Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $M(3;-4)$ đến trục hoành (trục $Ox$) bằng khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y=0$, tức là $d(M,Ox)=|y_M|=|-4|=4$. Vậy đáp án đúng là B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$. Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\phi =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(0;4), B(2;4), C(2;0): BC là đường thẳng đứng x=2, nên đường thẳng qua A vuông góc với BC là đường ngang y=4 (tức y-4=0), không phải y+4=0 → a sai. AB=(2;0), AC=(2;-4), tích vô hướng AB·AC=4≠0 nên tam giác không vuông tại A (thực tế tam giác vuông tại B vì AB·BC=0) → b sai. AC=(2-0;0-4)=(2;-4) → c đúng. Tam giác vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC: I=((0+2)/2;(4+0)/2)=(1;2) → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC có phương trình x=2 (đường thẳng đứng). Đường thẳng qua A(0;4) vuông góc với BC là đường ngang y=4, tức y-4=0, không phải y+4=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;0), AC=(2;-4), AB·AC=4≠0 nên góc A không vuông. Thực tế tam giác vuông tại B vì AB·BC=(2;0)·(0;-4)=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC=(2-0;0-4)=(2;-4).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền AC: I=(1;2).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường thẳng $d:4x+3y-5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=4$, $b=3$. Khi đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(4;3)$. Kiểm tra: $\vec{n}=(4;3)$ khác vectơ không và thỏa mãn định nghĩa pháp tuyến. Vậy đáp án D. Lưu ý: trong đề gốc, phương án A và C trùng nhau là $\overrightarrow{n_1}=(-4;3)$ (giữ nguyên như ảnh nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y=0$ có hệ số góc $k_1=2$ và $d_2:x+2y+1=0$ có hệ số góc $k_2=-\frac{1}{2}$. Vì $k_1\cdot k_2=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$ nên $d_1\perp d_2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1003: D).

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-9;3)\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=(3;-1)$.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng (d) là: $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-1)$ (hoặc hệ số góc $k_1=2$), và $d_2:x+2y+1=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-2;1)$ (hoặc hệ số góc $k_2=-\frac{1}{2}$). Xét tích có hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=2\cdot (-2)+(-1)\cdot 1=-4-1=-5\ne 0$... tuy nhiên xét theo hệ số góc: $k_1\cdot k_2=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$, suy ra $d_1\perp d_2$. Kiểm tra lại bằng vectơ pháp tuyến: $d_1$ có $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$, $d_2$ có $\overrightarrow{n_2}=(1;2)$, và $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$, do đó hai đường thẳng vuông góc. Vậy vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ là vuông góc, khớp với đáp án A trong bảng đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 1001: A).

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-9;3)\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=(3;-1)$.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng (d) là: $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ Δ₂: x−4y+3=0, một vectơ pháp tuyến là n₂=(1;−4), không phải (4;1). b) Đúng: n₁=(4;1), n₂=(1;−4), n₁·n₂=4−4=0 nên Δ₁⊥Δ₂, hai đường thẳng cắt nhau. c) Sai: vì Δ₁⊥Δ₂ nên góc giữa hai đường thẳng bằng 90°, không phải 45°. d) Đúng: bán kính R=d(A,Δ₁)=|4·1+4+9|/√(4²+1²)=17/√17=√17, nên đường tròn tâm A(1;4) có phương trình (x−1)²+(y−4)²=17.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ Δ₂: x−4y+3=0, vectơ pháp tuyến là n₂=(1;−4), không phải (4;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
n₁=(4;1), n₂=(1;−4), n₁·n₂=4·1+1·(−4)=0 nên Δ₁⊥Δ₂, do đó hai đường thẳng cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì n₁·n₂=0 nên Δ₁ vuông góc Δ₂, góc giữa hai đường thẳng bằng 90° chứ không phải 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=d(A,Δ₁)=|4·1+4+9|/√17=17/√17=√17, nên đường tròn tâm A(1;4) tiếp xúc Δ₁ có phương trình (x−1)²+(y−4)²=17.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-3$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-3)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-2t,y=2+3t$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2;3)$, hoặc bất kỳ vectơ nào cùng phương: $\vec{u}\cdot k$. Lấy $k=-1$ ta được $(2;-3)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-y-4=0$ và $d_2:-2x+2y+6=0$. Chia hai vế của $d_2$ cho $-2$ ta được $d_2:x-y-3=0$. Cả hai đường có cùng vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1={\vec{n}}_2=(1;-1)$ nên chúng song song hoặc trùng nhau. Vì các hệ số tự do khác nhau ($-4\ne -3$), hai đường không trùng nhau mà song song. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$, suy ra vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1)$. Đường thẳng vuông góc với $d$ phải có vectơ pháp tuyến cùng phương với $\vec{u}=(2;1)$, tức dạng $2x+y+c=0$. Xét đáp án C: $4x+2y+1=0$ có pháp tuyến $(4;2)=2(2;1)$, cùng phương với $(2;1)$, nên vuông góc với $d$. Kiểm tra: tích vô hướng $(1;-2)\cdot (4;2)=4-4=0$. Các đáp án khác: A có pháp tuyến $(1;2)$, tích $(1;-2)\cdot (1;2)=1-4=-3\ne 0$; B có pháp tuyến $(2;-1)$, tích $2+2=4\ne 0$; D có pháp tuyến $(-2;4)$ cùng phương với $(1;-2)$ nên song song với $d$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-2y+3=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2)$ và ${\Delta }_2:3x-y+7=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;-1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|1\cdot 3+(-2)(-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\phi =45^{\circ }$ (hoặc $\frac{\pi }{4}$ rad).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(3-2;1-3)=(1;-2)$, nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình đường thẳng AB: $2(x-2)+1(y-3)=0\iff 2x+y-7=0$. Kiểm tra: A(2;3): $4+3-7=0$; B(3;1): $6+1-7=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;-4)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-1=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+16-1|}{5}=\frac{24}{5}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao và trung tuyến kẻ từ A đều đi qua A, nên A là giao điểm của $7x-2y-3=0$ và $6x-y-4=0$. Từ phương trình thứ hai $y=6x-4$, thay vào: $7x-2(6x-4)-3=0\Rightarrow -5x+5=0\Rightarrow x=1$, $y=2$. Vậy $A(1;2)$. Vì $M(2;0)$ là trung điểm $AB$ nên $B=2M-A=(4-1;0-2)=(3;-2)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;2)$ và $B(3;-2)$ có hệ số góc $k=\frac{-2-2}{3-1}=-2$, phương trình $y=-2(x-1)+2=-2x+4$, tức $2x+y-4=0$. So sánh với $ax+by-4=0$ ta được $a=2,b=1$, do đó $S=(a+b{)}^2=3^2=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại góc trái dưới của mảnh đất, trục Ox dọc chiều dài 100m, trục Oy dọc chiều rộng 50m. Trụ điện M cách cạnh chiều rộng (trục Oy) 6m và cách cạnh chiều dài (trục Ox) 3m nên $M(6;3)$. Đường thẳng hẻm qua $M$ cắt trục Oy tại $B(0;b)$ và trục Ox tại $A(a;0)$ với $a>6,b>3$. Phần đất thu hồi là tam giác vuông $OAB$ có diện tích $S=\frac{ab}{2}$. Phương trình đường thẳng qua $M$: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, thay $M(6;3)$: $\frac{6}{a}+\frac{3}{b}=1$. Đặt $u=\frac{6}{a},v=\frac{3}{b}$ thì $u+v=1$, và $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{u}\cdot \frac{3}{v}=\frac{9}{uv}$. Theo AM-GM, $uv\le {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, dấu bằng khi $u=v=\frac{1}{2}$, tức $a=12,b=6$. Diện tích thu hồi nhỏ nhất $S_{\min }=\frac{12\cdot 6}{2}=36m^2$. Diện tích giữ lại lớn nhất $=100\cdot 50-36=5000-36=4964m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $H$ làm gốc, gọi $p$ là vectơ đơn vị chỉ phương $BC$, $q\perp p$. Khi đó $A=H+hq$, $D=H+dp$, $B=H-dp$, $C=H+cp$ với $h,d,c>0$ (dấu đã hấp thụ vào $q$).

**1) Điều kiện vuông tại $A$:** $(B-A)\cdot (C-A)=(-d,-h)\cdot (c,-h)=-cd+h^2=0\Rightarrow h^2=cd$.

**2) Hình chiếu $K$ của $C$ trên $AD$:** Phương trình $AD$ có vectơ chỉ phương $v=(d,-h)$. Tính toán cho
$$K-H=\alpha p+\beta q,\alpha =\frac{2d{h}^2}{d^2+h^2},\beta =\frac{h(d^2-h^2)}{d^2+h^2}.$$
Vì $CK\perp AD$ nên $|K-H{|}^2={\alpha }^2+{\beta }^2=h^2(d^2+h^2{)}^2/(d^2+h^2{)}^2=h^2$. Mặt khác $K-H=(14;2)$ nên $|K-H{|}^2=14^2+2^2=200\Rightarrow h^2=200$.

**3) Điều kiện trung điểm $M$ của $AC$ thuộc $x-y+10=0$:** Vì $H(-5;-5)$ cho $x-y+10=10$ tại $H$, điều kiện tương đương $(M-H{)}_x-(M-H{)}_y=-10$. Viết $p=(m,n)$, $q=(-n,m)$, từ $\alpha m-\beta n=14$, $\alpha n+\beta m=2$ suy ra $m-n=\frac{3\alpha +4\beta }{50}$, $m+n=\frac{4\alpha -3\beta }{50}$. Với $c=h^2/d$, $r=h/d$, điều kiện trở thành (sau khi rút gọn, dùng $h^2=cd$):
$$h^2(4r-3)=1000.$$
Kết hợp $h^2=200$: $200(4r-3)=1000\Rightarrow r=2$, suy ra $d=h/2$, $c=h^2/d=20\sqrt{2}$, với $h=10\sqrt{2}$, $d=5\sqrt{2}$.

**4) Tìm phương:** $\alpha =\frac{2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 200}{250}=8\sqrt{2}$, $\beta =\frac{10\sqrt{2}(50-200)}{250}=-6\sqrt{2}$. Suy ra $m=\frac{14\alpha +2\beta }{200}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $n=\frac{2\alpha -14\beta }{200}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy $p=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $q=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

**5) Tọa độ:**
$$A=H+hq=(-5;-5)+10\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(-15;5).$$
Kiểm tra: $D=H+dp=(0;0)$, $B=(-10;-10)$, $C=(15;15)$.
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(5;-15)\cdot (30;10)=150-150=0$: vuông tại $A$. ✓
- $\overrightarrow{AH}=(10;-10)\perp p=(1;1)$: $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. ✓
- $\overrightarrow{AK}=(24;-8)$ cùng phương $(3;-1)$ với $\overrightarrow{AD}=(15;-5)$, và $\overrightarrow{CK}=(-6;-18)\cdot (3;-1)=-18+18=0$: $K$ là hình chiếu của $C$ trên $AD$. ✓
- Trung điểm $AC$ là $(0;10)$: $0-10+10=0$. ✓

Vậy $A(-15;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác vuông tại $A$ và $A,B$ nằm trên trục hoành nên $AB$ nằm ngang, do đó $AC$ vuông góc với $AB$ nghĩa là $AC$ thẳng đứng, suy ra hoành độ của $C$ bằng hoành độ của $A$: $C=(a;y_0)$. Điểm $C$ thuộc đường thẳng $BC$: $4a-3y_0-12=0$ nên $y_0=(4a-12)/3=4(a-3)/3$. Điểm $B$ là giao của $BC$ với trục hoành: $4x-12=0$ nên $B=(3;0)$. Diện tích tam giác $ABC=(1/2)\cdot |AB|\cdot |AC|=(1/2)\cdot |a-3|\cdot |y_0|=24$, tức $|a-3|\cdot |4(a-3)/3|=48$, suy ra $(a-3{)}^2=36$, $a=9$ hoặc $a=-3$. Vì hoành độ $A$ dương nên $a=9$, khi đó $y_0=4\cdot 6/3=8$. Vậy $x_0^2+y_0^2=81+64=145$. Khớp với đáp án nguồn A.