Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai đường trong không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng, do đó chúng không thể có điểm chung (nếu có điểm chung thì chúng đồng phẳng). Vậy mệnh đề A đúng. B sai vì hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng phân biệt có thể cắt nhau hoặc song song. C và D sai vì hai đường thẳng (phân biệt) không có điểm chung có thể song song (đồng phẳng) chứ không nhất thiết chéo nhau. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $a\parallel b$ và $a\perp c$ thì $b\perp c$, nên khẳng định C đúng. Các khẳng định A, B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba trong không gian có thể chéo nhau, song song hoặc vuông góc; D sai vì $c\perp b$ chứ không $c\parallel b$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng (tính chất bắc cầu của tính song song trong không gian). B đúng (góc giữa hai đường thẳng được định nghĩa là góc không tù, trong khoảng $[0^{\circ };90^{\circ }]$). C sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ các cạnh của hình lập phương). D đúng (tính chất của hai đường thẳng song song). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Đúng/Sai) về hai đường thẳng trong không gian:
(a) Đúng — theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
(b) Sai — trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau (không cắt nhau), ví dụ $SA\perp BC$ với $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ thì $SA$ và $BC$ chéo nhau.
(c) Đúng — tính chất: nếu $a\parallel b$ và $c\perp a$ thì $c\perp b$.
(d) Sai — trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (không giống trong mặt phẳng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai, hai đường thẳng vuông góc có thể chéo nhau, ví dụ $SA\perp (ABC)$ thì $SA\perp BC$ nhưng $SA$ và $BC$ không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng, đây là tính chất của hai đường thẳng song song: đường thẳng vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường kia.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai, trong không gian hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: a) Trong tam giác SBD, M là trung điểm SB, N là trung điểm SD nên MN là đường trung bình, suy ra MN // BD → đúng. b) Vì MN // BD và BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) còn MN không nằm trong (ABCD), BD cắt AC tại tâm O của hình thoi nên MN không cắt AC và không song song AC → MN và AC chéo nhau → đúng. c) Đáy ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC ⊥ BD → đúng. d) Vì MN // BD và AC ⊥ BD nên (MN, AC) = (BD, AC) = 90° → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình của tam giác SBD nên MN // BD.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN // BD, BD cắt AC tại O, MN không thuộc (ABCD) nên MN và AC không cắt nhau và không song song, tức chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau nên AC ⊥ BD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì MN // BD và AC ⊥ BD nên góc giữa MN và AC bằng góc giữa BD và AC, bằng 90°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $SBD$: $M$ là trung điểm $SB$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $BD$. Đường trung bình $MO$ của tam giác $SBD$ nên $MO\parallel SD$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian:
- A đúng: định lý về ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt — ba giao tuyến hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
- B sai: trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng chưa chắc song song (ví dụ các đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đó, chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau).
- C đúng: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau (đường thẳng là pháp tuyến chung).
- D đúng: cho hai đường thẳng chéo nhau, tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện $ABCD$: hai đường thẳng $BC$ và $CA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và cắt nhau tại $C$ nên không chéo nhau (A sai). Hai đường thẳng $DA$ và $DB$ cùng nằm trong $(ABD)$, cắt nhau tại $D$ (C sai). Hai đường thẳng $BD$ và $AB$ cùng nằm trong $(ABD)$, cắt nhau tại $B$ (D sai). Hai đường thẳng $AD$ và $BC$: $AD$ nằm trong $(ABD)$ còn $BC$ nằm trong $(ABC)$; giả sử $AD$ và $BC$ đồng phẳng thì mặt phẳng chứa chúng chứa $A,D,B,C$, mâu thuẫn vì $A,B,C,D$ không đồng phẳng. Chúng không có điểm chung nên chéo nhau. Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai đường thẳng cho trước có thể chéo nhau, khi đó đường thẳng cắt cả hai không làm ba đường đồng phẳng. B sai vì '2 đường thẳng cắt nhau trước' nghĩa không rõ ràng, và nếu đường thẳng thứ ba cắt hai đường đó tại hai điểm trùng nhau (đi qua giao điểm) thì vẫn đúng, nhưng cách phát biểu không chặt chẽ như C. C đúng: nếu đường thẳng $d$ cắt hai đường thẳng $a,b$ tại hai điểm phân biệt $M\ne N$, thì $M\in a$, $N\in b$, và $a,b$ cắt nhau tại giao điểm $I$ (vì $d$ cắt cả hai nên $a,b$ không chéo nhau, không song song). Ba điểm $M,N,I$ không thẳng hàng nên xác định một mặt phẳng $(\alpha )$; khi đó $a,b,d$ đều nằm trong $(\alpha )$, tức ba đường thẳng đồng phẳng. D sai vì ba đường thẳng trong đó có hai đường chéo nhau thì không thể đồng phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một có thể tạo thành tam giác (ba giao điểm phân biệt), khi đó chúng không đồng quy.
- B sai: Nếu ba đường thẳng đồng quy tại một điểm chung thì chúng có thể không đồng phẳng, ví dụ ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ xuất phát từ đỉnh $S$ của một hình chóp.
- C đúng: Nếu ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì ba giao điểm không thể phân biệt (vì nếu ba giao điểm phân biệt thì ba đường thẳng đồng phẳng theo định lý). Vậy ba đường thẳng phải cùng đi qua một giao điểm duy nhất, tức đồng quy.
- D sai: Ba đường thẳng đồng quy chưa chắc đồng phẳng, ví dụ ba cạnh $SA$, $SB$, $SC$ của một góc tam diện (xuất phát từ đỉnh $S$ của hình chóp) không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng theo tính chất bắc cầu của quan hệ song song trong không gian. B đúng: hai đường thẳng song song luôn đồng phẳng và mặt phẳng đó duy nhất. C sai: ba đường thẳng đôi một cắt nhau có thể đồng quy tại một điểm chung (ví dụ ba cạnh của một hình chóp xuất phát từ đỉnh), khi đó chúng không đồng phẳng. D đúng: trong mặt phẳng chứa $a$, $b$, $c$, do $a\parallel b$ và $c$ cắt $b$ nên $c$ không song song với $a$, mà $c$ và $a$ nằm trong cùng mặt phẳng nên chúng cắt nhau. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $p\subset (P)$ và $q\subset (Q)$ với $(P)\cap (Q)=\Delta$ có thể có nhiều vị trí tương đối: nếu $p$ và $q$ cùng cắt $\Delta$ tại một điểm chung thì chúng cắt nhau; nếu $p\parallel \Delta$ và $q\parallel \Delta$ (với $p\ne q$) thì chúng song song; nếu $p$ cắt $\Delta$ tại một điểm không nằm trên $q$ thì chúng chéo nhau. Vậy cả ba khả năng cắt nhau, chéo nhau, song song đều có thể xảy ra, do đó không mệnh đề A, B, C nào luôn đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng cặp: $SO$ và $AD$: $SO\subset (SBD)$, $SO\cap (ABCD)=O$ mà $O\notin AD$ (vì $ABCD$ tứ giác tùy ý, $O$ là giao $AC$ và $BD$), nên $SO$ và $AD$ chéo nhau. $SA$ và $BC$: $SA\subset (SAB)$, $SA\cap (ABCD)=A\notin BC$ nên chéo nhau. $MN$ và $SC$: $M\in SD$, $N\in SB$ nên $MN\subset (SBD)$, còn $SC$ chỉ gặp mặt phẳng $(SBD)$ tại $S\notin MN$ (vì $M,N$ khác $S$), nên chéo nhau. $MN$ và $SO$: cả hai đều nằm trong mặt phẳng $(SBD)$ (vì $M\in SD,N\in SB,O\in BD$). Trong tam giác $SBD$, đường thẳng $MN$ nối hai điểm trên $SD$, $SB$ với $\frac{SM}{SD}=\frac{1}{2}$ và $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$, vì hai tỉ số khác nhau nên $MN$ không song song với $BD$, do đó $MN$ cắt $SO$ (cùng thuộc $(SBD)$ và không song song). Vậy cặp cắt nhau là $MN$ và $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\parallel CD$. Do đó $MN\parallel CD$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $IM$ là đường trung bình, suy ra $IM\parallel AC$... đúng hơn: $IM$ là trung tuyến, và vì $I$ trọng tâm nên $I$ nằm trên trung tuyến từ $C$, do đó $IM\parallel C{C}^{\prime }$... Trình bày chuẩn: Trong tam giác $ABC$, gọi $M$ trung điểm $AB$, khi đó $C,I,M$ thẳng hàng (trung tuyến). Trong tam giác $ABD$, $J$ thuộc trung tuyến từ $D$ nên $D,J,M$ thẳng hàng. Xét tam giác $MCD$: $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $MI=\frac{1}{3}MC$; $J$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $MJ=\frac{1}{3}MD$. Suy ra $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$, theo định lí Thales (đảo) ta có $IJ\parallel CD$ (với $I,J$ nằm trong tam giác $MCD$, $IJ$ không cắt $CD$). Vậy $IJ\parallel CD$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I$, $J$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $DC\parallel IJ$. Trong tam giác $SCD$, $E$, $F$ là trung điểm $SC$, $SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel DC\parallel IJ$. Vậy $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ chỉ song song với $BC$).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel DC$. Trong tam giác $SCD$, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel DC\parallel IJ$. Vậy $EF$, $DC$, $AB$ đều song song với $IJ$; chỉ có $AD$ không song song với $IJ$ (vì $AD$ chỉ song song với $BC$, không song song với $AB$).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$ là $I=\frac{A+B+C}{3}$, trọng tâm tam giác $ABD$ là $J=\frac{A+B+D}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\vec{J}-\vec{I}=\frac{\vec{D}-\vec{C}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$. Vậy $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{3}CD$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường: $G$ là trung điểm của $AC$ và cũng là trung điểm của $BD$. Tương tự, vì $ABEF$ là hình bình hành nên $H$ là trung điểm của $BF$ và cũng là trung điểm của $AE$.

Xét tam giác $DBF$: $G$ là trung điểm $BD$, $H$ là trung điểm $BF$, theo định lí đường trung bình ta có $$GH\parallel DF,GH=\frac{1}{2}DF.$$

Xét tam giác $ACE$: $G$ là trung điểm $AC$, $H$ là trung điểm $AE$, theo định lí đường trung bình ta có $$GH\parallel CE,GH=\frac{1}{2}CE.$$

Từ đó $CE\parallel GH$ và $DF\parallel GH$, mà qua điểm $G$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $GH$, suy ra $CE\parallel DF$. Vậy ba đường thẳng $GH$, $CE$, $DF$ đôi một song song. (Điều kiện tồn tại: các tam giác $DBF$ và $ACE$ đều không suy biến vì hai hình bình hành không cùng nằm trong một mặt phẳng.)