Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét đường thẳng $d:3x-4y+12=0$.

a) Tại giao với trục hoành, $y=0$: $3x+12=0\Rightarrow x=-4$, nên $d$ cắt trục hoành tại $(-4;0)$. Đúng.

b) Tại giao với trục tung, $x=0$: $-4y+12=0\Rightarrow y=3$, nên $d$ cắt trục tung tại $(0;3)$. Đúng.

c) Thay $O(0;0)$: $3\cdot 0-4\cdot 0+12=12>0$, nên $O$ thuộc miền nghiệm của $3x-4y+12>0$. Đúng.

d) Thay $P(2;5)$: $3\cdot 2-4\cdot 5+12=6-20+12=-2<0$, nên $P$ thuộc miền nghiệm của $3x-4y+12<0$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=0$: $3x+12=0\Rightarrow x=-4$, giao điểm là $(-4;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $-4y+12=0\Rightarrow y=3$, giao điểm là $(0;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3(0)-4(0)+12=12>0$ nên $O$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3(2)-4(5)+12=-2<0$ nên $P$ thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;4)$, $B(-4;2)$ có hệ số góc $k=\frac{2-4}{-4-1}=\frac{2}{5}$. Phương trình: $y-4=\frac{2}{5}(x-1)$. Giao với trục hoành: $y=0\Rightarrow \frac{2}{5}(x-1)=-4\Rightarrow x-1=-10\Rightarrow x=-9$. Vậy giao điểm là $(-9;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $(d):x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $(d^{\prime }):2x+y-11=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;1)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0$, suy ra hai vectơ pháp tuyến vuông góc, do đó góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;1)$ đến đường thẳng $3x+2y+17=0$ là $d=\frac{|3\cdot 3+2\cdot 1+17|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|9+2+17|}{\sqrt{13}}=\frac{28}{\sqrt{13}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng Δ đi qua hai điểm A(0; 5) và B(5; 20).

a) Hệ số góc của Δ là $k=\frac{20-5}{5-0}=3$. Đường thẳng đi qua A(0; 5) nên có phương trình: $y=3x+5$, hay phương trình tổng quát: $3x-y+5=0$.

b) Với $x=12$ (tháng), tổng chi phí là $y=3\cdot 12+5=41$ (trăm nghìn đồng), tức $41\cdot 100000=4100000$ đồng.

Vậy tổng chi phí lắp đặt và tiền cước sử dụng Internet trong 12 tháng đầu tiên là 4 100 000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I(2;-3)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-2)$ là vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $2(x-2)-2(y+3)=0\iff 2x-2y-10=0\iff x-y-5=0$. Kiểm tra: $I(2;-3)$ thỏa mãn $2-(-3)-5=0$; $A$ và $B$ cách đều mọi điểm trên đường thẳng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi) VTCP của ${\Delta }_1$ là ${\vec{u}}_1=(-2;-4)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là ${\vec{u}}_2=(3;1)$. Tính cos góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|{\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{u}}_1||{\vec{u}}_2|}=\frac{|(-2)(3)+(-4)(1)|}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{10}}=\frac{|-10|}{\sqrt{200}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\theta =45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(2;-1)$, d2 có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(-4;2)=-2(2;-1)$, nên hai VTCP cùng phương → d1, d2 song song hoặc trùng nhau. d1 đi qua $(1;-2)$; thay vào d2: $1=-1-4t^{\prime }\Rightarrow t^{\prime }=-\frac{1}{2}$, khi đó $y=3+2\left(-\frac{1}{2}\right)=2\ne -2$, nên $(1;-2)\notin d_2$. Vậy hai đường thẳng song song. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $\Delta :2x+y-1=0$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$ → đúng.
b) Thay $M(0;1)$: $2\cdot 0+1-1=0$ → $M$ thuộc $\Delta$ → đúng.
c) Đường thẳng qua $A(1;0)$ song song với $\Delta$ có dạng $2x+y+c=0$; thay $A$: $2+c=0\Rightarrow c=-2$, phương trình đúng là $2x+y-2=0$, không phải $2x+y+1=0$ → sai.
d) Bán kính đường tròn tiếp xúc với $\Delta$ là $R=d(I,\Delta )=\frac{|2\cdot 2+2-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, nên phương trình đường tròn là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=R^2=5$, không phải $=\sqrt{5}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ phương trình $2x+y-1=0$, một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thay $M(0;1)$ vào $2x+y-1$: $2\cdot 0+1-1=0$, nên $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đường thẳng song song với $\Delta$ qua $A(1;0)$: $2x+y+c=0$, thay $A$ được $c=-2$, phương trình đúng là $2x+y-2=0$, không phải $2x+y+1=0$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $R=d(I,\Delta )=\frac{|4+2-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ nên $R^2=5$; phương trình đúng là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=5$, không phải $=\sqrt{5}$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-2)$. Vì $d\perp \Delta$ nên $d$ nhận $\overrightarrow{n_{\Delta }}$ làm vectơ chỉ phương, tức vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(2;3)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A(1;-2)$ nên có phương trình: $2(x-1)+3(y+2)=0\iff 2x-2+3y+6=0\iff 2x+3y+4=0$. Kiểm tra: $A(1;-2)$: $2-6+4=0$ đúng; tích vô hướng pháp tuyến $(2;3)\cdot (3;-2)=6-6=0$ nên vuông góc. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
VTCT của AB: $\overrightarrow{AB}=(-2-1;1-4)=(-3;-3)$. Chọn $\vec{u}=(-1;-1)$ (hoặc $(1;1)$). Đường thẳng đi qua $A(1;4)$ nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=4-t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$. Phương trình tổng quát: từ $\vec{n}=(1;-1)$ (vuông góc với $\vec{u}$) ta có $1(x-1)-1(y-4)=0\iff x-y+3=0$. Kiểm tra: $B(-2;1)$: $-2-1+3=0$ ✓; $A(1;4)$: $1-4+3=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-2-t\\ y=-1+2t\end{array}$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2)$ (hệ số của $t$). Véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$ phải thỏa $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$. Kiểm tra $\vec{n}(-2;-1)$: $(-2)(-1)+(-1)(2)=2-2=0$, nên $\vec{n}(-2;-1)$ vuông góc với $\vec{u}$, là một véc tơ pháp tuyến của $d$. Các đáp án khác: $(2;-1)$: $-2-2=-4\ne 0$; $(-1;2)=\vec{u}$ là chỉ phương; $(1;2)$: $-1+4=3\ne 0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn hệ số góc: $m_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $m_2=-\frac{1}{2}$, $m_3=\frac{1}{2}$, $m_4=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Hai đường thẳng phân biệt song song khi cùng hệ số góc và khác hệ số tự do. Các cặp $d_1{d}_2$, $d_1{d}_3$, $d_2{d}_3$, $d_2{d}_4$, $d_3{d}_4$ đều có hệ số góc khác nhau nên không song song. Riêng $d_1$ và $d_4$ có cùng hệ số góc $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ và cùng hệ số tự do $-2$, tức $d_1\equiv d_4$ (trùng nhau), không tính là song song. Vậy số cặp song song là $0$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(1;-\sqrt{3})$ và $n_2=(1;\sqrt{3})$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|1\cdot 1+(-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{|1-3|}{4}=\frac{1}{2}$, suy ra $\phi =60^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-9;3)$, tỉ lệ với $(3;-1)$ hoặc $(-3;1)$. Kiểm tra từng phương trình: A có VTCP $(3;-1)$ và đi qua $A(3;-1)$ → đúng. B có VTCP $(3;1)$ không tỉ lệ với $(-9;3)$ → không phải phương trình của $AB$. C: $x=-3t,y=t$ đi qua gốc $O(0;0)$ với VTCP $(-3;1)$; đường thẳng $AB$ có phương trình $x+3y=0$ (vì qua $A$: $3+3(-1)=0$), và gốc $O$ thuộc đường này nên C đúng. D đi qua $B(-6;2)$ với VTCP $(-3;1)$ → đúng. Vậy phương trình không phải của đường thẳng $AB$ là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của M(1;2) lên Ox là A(1;0), lên Oy là B(0;2). Đường thẳng AB đi qua hai điểm này có dạng chặn: x/1 + y/2 = 1, nhân với 2 ta được 2x + y - 2 = 0. Kiểm tra: A(1;0): 2+0-2=0 đúng; B(0;2): 0+2-2=0 đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x−2y+1=0 có vectơ pháp tuyến n_Δ=(3;−2). Vì d⊥Δ nên d nhận vectơ chỉ phương của Δ làm pháp tuyến, tức n_d=(2;3). Phương trình d qua A(1;−2): 2(x−1)+3(y+2)=0 ⟺ 2x+3y+4=0. Kiểm tra: A(1;−2): 2−6+4=0 đúng; tích vô hướng (2;3)·(3;−2)=6−6=0 nên vuông góc. Vậy đáp án B.