Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AC$ đi qua $A(0;1)$ và $C(2;7)$ có hệ số góc $k_{AC}=\frac{7-1}{2-0}=3$, nên phương trình: $y=3x+1$. Đường thẳng $BD$ đi qua $B(1;3)$ và $D(0;3)$ có hệ số góc $k_{BD}=\frac{3-3}{1-0}=0$, nên phương trình: $y=3$. Giao điểm thỏa $3=3x+1\Rightarrow x=\frac{2}{3}$. Vậy giao điểm là $\left(\frac{2}{3};3\right)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình các đường cạnh của tam giác:
- Đường thẳng AB đi qua A(1;2), B(-3;-1): $\frac{y-2}{x-1}=\frac{-1-2}{-3-1}=\frac{3}{4}$, suy ra $AB:3x-4y+5=0$.
- Đường thẳng BC đi qua B(-3;-1), C(3;-4): hệ số góc $-\frac{1}{2}$, suy ra $BC:x+2y+5=0$.
- Đường thẳng CA đi qua C(3;-4), A(1;2): hệ số góc $-3$, suy ra $CA:3x+y-5=0$.

Lấy trọng tâm $G\left(\frac{1}{3};-1\right)$ thuộc miền trong tam giác để xác định dấu:
- $3x_G-4y_G+5=1+4+5=10>0$;
- $x_G+2y_G+5=\frac{1}{3}-2+5=\frac{10}{3}>0$;
- $3x_G+y_G-5=1-1-5=-5<0$.

Với $M\left(m;\frac{m-5}{3}\right)$ nằm bên trong tam giác $ABC$ (không kể biên) ta cần:
1) $3m-4\cdot \frac{m-5}{3}+5>0\iff \frac{9m-4m+20+15}{3}>0\iff 5m+35>0\iff m>-7$.
2) $m+2\cdot \frac{m-5}{3}+5>0\iff \frac{3m+2m-10+15}{3}>0\iff 5m+5>0\iff m>-1$.
3) $3m+\frac{m-5}{3}-5<0\iff \frac{9m+m-5-15}{3}<0\iff 10m-20<0\iff m<2$.

Kết hợp ba điều kiện: $-1<m<2$.

Kiểm tra: với $m=0$, $M(0;-\frac{5}{3})$: $\frac{35}{3}>0$, $\frac{5}{3}>0$, $-\frac{20}{3}<0$ — thỏa cả ba, nằm trong tam giác. Vậy $M$ nằm bên trong tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $m\in (-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình các đường biên: $AB:3x-4y+5=0$ ($C$ cho giá trị $30>0$); $BC:x+2y+5=0$ ($A$ cho $10>0$); $AC:3x+y-5=0$ ($B$ cho $-15<0$). Với $M\left(m;\frac{m-5}{3}\right)$:
- $3m-4\cdot \frac{m-5}{3}+5=\frac{5m+35}{3}>0\Rightarrow m>-7$.
- $m+2\cdot \frac{m-5}{3}+5=\frac{5m+5}{3}>0\Rightarrow m>-1$.
- $3m+\frac{m-5}{3}-5=\frac{10m-20}{3}<0\Rightarrow m<2$.
Kết hợp: $-1<m<2$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vật thể khởi hành từ A(2;4) với vận tốc v=(2;3). a) Đường thẳng chuyển động đi qua A có vectơ chỉ phương (2;3), vectơ pháp tuyến (3;-2), phương trình: 3(x-2)-2(y-4)=0 ⇔ 3x-2y+2=0. Đúng. b) Tốc độ |v|=√(2²+3²)=√13, quãng đường sau thời gian t là s=t√13. Với t=3, s=3√13; kể từ t=3 trở đi (t≥3) quãng đường đạt 3√13 và với t>3 vượt quá 3√13. Đúng. c) Vectơ u=(-2;-3) = -v nên cùng phương với v, là một vectơ chỉ phương của đường thẳng. Đúng. d) Phương trình tham số đúng phải là x=2+2t, y=4+3t (đi qua A(2;4)); hệ x=1+2t, y=2+3t đi qua (1;2) tại t=0, không đúng. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(2;4) với vectơ chỉ phương (2;3) có pháp tuyến (3;-2): 3(x-2)-2(y-4)=0 ⇔ 3x-2y+2=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ |v|=√13, quãng đường s=t√13; tại t=3 thì s=3√13, với t>3 quãng đường dài hơn 3√13.
c) (AI giải đề cho tôi)
u=(-2;-3)=-v cùng phương với v nên là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số đúng là x=2+2t, y=4+3t vì vật xuất phát từ A(2;4); hệ đã cho cho điểm (1;2) tại t=0, sai.

Phương trình đường thẳng $MN$ theo đoạn chắn là $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1⟺2x+y-2=0$. Thay tọa độ điểm $A\left(\frac{1}{2};1\right)$ vào phương trình đường thẳng $MN$: $2\cdot \frac{1}{2}+1-2=0$, điều này chứng tỏ $A\in MN$. Do đó đường thẳng đi qua $A$ và có cùng phương với $MN$ chính là đường thẳng $MN$ (trùng nhau), không thể song song với $MN$. Vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(4;-1)⟹$ vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;4)$. Phương trình: $1(x+1)+4(y-2)=0⟺x+4y-7=0$.

Tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$: $-5x-5=4x+4⟺9x=-9⟺x=-1⟹y=0$. Giao điểm là $M(-1;0)$. Để ba đường thẳng đồng quy thì $M\in d_3⟹0=a(-1)+3⟺a=3$.

Khoảng cách từ điểm $M(3;-4)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-4)-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+16-1|}{\sqrt{25}}=\frac{24}{5}$. Chọn B.

Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $d$ có phương trình $x-2y+c=0$. Vì qua $A(1;2)$ nên $1-4+c=0⟹c=3$, tức $x-2y+3=0$. Giao điểm của $2x+y+1=0$ và $x-2y+3=0$ là $(-1;1)$.

Phương trình đoạn chắn $AB:\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1⟺4x+3y-12=0$. Điểm $M(0;m)\in Oy$. Khoảng cách $d(M,AB)=\frac{|3m-12|}{5}$. Độ dài $AB=5$. Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot d(M,AB)=\frac{1}{2}|3m-12|=6⟺|3m-12|=12⟺3m=24$ hoặc $3m=0⟺m=8$ hoặc $m=0$. Vậy $M(0;0)$ hoặc $M(0;8)$.

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn đi qua $A(a;0)$ và $B(0;b)$ ($a,b\ne 0$) là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Điểm $A$ là giao điểm của đường trung tuyến $d_1$ và đường cao $d_2$:
$\{\begin{array}{l}x+y-7=0\\ 5x+3y-29=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}⟹A(4;3)$.
Vì $M(-2;1)$ là trung điểm của $AB$ nên: $B=2M-A=(-8;-1)$.
Đường thẳng $BC$ vuông góc với đường cao $d_2$ nên có VTPT là ${\vec{n}}_{BC}=(3;-5)$.
Phương trình $BC$ qua $B(-8;-1)$ là: $3(x+8)-5(y+1)=0⟺3x-5y+19=0$.
Gọi $N$ là trung điểm của $BC$, $N$ thuộc đường trung tuyến $d_1$:
$\{\begin{array}{l}3x-5y+19=0\\ x+y-7=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}⟹N(2;5)$.
Vì $N$ là trung điểm $BC$ nên: $C=2N-B=(12;11)$.
Đường thẳng $AC$ qua $A(4;3)$ và $C(12;11)$ có VTCP $\overrightarrow{AC}=(8;8)\parallel (1;1)$, suy ra VTPT là ${\vec{n}}_{AC}=(1;-1)$.
Phương trình đường thẳng $AC$: $1(x-4)-1(y-3)=0⟺x-y-1=0$.
Đối chiếu với dạng $ax+by-1=0$, ta có $a=1,b=-1$.
Khi đó: $T=a-2b=1-2(-1)=3$. Chọn A.

Đường thẳng $d$ cắt trục tung $Oy$ tại $B(0;3)\Rightarrow OB=3$.
Để $d$ cắt trục hoành $Ox$ tại điểm phân biệt $A$ thì $m\ne 0$, khi đó $A\left(-\frac{3}{m};0\right)\Rightarrow OA=\frac{3}{|m|}$.
Diện tích tam giác vuông $OAB$ là: $S_{OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{|m|}\cdot 3=\frac{9}{2|m|}$.
Theo giả thiết: $\frac{9}{2|m|}=\frac{9}{2}\iff |m|=1\iff m=\pm 1$.

Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-3;6)=-3(1;-2)$. Đường cao qua $A$ vuông góc với $BC$: $1(x-5)-2(y-3)=0\iff x-2y+1=0$.
$\overrightarrow{AC}=(-6;2)=-2(3;-1)$. Đường cao qua $B$ vuông góc với $AC$: $3(x-2)-1(y+1)=0\iff 3x-y-7=0$.
Tọa độ trực tâm $H(x;y)$ thỏa mãn hệ:
$\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ 3x-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}$.
Vậy $2x+y=2(3)+2=8$.

Chu vi tam giác $AMB$ là $AB+MA+MB$. Vì $AB$ không đổi, chu vi nhỏ nhất khi $MA+MB$ nhỏ nhất.
Vì $A(2;-3)$ và $B(3;-4)$ nằm cùng phía đối với trục hoành $Ox$, lấy điểm đối xứng của $A$ qua $Ox$ là $A^{\prime }(2;3)$.
Khi đó với mọi $M\in Ox$: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A^{\prime }B$ với trục $Ox$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A^{\prime }B$ là $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;-7)$, phương trình đường thẳng $A^{\prime }B$: $7(x-2)+(y-3)=0\iff 7x+y-17=0$.
Cho $y=0\Rightarrow 7x-17=0\iff x=\frac{17}{7}$. Vậy $M\left(\frac{17}{7};0\right)$.

Đồ thị đi qua $A(-2;1)$ và $B(1;-2)$ nên ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}-2a+b=1\\ a+b=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3a=3\\ b=-2-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-1\end{array}$.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 201: Chọn A.

Từ $3x+5y+2018=0⟺y=-\frac{3}{5}x-\frac{2018}{5}$, suy ra hệ số góc của $d$ là $k=-\frac{3}{5}\ne \frac{5}{3}$. Chọn đáp án B.

Gọi $M(2+2t;3+t)\in d$. Ta có $AM=5⟺(2+2t{)}^2+(2+t{)}^2=25⟺5t^2+12t-17=0⟺t=1$ hoặc $t=-\frac{17}{5}$. Vì $M$ có hoành độ âm nên $t=-\frac{17}{5}⟹M\left(-\frac{24}{5};-\frac{2}{5}\right)$. Chọn đáp án B.

Đường thẳng đi qua các điểm $(0;-1)$, $(-3;4)$ và $(3;-6)$, nên có phương trình $y=\frac{-5x}{3}-1$. Chọn đáp án A.