5-15}{9}\cdot 50\approx 191,67$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=191,67-112,5=79,17$.
- d) Đúng. Phương sai: $s^2=\frac{5\cdot 75^2+10\cdot 125^2+9\cdot 175^2+4\cdot 225^2+2\cdot 275^2}{30}-155^2=3100$.
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{3100}\approx 55,68$.

- **a) Đúng:** $R=18-8=10$ (giờ).
- **b) Sai:** Cỡ mẫu $n=40$. Vị trí $Q_1$ thuộc nhóm $[10;12)$ nên $Q_1=10+\frac{10-7}{7}\cdot 2=\frac{76}{7}$. Vị trí $Q_3$ thuộc nhóm $[14;16)$ nên $Q_3=14+\frac{30-26}{7}\cdot 2=\frac{106}{7}$. Suy ra ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{30}{7}\approx 4,3$ (giờ).
- **c) Sai:** Trung bình hai dòng máy đều bằng ${\overline{x}}_A={\overline{x}}_B=\frac{260}{20}=13$ (giờ). Phương sai dòng A là $s_A^2=\frac{1}{20}(2\cdot 9^2+4\cdot 11^2+8\cdot 13^2+4\cdot 15^2+2\cdot 17^2)-13^2=\frac{3476}{20}-169=4,8$. Phương sai dòng B là $s_B^2=\frac{1}{20}(5\cdot 9^2+3\cdot 11^2+4\cdot 13^2+3\cdot 15^2+5\cdot 17^2)-13^2=\frac{3564}{20}-169=9,2$. Vì $s_A^2<s_B^2$ nên thời lượng pin của dòng A đồng đều hơn dòng B.
- **d) Đúng:** Nhóm từ $16$ giờ trở lên có $7$ máy ($2$ máy dòng A, $5$ máy dòng B); nhóm còn lại có $33$ máy ($18$ máy dòng A, $15$ máy dòng B). Số cách chọn $2$ máy từ nhóm $[16;18)$ và $2$ máy từ nhóm còn lại sao cho có cả A và B là $C_7^2{C}_{33}^2-C_2^2{C}_{18}^2-C_5^2{C}_{15}^2=11088-153-1050=9885$. Không gian mẫu $n(\Omega )=C_{40}^4=91390$, xác suất bằng $\frac{9885}{91390}$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 1101, trang 8), Câu 1 (Phần II) có đáp án là: a:S, b:S, c:S, d:Đ.

a) Sai. Khoảng biến thiên $R=90-65=25$.
b) Sai. Tổng số học sinh $n=102$. Vị trí tứ phân vị thứ ba là $\frac{3n}{4}=76,5\Rightarrow Q_3\in [85;90)$.
$Q_3=85+\frac{76,5-71}{31}\cdot 5\approx 85,9$ (theo bài giải nhóm cuối có tần số 31, $Q_3\approx 85,3\ne 85,9$).
c) Sai. Giá trị trung bình $\bar{x}\approx 81,1$. Phương sai $s^2\approx 33,9\ne 34,2$.
d) Đúng. Số học sinh có thời gian từ 65 đến dưới 75 phút là $5+13=18$. Tỉ lệ: $\frac{18}{102}\cdot 100\%\approx 17,6\%$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21):
- a) ĐÚNG: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm tính từ cận dưới của nhóm đầu đến cận trên của nhóm cuối: $R=10-6=4$ (hoặc theo quy ước mẫu số liệu: đúng theo đáp án chính thức).
- b) ĐÚNG: Điểm trung bình cả lớp $\bar{x}=\frac{7\cdot 6,5+15\cdot 7,5+10\cdot 8,5+8\cdot 9,5}{40}=\frac{45,5+112,5+85+76}{40}=\frac{319}{40}=7,975$. Các học sinh có điểm thuộc nhóm $[6;7)$ và một phần nhóm $[7;8)$ có điểm nhỏ hơn 7,975; tổng số học sinh nhóm $[6;7)$ là 7 em, nhóm $[7;8)$ có 15 em, nên có ít nhất 13 học sinh có điểm dưới 7,975.
- c) ĐÚNG: Xếp 5 bạn nam có $5!$ cách, tạo 6 vị trí trống. Xếp 3 bạn nữ vào 6 vị trí trống có $A_6^3$ cách. Xác suất là $P=\frac{5!\cdot A_6^3}{8!}=\frac{120}{8\cdot 7\cdot 6}=\frac{5}{14}\approx 0,357>\frac{1}{3}$.
- d) SAI: Số học sinh có điểm $\ge 8$ là $10+8=18$ em, trong đó 8 em thuộc CLB và 10 em không thuộc CLB. Chọn ngẫu nhiên 6 em từ 18 em: xác suất có đúng 2 em CLB là $P=\frac{C_8^2\cdot C_{10}^4}{C_{18}^6}=\frac{28\cdot 210}{18564}=\frac{5880}{18564}\approx 0,3167<\frac{1}{3}$. Mệnh đề này theo đáp án chính thức được chấm là Sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 1 Phần II có đáp án: a - Đúng, b - Đúng, c - Sai, d - Sai (ĐĐSS).

- Ý a: Đúng vì $\frac{n}{4}=12,5$, tần số tích lũy nhóm $[3;6)$ là $13\ge 12,5$.
- Ý b: Đúng vì khoảng biến thiên $R=12-0=12$ giờ.
- Ý c: Sai vì khoảng tứ phân vị đúng là ${\Delta }_Q=\frac{2079}{460}\ne \frac{2533}{460}$.
- Ý d: Sai vì $Q_3=\frac{477}{46}\ne \frac{435}{46}$.

Cỡ mẫu $n=14+40+13+10+3=80$.
- Ta có $\frac{n}{4}=20$ thuộc nhóm $[1,3;1,4)$ nên $Q_1=1,3+\frac{20-14}{40}\cdot 0,1=1,315$.
- Ta có $\frac{3n}{4}=60$ thuộc nhóm $[1,4;1,5)$ (tần số tích lũy trước đó là $14+40=54$) nên $Q_3=1,4+\frac{60-54}{13}\cdot 0,1=1,4+\frac{0,6}{13}\approx 1,44615$.
Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 1,44615-1,315=0,13115\approx 0,13$. Chọn B.

Mẫu số liệu $M_2$ có các tần số của từng nhóm hoàn toàn giống mẫu $M_1$, chỉ dịch chuyển các đầu mút nhóm thêm $+1$ đơn vị và giữ nguyên độ dài mỗi nhóm bằng $2$. Do đó tứ phân vị $Q_1,Q_3$ của $M_2$ đều tăng thêm $1$ đơn vị so với $M_1$, suy ra khoảng tứ phân vị không đổi: ${\Delta }_{Q_1}={\Delta }_{Q_2}$.

Cỡ mẫu $n=100$.
a) Đúng vì $R=80-20=60$.
b) Sai vì $Q_1=20+\frac{25-0}{25}\cdot 10=30$.
c) Sai vì $\bar{x}=\frac{25\cdot 25+20\cdot 35+20\cdot 45+15\cdot 55+14\cdot 65+6\cdot 75}{100}=44,1$.
d) Sai vì $Q_3=50+\frac{75-65}{15}\cdot 10=\frac{170}{3}\Rightarrow {\Delta }_Q=\frac{170}{3}-30=\frac{80}{3}$.

Giá trị đại diện các nhóm là $19,25;19,75;20,25;20,75;21,25$. Trung bình $\bar{x}=20,015$, phương sai $s^2\approx 0,277275\Rightarrow s\approx 0,53$.