Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FS}=\frac{KD}{KS}=t$. Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),S(0,0,1)$. Khi đó $E\left(\frac{t}{1+t},0,0\right)$, $F\left(0,0,\frac{t}{1+t}\right)$, $K\left(0,\frac{1}{1+t},\frac{t}{1+t}\right)$. Mặt phẳng $(EFK)$ có phương trình $x+z=\frac{t}{1+t}$, giao với $CD$ (đường $y=1,z=0$) tại $H\left(\frac{t}{1+t},1,0\right)$.
(1) Vectơ $\overrightarrow{EK}=\frac{1}{1+t}(-t,1,t)$ có tích vô hướng với pháp tuyến $(1,0,1)$ của $(SBC)$ bằng $0$, mà $E\notin (SBC)$, nên $EK\parallel (SBC)$: đúng.
(2) $\overrightarrow{KH}=\frac{t}{1+t}(1,1,-1)$ cũng vuông góc với $(1,0,1)$, nên $KH\parallel (SBC)$: đúng.
(3) $\overrightarrow{EH}=(0,1,0)\parallel \overrightarrow{AD}$, mà $AD\subset (SAD)$, $E\notin (SAD)$, nên $EH\parallel (SAD)$: đúng.
(4) $F,K$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAD)$ nên $FK\subset (SAD)$, không song song với $(SAD)$: sai.
Vậy có 3 khẳng định đúng, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\frac{EA}{EB}=\frac{FA}{FS}=\frac{KD}{KS}=k$. Trong mặt phẳng $(SAD)$, vì $\frac{FA}{FS}=\frac{KD}{KS}$ nên theo định lý Thales $FK\parallel AD$. Vì $AD\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$, $FK\not\subset (SBC)$ nên $FK\parallel (SBC)$. Trong mặt phẳng $(EFK)$, do $FK\parallel BC$ nên $(EFK)\cap (SBC)$ là đường thẳng qua giao điểm của $(EFK)$ với $(SBC)$ và song song với $BC$; cụ thể $(EFK)$ cắt $CD$ tại $H$ và vì $EH\parallel AD$ (do $H$ được xác định sao cho $EH\parallel AD$, chứng minh bằng Thales trong mặt phẳng $(ABCD)$: đường thẳng qua $E$ song song $AD$ cắt $CD$ tại điểm thỏa tỉ số nên trùng $H$), ta có $EH\parallel AD\parallel BC$. Khi đó trong mặt phẳng $(EFK)$, $EK$ không song song $FK$ nên $EK$ cắt đường thẳng qua $H$ song song $FK$ tại một điểm $I$; tứ giác $EFKI$... Xét trực tiếp: vì $EH\parallel FK$ (cùng song song $AD$) nên $EFKH$ là hình thang trong mặt phẳng $(EFK)$; $KH$ là cạnh, do $KH$ không song song $EF$ và $K,H$ lần lượt nằm trên $SD,CD$ với $CD\cap (SBC)$ tại $C$... Kiểm tra bằng tọa độ: chọn $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $S(0,0,1)$, với $t=\frac{k}{1+k}$: $E(t,0,0)$, $F(0,0,t)$, $K(0,1-t,t)$, mặt $(EFK)$: $x+z=t$, giao với $CD$ ($y=1,z=0$) tại $H(t,1,0)$. Mặt $(SBC)$: $x+z=1$.
- (1) $\overrightarrow{EK}=(-t,1-t,t)$ có $\overrightarrow{EK}\cdot (1,0,1)=-t+t=0$ và $E$ không thuộc $(SBC)$ $\Rightarrow$ $EK\parallel (SBC)$. Đúng.
- (2) $\overrightarrow{KH}=(t,t,-t)$, $\overrightarrow{KH}\cdot (1,0,1)=t-t=0$, $K$ không thuộc $(SBC)$ $\Rightarrow$ $KH\parallel (SBC)$. Đúng.
- (3) $\overrightarrow{EH}=(0,1,0)\parallel AD$, mặt $(SAD)$ là $x=0$, $E$ có $x=t\ne 0$ $\Rightarrow$ $EH\parallel (SAD)$. Đúng.
- (4) $F\in SA$, $K\in SD$ nên $FK\subset (SAD)$, do đó $FK$ không song song $(SAD)$. Sai.
Vậy có 3 khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$ nên theo định lí đường trung bình, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$. Vì $AB\subset (ABCD)$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$. Đáp án khớp với mã đề 1246: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $b$ không nằm trong $(P)$, $a\subset (P)$ và $b\parallel a$. Theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu đường thẳng $b$ song song với đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $b$ không nằm trong $(P)$ thì $b$ song song với $(P)$. Do đó khẳng định đúng là $b$ song song với $(P)$. Các phương án B, C, D sai vì $b$ không nằm trong $(P)$ nên không thể cắt $(P)$ hay nằm trong $(P)$; còn $a$ nằm trong $(P)$ nên không thể song song với $(P)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Vì $AB\parallel CD$ và $CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$. Khẳng định 'AB không song song' là sai.
b) Đúng: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ (tính chất hình hộp chữ nhật), $AB\subset (ABCD)$, $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$.
c) Sai: Mặt nước qua $E$ song song với đáy. Trong mặt phẳng chứa thanh $MN$, ta có $\frac{TB}{B{B}^{\prime }}=\frac{EN}{MN}=\frac{1,5}{4}$, suy ra $TB=3\cdot \frac{1,5}{4}=1,125$ m $\ne 2$ m.
d) Đúng: Nắp bể $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với đáy $(ABCD)$ vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ và hai đường thẳng này cắt nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$; khẳng định 'không song song' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, $AB\subset (ABCD)$, $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABCD)$ nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt nước qua $E$ song song với đáy nên $\frac{TB}{B{B}^{\prime }}=\frac{EN}{MN}=\frac{1,5}{4}$, suy ra $TB=3\cdot \frac{1,5}{4}=1,125$ m $\ne 2$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ với hai đường thẳng cắt nhau thuộc $(ABCD)$, nên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $MN\subset (CMN)$ và giao tuyến của $(SAB)$ với $(CMN)$ là $MN$. Vì $AB\parallel MN$ nên $AB$ không cắt $(CMN)$, do đó $AB\parallel (CMN)$. Các phương án khác sai: $CD$ cắt $(CMN)$ tại $C$; $CM$ và $MN$ nằm trong $(CMN)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $AB\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ (đúng); $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ (đúng); $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABC)$ (đúng). Còn $B{B}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $B$ (vì $B\in (ABC)$ và $B\in B{B}^{\prime }$), do đó $B{B}^{\prime }$ không song song với $(ABC)$. Khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: A) $AC//A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $AC//(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ đúng. B) $A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }$ nên $A{A}^{\prime }//(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ đúng. D) $B^{\prime }{C}^{\prime }//BC$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }//(ABC)$ đúng. C) Đường thẳng $A{A}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ (vì $A$, $A^{\prime }$ đều thuộc mặt phẳng này), nên không thể song song với mặt phẳng đó — khẳng định C sai. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 12: C).

Theo HD chấm (trang 14), mã đề 1104 ghi 'GIỐNG 1102'; nguồn chỉ cung cấp hình vẽ [Hình cần kiểm tra lại: p14_f2] cho mã 1102, không có lời giải chi tiết riêng cho cặp 1102/1104. Lời giải mẫu in trong nguồn (cột mã 1101, bài toán tương tự với $I,J$ là trọng tâm tam giác $SAB,DAB$, kết luận $IJ\parallel (SBD)$) làm theo cách: Gọi $M$ là trung điểm $AB$ (tương ứng: trung điểm $AD$). Chỉ ra được $\frac{MI}{MS}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ (tương ứng $\frac{MI}{MS}=\frac{MJ}{MC}=\frac{1}{3}$). Kết luận được $IJ\parallel SD$ (tương ứng $IJ\parallel SC$). Vậy $\{\begin{array}{l}IJ\parallel SD\\ IJ\not\subset (SBD)\\ SD\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow IJ\parallel (SBD)$ (tương ứng $\Rightarrow IJ\parallel (SAC)$). Điểm: 0,25 + 0,25.

Theo HD chấm (trang 14), mã 1103 ghi 'GIỐNG 1101', giải giống mã 1101: Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chỉ ra được $\frac{MI}{MS}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ . Kết luận được $IJ\parallel SD$. Vậy $\{\begin{array}{l}IJ\parallel SD\\ IJ\not\subset (SBD)\\ SD\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow IJ\parallel (SBD)$

Theo HD chấm (trang 14, cột mã 1102): bài này ghi 'GIỐNG 1101', nguồn chỉ cung cấp hình vẽ [Hình cần kiểm tra lại: p14_f2], không có lời giải chi tiết riêng cho mã 1102. Lời giải tham khảo theo HD chấm mã 1101 (cùng cấu trúc): gọi $M$ là trung điểm $AC$; chỉ ra được $\frac{MI}{MS}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ nên kết luận được $IJ\parallel SD$; vậy $\{\begin{array}{l}IJ\parallel SD\\ IJ\not\subset (SAC)\\ SD\subset (SAC)\end{array}\Rightarrow IJ\parallel (SAC)$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chỉ ra được $\frac{MI}{MS}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$ . Kết luận được $IJ\parallel SD$. Vậy $\{\begin{array}{l}IJ\parallel SD\\ IJ\not\subset (SBD)\\ SD\subset (SBD)\end{array}\Rightarrow IJ\parallel (SBD)$

Hình vẽ minh họa Ta có $\{\begin{array}{l}CD\not\subset (SAB)\\ CD\parallel AB\\ AB\subset (SAB)\end{array}\Rightarrow CD\parallel (SAB)$. Chọn đáp án (D).

a) Gọi $M$ là trung điểm của $SA$.
Ta có: $\frac{BG}{BM}=\frac{2}{3}$ (do G là trọng tâm tam giác SAB)

Vì $△OAB\sim △OCD\Rightarrow \frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}=2\Rightarrow \frac{OB}{BD}=\frac{2}{3}$

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Xét tam giác $BMD$ có: $\frac{OB}{BD}=\frac{BM}{BG}=\frac{2}{3}\Rightarrow OG//MD$
Mà $OG\not\subset (SAD)$
Suy ra $OG//(SAD)$

b) S là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$.
Mà $AB//CD$ nên $(SAB)\cap (SCD)=Sx//AB//CD$

Trong mp$(SAB)$, gọi $I=Sx\cap BG\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in BG\\ I\in Sx,Sx\subset (SCD)\end{array}\Rightarrow I=BG\cap (SCD)$

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $I$ là trung điểm $AB$, $J$ là trung điểm $AD$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$, suy ra $IJ//BD$. Vì $BD$ nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ còn $I$ không thuộc $(BCD)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $IJ//(BCD)$. Các khẳng định khác sai vì $IJ$ cắt hoặc nằm trong các mặt phẳng $(ACD)$, $(ABC)$, $(ABD)$ ($IJ$ nằm trong $(ABD)$). Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AD$. Vì $AD\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (ABCD)$. Loại các phương án khác: $MN$ cắt $(SAC)$ tại $M$, nằm trong $(SAD)$, cắt $(SAB)$ tại $M$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 111: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang/tứ giác, suy ra $MN\parallel AD$. Mà $AD\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (hình hộp) nên $MN\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Đúng. $NP$ nằm trong mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{NP}=(\overrightarrow{D^{\prime }}-\vec{C})/2$ (không song song $AD$). $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. Đường thẳng $NP$ không song song với $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và không cắt $A^{\prime }{D}^{\prime }$ ($A^{\prime }{D}^{\prime }$ chỉ gặp mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại $D^{\prime }$, mà $NP$ không qua $D^{\prime }$), vậy $NP$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$ chéo nhau.

c) Đúng. $MN\parallel AD\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }\subset (C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $MN\parallel (C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$. $NP$ có vectơ chỉ phương cùng hướng với $C{D}^{\prime }$ (vì $N$ trung điểm $CD$, $P$ trung điểm $D{D}^{\prime }$ nên $NP\parallel C{D}^{\prime }$), mà $C{D}^{\prime }\subset (C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$, $N\notin (C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$, nên $NP\parallel (C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường $MN$, $NP$ cắt nhau tại $N$ và cùng song song với mặt phẳng $(C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên $(MNP)\parallel (C{A}^{\prime }{D}^{\prime })$.

d) Sai. $NP\parallel C{D}^{\prime }$, mà $C{D}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(CB{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ tại $C$ ($C{D}^{\prime }$ không song song với mặt phẳng này). Do đó $NP$ không song song với $(CB{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; thực tế $NP$ cắt mặt phẳng $(CB{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Khớp với đáp án nguồn mã đề 1102: a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ACD$, $M$ là trung điểm $AD$ và $N$ là trung điểm $CD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABC)$ và $B\notin AC$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (ABC)$. Loại các đáp án khác: $N\in (BCD)$ nên $MN$ không thể song song với $(BCD)$; $M\in (ACD)$ và $M\in (BAD)$ nên $MN$ không song song với hai mặt phẳng này. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác, suy ra $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ACD)$ và $MN\not\subset (ACD)$ nên $MN\parallel (ACD)$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$ nhưng $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ không phải trung điểm $AB$; do đó $MO$ không song song $SB$.
b) Đúng. $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SDB)$; cũng $S\in (SAC)\cap (SDB)$. Hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức giao tuyến là $SO$.
c) Đúng. Trong tam giác $SAC$: $M$ trung điểm $SA$, $O$ trung điểm $AC$ nên $MO\parallel SC$. Trong tam giác $SAD$: $M,N$ trung điểm $SA,SD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$. Vì $MO\parallel SC\subset (SBC)$, $MN\parallel BC\subset (SBC)$, $MO$ cắt $MN$ tại $M$, và không có điểm chung với $(SBC)$, nên $(MNO)\parallel (SBC)$.
d) Đúng. Từ trên $MO\parallel SC$ với $SC\subset (SBC)$ và $MO\not\subset (SBC)$, suy ra $MO\parallel (SBC)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 209: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$ nhưng $O$ (tâm hình bình hành $ABCD$) không phải trung điểm $AB$, nên $MO$ không song song $SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SDB)$, $S$ cũng chung, nên giao tuyến của hai mặt phẳng là $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MO\parallel SC$ (định lý đường trung bình trong tam giác $SAC$) và $MN\parallel AD\parallel BC$ (trong tam giác $SAD$), nên $(MNO)\parallel (SBC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $MO\parallel SC\subset (SBC)$ và $MO\not\subset (SBC)$ nên $MO\parallel (SBC)$.