Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-\pi <x<-\frac{\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần tư III, do đó $\sin x<0$, $\cos x<0$, $\tan x>0$, $\cot x>0$.

Ta có:
$$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow {\cos }^{2}x=\frac{1}{1+\frac{9}{16}}=\frac{16}{25}$$
Vì $\cos x<0$ nên $\cos x=-\frac{4}{5}$.

$$\sin x=\tan x\cdot \cos x=\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{3}{5}$$

$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3}$$

Vậy: $\sin x=-\frac{3}{5}$, $\cos x=-\frac{4}{5}$, $\cot x=\frac{4}{3}$.

Kiểm tra: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ (đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A$ cho $\cos \alpha$ (với $\tan \alpha =10$ thì $\cos \alpha \ne 0$):
$$A=\frac{3\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{3\cdot 10+1}{10-1}=\frac{31}{9}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Áp dụng công thức biến đổi tổng:
$$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}$$
$$=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}.$$

Vậy $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\approx -0,65$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Do đó $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{24}{25}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-\sin 2x$.

a) Với $x=0$: $A=(\sin 0-\cos 0{)}^2=(0-1{)}^2=1$. Đúng.

b) $A=1-\sin 2x\ne 1+\sin 2x$ (trừ khi $\sin 2x=0$). Sai.

c) Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $A=1-\sin 2x\in [0;2]$. Đúng.

d) Nếu $\cos 2x=-1$ thì ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x=0$ nên $\sin 2x=0$, do đó $A=1\ne -2$; hơn nữa $A\ge 0$ nên không thể bằng $-2$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai (DSDS), khớp bảng đáp án mã đề 1102, câu 14.
a) Với $x=0$: $A=(\sin 0-\cos 0{)}^2=(0-1{)}^2=1$. Đúng, phù hợp đáp án DSDS của mã đề 1102.
b) $A={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-\sin 2x$, không phải $1+\sin 2x$. Sai.
c) Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $A=1-\sin 2x\in \left[0;2\right]$. Đúng.
d) Nếu $\cos 2x=-1$ thì $\sin 2x=0$ (do ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x=0$), nên $A=1-\sin 2x=1\ne -2$. Hơn nữa $A\ge 0$ nên không thể bằng $-2$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với điều kiện sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0, ta có: M = 2cos x − cos2x/cos x = (2cos²x − cos2x)/cos x = (2cos²x − (2cos²x − 1))/cos x = 1/cos x. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$, do đó $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Áp dụng công thức hiệu hai cos:
$$A=\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{-4+\sqrt{2}}{6}.$$

Suy ra $A=\frac{\sqrt{2}-4}{6}\approx \frac{1,414-4}{6}\approx -0,43\approx -0,4$ (làm tròn đến hàng phần chục).

Kết quả khớp với đáp án nguồn $-0,4$ (bảng đáp án, mã đề 1102, câu 22).

(AI giải đề cho tôi)
A = (sin x + cos x)^2 = sin^2 x + cos^2 x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x. a) Đúng. b) x = 0: A = (0+1)^2 = 1 ≠ 0, sai. c) Vì sin 2x ∈ [-1;1] nên A ∈ [0;2], không phải [-2;0], sai. d) cos 2x = 1 ⇒ sin 2x = 0 ⇒ A = 1, đúng. Khớp đáp án nguồn (mã 1101, câu 15: ĐSSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
A = sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2 x = 1 + sin 2x.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x = 0: A = (0 + 1)^2 = 1 ≠ 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
A = 1 + sin 2x với sin 2x ∈ [-1;1] nên A ∈ [0;2], không phải [-2;0].
d) (AI giải đề cho tôi)
cos 2x = 1 ⇒ sin 2x = 0 ⇒ A = 1 + 0 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Khi đó $A=\cos \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4+\sqrt{2}}{6}\approx -0,9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-0,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $M=\frac{\cos 2x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos x}$ với điều kiện $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$.

Quy đồng mẫu chung $\sin x\cos x$:
$$M=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos x}$$

Tử số là công thức cộng của cosin: $\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x=\cos (2x-x)=\cos x$.

Suy ra $M=\frac{\cos x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x}$.

Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vì $\pi <\beta <2\pi$ và $\cos \beta =-\frac{2}{3}<0$ nên $\beta$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \beta =-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{-2+2\sqrt{10}}{9}\approx \frac{-2+6,3249}{9}\approx 0,4805\approx 0,48.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vào lúc 3 rưỡi chiều (15h30), số giờ tính từ 5 giờ sáng là $t=15,5-5=10,5$. Thay vào công thức: $S(10,5)=80\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}\cdot 10,5\right)\right|=80\left|\cot \frac{7\pi }{8}\right|$. Vì $\frac{7\pi }{8}=\pi -\frac{\pi }{8}$ nên $\cot \frac{7\pi }{8}=-\cot \frac{\pi }{8}$. Ta có $\cot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\tan 22,5^{\circ }}=\sqrt{2}+1\approx 2,4142$. Vậy $S=80(\sqrt{2}+1)\approx 193,14\approx 193$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ và $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$ nên $\alpha =120^{\circ }$.
Suy ra ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$; ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{3/4}{1/4}=3$; $\cos (180^{\circ }-\alpha )=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
Do đó $P=18\cdot \frac{3}{4}+10\cdot 3+2025\cdot \frac{1}{2}=13,5+30+1012,5=1056$.

Đáp án: 1,24. Ta có $\sin a=\frac{3}{5}$, $0^{\circ }<a<90^{\circ }\Rightarrow \cos a=\frac{4}{5}$. $E=\sin 2a+\cos 2a=2\sin a\cos a+1-2{\sin }^{2}a=\frac{31}{25}=1,24$.

Đáp án: 1,24. Ta có $\sin a=\frac{3}{5}$, $0^{\circ }<a<90^{\circ }\Rightarrow \cos a=\frac{4}{5}$. $E=\sin 2a+\cos 2a=2\sin a\cos a+1-2{\sin }^{2}a=\frac{31}{25}=1,24$.

Hướng dẫn chấm:
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, $\alpha \in \left(90^{\circ };180^{\circ }\right)$ nên $\sin \alpha >0$. (0,25 điểm)
$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$. (0,25 điểm)
$P=\frac{\tan \alpha -4\cot \alpha +2}{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{-2\sqrt{2}-4.\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+2}{-2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{4-4\sqrt{2}}{9}$. (0,5 điểm)

Hướng dẫn chấm:
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, $\alpha \in \left(0^{\circ };90^{\circ }\right)$ nên $\sin \alpha >0$. (0,25 điểm)
$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$; $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\tan \alpha =2\sqrt{2}$. (0,25 điểm)
$P=\frac{\tan \alpha -4\cot \alpha +2}{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{2\sqrt{2}-4\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}+2}{2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{4+4\sqrt{2}}{9}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A$ cho ${\cos }^2\alpha \ne 0$ (vì $\alpha \ne 90^0$), ta được $A=\frac{2{\tan }^2\alpha -3\tan \alpha -3}{5{\tan }^2\alpha +2\tan \alpha -1}$. Thay $\tan \alpha =3$: tử $=2\cdot 9-3\cdot 3-3=18-9-3=6$; mẫu $=5\cdot 9+2\cdot 3-1=45+6-1=50$. Vậy $A=\frac{6}{50}=0,12$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,12.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^0<\alpha <180^0$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{49}}=-\sqrt{\frac{40}{49}}=-\frac{2\sqrt{10}}{7}\approx -0,9035\approx -0,9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4: -0,9).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A$ cho ${\cos }^2\alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =3$ xác định), được $A=\frac{2{\tan }^2\alpha -3\tan \alpha -3}{5{\tan }^2\alpha +2\tan \alpha -1}$. Thay $\tan \alpha =3$: tử $=2\cdot 9-3\cdot 3-3=18-9-3=6$; mẫu $=5\cdot 9+2\cdot 3-1=45+6-1=50$. Vậy $A=\frac{6}{50}=0,12$, khớp với đáp án nguồn (0,12).