Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của $(Oxy)$, tức là $\vec{u}=\vec{k}=(0;0;1)$. Đường thẳng đi qua điểm $A(1;1;1)$ nên có phương trình tham số: $x=1$, $y=1$, $z=1+t$, với $t\in \mathbb{R}$. Kết quả này khớp với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{3}$ đi qua điểm $(-1;2;0)$ với vectơ chỉ phương $(1;-1;3)$. Thử từng điểm: $Q(1;0;2)$: $\frac{1+1}{1}=2$, $\frac{0-2}{-1}=2$, $\frac{2}{3}\ne 2$ → không thuộc. $P(1;-1;3)$: $2$, $3$, $1$ → không thuộc. $N(1;-2;0)$: $2$, $4$, $0$ → không thuộc. $M(-1;2;0)$: $\frac{-1+1}{1}=0$, $\frac{2-2}{-1}=0$, $\frac{0}{3}=0$ → thỏa mãn, thuộc $d$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0$ vào phương trình tham số của $d$ ta được điểm $(1;-1;3)$, tức $M(1;-1;3)$ thuộc $d$. Kiểm tra các điểm khác: $M(1;1;3)$ cho $y=1\ne -1$; $M(1;2;-1)$ cho $y=2\Rightarrow t=1,5$ nhưng $z=3-1,5=1,5\ne -1$; $M(1;2;1)$ tương tự không thỏa. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng là $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);-4-2;3-5)=(2;-6;-2)$, rút gọn thành $(1;-3;-1)$. Đường thẳng đi qua $A(-1;2;5)$ nên có phương trình $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-5}{-1}$, tương ứng đáp án D. Kiểm tra với $B(1;-4;3)$: $\frac{1+1}{1}=2$, $\frac{-4-2}{-3}=2$, $\frac{3-5}{-1}=2$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $\frac{1-x}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{x-2}{1}$, ta viết lại $\frac{1-x}{3}=\frac{-(x-1)}{3}=\frac{x-1}{-3}$. Vậy đường thẳng $\Delta$ có dạng $\frac{x-1}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$, suy ra vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-3;2;1)$ (hoặc bất kỳ vectơ nào cùng phương). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chỉ phương của đường thẳng qua $A(1;1;2)$ và $B(2;-1;0)$ là $\overrightarrow{AB}=(2-1;-1-1;0-2)=(1;-2;-2)$. Đường thẳng đi qua $B(2;-1;0)$ có phương trình $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-2}$. Xét đáp án D: $\frac{2-x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ có véctơ chỉ phương $(-1;2;2)=-\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, và điểm $B(2;-1;0)$ thỏa mãn (các vế đều bằng 0). Vậy D đúng. Đáp án A sai vì điểm $A(1;1;2)$ không thỏa (vế thứ nhất bằng 2, vế thứ hai bằng 0); đáp án B sai vì véctơ chỉ phương $(1;1;2)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$; đáp án C sai vì véctơ chỉ phương $(1;-2;2)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (tỉ số $2/(-2)\ne -1$).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):y+3=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(0;1;0)$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $(P)$ nên nhận $\vec{u}={\vec{n}}_P=(0;1;0)$ làm vectơ chỉ phương, và đi qua $A(2;-1;3)$. Phương trình tham số: $x=2,y=-1+t,z=3$. Đây chính là đáp án C. Kiểm tra: A có vectơ chỉ phương $(2;-1;3)$ sai; B có $(1;0;1)$ sai; D không đi qua $A$ (khi $t=0$ điểm $(-2;1;-3)$) và sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+4}{4}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-3}{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(4;3;1)$ và đi qua điểm $(-4;-3;3)$.
a) Sai: vecto chỉ phương của $d$ là $(4;3;1)$, không phải $(4;1;3)$.
b) Đúng: thay $x=-4,y=-3,z=3$ thỏa phương trình $d$.
c) $d^{\prime }$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(-4;-3;-1)=-\vec{u}$, nên $d^{\prime }\parallel d$. Kiểm tra điểm $(2;3;0)$ của $d^{\prime }$: $\frac{2+4}{4}=\frac{3}{2}\ne \frac{3+3}{3}=2$, nên $d^{\prime }$ không nằm trên $d$, hai đường thẳng song song phân biệt. Đúng.
d) Vecto chỉ phương chung $\vec{u}=(4;3;1)$, vecto nối hai điểm $A(-4;-3;3)\in d$, $B(2;3;0)\in d^{\prime }$ là $\overrightarrow{AB}=(6;6;-3)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\vec{u}\times \overrightarrow{AB}=(-15;18;6)\parallel (5;-6;-2)$. Mặt phẳng qua $A$: $5(x+4)-6(y+3)-2(z-3)=0\iff 5x-6y-2z+8=0$. Kiểm tra $B$: $10-18+8=0$ ✓. Phương trình $5x-6y-2z+3=0$ không chứa $A$ (thay vào được $-5\ne 0$). Sai.
a) Vecto chỉ phương của $d$ là $(4;3;1)$, không phải $(4;1;3)$.
b) Thay $M(-4;-3;3)$ vào phương trình $d$ thỏa mãn.
c) $\overrightarrow{u^{\prime }}=(-4;-3;-1)=-\vec{u}$ nên $d^{\prime }$ song song với $d$; điểm $(2;3;0)$ của $d^{\prime }$ không thuộc $d$ nên hai đường phân biệt.
d) Mặt phẳng chứa $d$ và $d^{\prime }$ là $5x-6y-2z+8=0$, không phải $5x-6y-2z+3=0$ (điểm $A(-4;-3;3)$ không thỏa).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình tham số của $\Delta$: $x=1+2t$, $y=-1+3t$, $z=2-t$. Với $B(-1;-4;3)$: từ $x=-1$ suy ra $t=\frac{-1-1}{2}=-1$; khi đó $y=-1+3(-1)=-4$ (đúng) và $z=2-(-1)=3$ (đúng). Vậy $B$ thuộc $\Delta$. Các điểm khác: $A(2;3;-1)$: $t=\frac{1}{2}$ cho $y=\frac{1}{2}\ne 3$, loại; $C(-1;1;-2)$: $t=-1$ cho $y=-4\ne 1$, loại; $D(2;-2;4)$: $t=\frac{1}{2}$ cho $y=\frac{1}{2}\ne -2$, loại.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-7}{5}$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{u}=(3;-2;5)$, chính là các mẫu số trong phương trình. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng qua A(10;3;0) với vectơ chỉ phương u=(2;-2;1) có phương trình tham số x=10+2t, y=3-2t, z=t, t∈ℝ → đúng.
b) |u|=√(4+4+1)=3. Tốc độ 4,5 m/s nên mỗi giây cabin đi được 4,5/3=1,5 lần vectơ u, tức vectơ chuyển động (3;-3;3/2). Vậy M(10+3t; 3-3t; 3t/2) → đúng.
c) x_B=550 ⇒ 10+3t=550 ⇒ t=180 (s). Quãng đường AB = 4,5·180 = 810 m ≠ 800 m → sai.
d) sin góc giữa đường cáp và (Oxy) = |u_z|/|u| = 1/3, nên góc = arcsin(1/3) ≈ 19,47° ≠ 30° → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(10;3;0), vectơ chỉ phương u=(2;-2;1): x=10+2t, y=3-2t, z=t, t∈ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
|u|=3, tốc độ 4,5 m/s nên mỗi giây đi 1,5·u=(3;-3;3/2), suy ra M(10+3t; 3-3t; 3t/2).
c) (AI giải đề cho tôi)
x_B=550 ⇒ t=180 s, quãng đường AB = 4,5·180 = 810 m, không phải 800 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin góc = |u_z|/|u| = 1/3 ⇒ góc ≈ 19,47° ≠ 30°.

(AI giải đề cho tôi)
AB=(0;-2;0), AC=(2;2;2), pháp tuyến (ABC): AB×AC=(-4;0;4) ∥ (-1;0;1). Mặt phẳng (ABC): -(x-2)+(z-1)=0 ⟹ z=x-1. Tâm I cách đều A,B,C và thuộc (ABC): IA²=IB² ⟹ y=-1; IA²=IC² với y=-1, z=x-1: 2(x-2)²+1=2(x-4)²+9 ⟹ 4x-12=4 ⟹ x=4, z=3. Vậy I(4;-1;3). Đường thẳng d qua I có VTCP (-1;0;1): (x;y;z)=(4-t;-1;3+t). M(a;b;-1) thuộc d: 3+t=-1 ⟹ t=-4 ⟹ a=4+4=8, b=-1. Tổng a+b=7.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{3}$ đi qua điểm $(-1;2;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;3;3)$. Thử từng điểm: $P(-1;2;1)$ cho $\frac{0}{-1}=\frac{0}{3}=\frac{0}{3}=0$ thỏa mãn, nên $P\in d$. Các điểm $Q(1;-2;-1)$: $\frac{2}{-1}=-2\ne \frac{-4}{3}$; $N(-1;3;2)$: $0\ne \frac{1}{3}$; $M(1;2;1)$: $\frac{2}{-1}=-2\ne 0$, đều không thuộc $d$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $d$ trên mặt phẳng $Oxy$ có vectơ chỉ phương bằng hình chiếu của $\vec{u}=(2;3;1)$ lên $Oxy$, tức là $(2;3;0)$. Điểm $(-1;2;-3)$ trên $d$ có hình chiếu là $(-1;2;0)$. Vậy đường hình chiếu: $\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2+3t\\ z=0\end{array}$. Đổi tham số $t^{\prime }=-3t+3$ (chọn sao cho qua điểm $(-1;2;0)$ khi $t^{\prime }=1$): $x=5-6t^{\prime }$, $y=11-9t^{\prime }$, $z=0$. Kiểm tra: tại $t^{\prime }=1$ ta được $(-1;2;0)$ ✓, vectơ chỉ phương $(-6;-9)\parallel (2;3)$ ✓. Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ thuộc $d$: $M=(-1+2t;t;2+t)$. Vì $A$ là trung điểm $MN$ nên $N=2A-M=(3-2t;-2-t;2-t)$. Điều kiện $N\in (P)$: $(3-2t)+(-2-t)-2(2-t)+5=0\iff 2-t=0\iff t=2$. Suy ra $M=(3;2;4)$, $N=(-1;-4;0)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$: $\vec{u}=\overrightarrow{MN}=(-4;-6;-4)\parallel (2;3;2)$, vậy $a=3$, $b=2$ và $a+b=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 3 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d qua A(2;-3;1) và vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của (P): $\vec{u}=(2;-3;6)$. Phương trình tham số: $x=2+2t,y=-3-3t,z=1+6t$. Đây khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+1}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-6}$ có vecto chỉ phương là vecto có tọa độ tỉ lệ với mẫu số của phương trình, cụ thể $\vec{u}=(4;2;-6)$. Trong các đáp án, chỉ có ${\vec{u}}_1=(4;2;-6)$ thỏa mãn (các vecto khác không cùng tỉ lệ: $(2;-1;3)$ có thành phần thứ hai trái dấu, $(-2;1;3)$ và $(1;0;2)$ không cùng tỉ lệ với $(4;2;-6)$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ID có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{ID}=(5100;623;-50)$ (mét). Điểm $M$ là vị trí cuối cùng trên đoạn $ID$ còn nhận ánh sáng nên $MI=4000$ m (bán kính phủ sáng 4 km). Ta có $|\overrightarrow{ID}|=\sqrt{5100^2+623^2+50^2}=\sqrt{26400629}\approx 5138,156$ m. Suy ra $M=I+t\vec{u}$ với $t=\frac{4000}{5138,156}\approx 0,778502$. Cao độ của $M$: $z_M=50-50t=50(1-0,778502)\approx 11,07$ m, làm tròn đến hàng phần chục là $11,1$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):4x+3y-7z+1=0$ nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$: $\vec{u}=(4;3;-7)$. d đi qua $A(1;2;3)$ nên phương trình tham số: $x=1+4t,y=2+3t,z=3-7t$. Đây đúng là đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):\frac{x-3}{2}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{-6}$ có dạng chính tắc với mẫu số lần lượt là các thành phần của vecto chỉ phương. Vậy một vecto chỉ phương của $(d)$ là $\vec{u}=(2;7;-6)$. Đáp án D.