Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(2)=2+1=3$. Với $x>2$: $\frac{2x^2-5x+2}{x-2}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x-2}=2x-1$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=2\cdot 2-1=3$. Với $x\le 2$: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=2+1=3$. Vì $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=3$ nên hàm số liên tục tại $x_0=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+m)=m$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=1$; và $f(0)=0^2+0+1=1$. Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ thì $m=1$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 6789, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng giá trị tại điểm đó. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+2m)=2m$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=1=f(0)$. Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ thì $2m=1\iff m=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+m)=m$ và ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=0^2+0+1=1=f(0)$. Để hàm số liên tục tại $x_0=0$ thì $m=1$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án đã cho (mã đề 2345, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng giá trị tại điểm đó. Ta có: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(x+2m)=2m$; ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+x+1)=1$; và $f(0)=1$. Điều kiện liên tục: $2m=1\iff m=\frac{1}{2}$. Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 0123).

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo định nghĩa, f(3)=-1 nên đúng. b) Với x≠3: f(x)=((x-2)(x-3))/((x-3)(x-4))=(x-2)/(x-4), do đó lim_{x→3} f(x)=(3-2)/(3-4)=-1 nên đúng. c) Vì lim_{x→3} f(x)=-1=f(3) nên f liên tục tại x=3, đúng. d) f(x) không xác định tại x=4 (mẫu số bằng 0) nên không liên tục trên ℝ, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, f(3)=-1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x≠3, f(x)=((x-2)(x-3))/((x-3)(x-4))=(x-2)/(x-4), nên lim_{x→3} f(x)=(3-2)/(3-4)=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì lim_{x→3} f(x)=-1=f(3) nên f liên tục tại x=3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=4 mẫu số bằng 0 nên f không xác định, do đó không liên tục trên ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ nên giới hạn trái bằng giới hạn phải và bằng $f(1)$.
Ta có $f(1)=a+b-4$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2a-2b$.
Suy ra $a+b-4=2a-2b\Rightarrow a-3b=-4$.
Vậy $P=a-3b=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính liên tục tại $x_0$ bằng cách so sánh ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ với $f(x_0)$.

a) Với $x\ne 5$: $f(x)=\frac{x^2-25}{x-5}=x+5$, nên ${\lim }_{x\to 5}f(x)=10$. Mà $f(5)=9\ne 10$, suy ra hàm số gián đoạn tại $x_0=5$.

b) Nhân liên hợp: $\frac{1-\sqrt{2x-3}}{2-x}=\frac{1-(2x-3)}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\frac{4-2x}{(2-x)(1+\sqrt{2x-3})}=\frac{2}{1+\sqrt{2x-3}}$. Vậy ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\frac{2}{1+1}=1=f(2)$, hàm số liên tục tại $x_0=2$.

c) Đặt $t=\sqrt[3]{3x+2}$, khi $x\to 2$ thì $t\to 2$; từ $t^3=3x+2$ suy ra $t^3-8=3(x-2)$, tức $x-2=\frac{t^3-8}{3}$. Do đó ${\lim }_{x\to 2}f(x)={\lim }_{t\to 2}\frac{t-2}{\frac{t^3-8}{3}}={\lim }_{t\to 2}\frac{3(t-2)}{(t-2)(t^2+2t+4)}={\lim }_{t\to 2}\frac{3}{t^2+2t+4}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$. Mà $f(2)=\frac{3}{4}\ne \frac{1}{4}$, hàm số gián đoạn tại $x_0=2$.

d) $f(-1)=(-1{)}^4+(-1{)}^2-1=1$. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}(x^4+x^2-1)=1$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}f(x)={\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}(3x+2)=3(-1)+2=-1$. Vì $1\ne -1$, hai giới hạn một bên không bằng nhau nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại, suy ra hàm số gián đoạn tại $x_0=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 120.

a) $f(x)=\frac{x}{x^2+5x+6}=\frac{x}{(x+2)(x+3)}$. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{-2;-3\}$. Trên $D$, mẫu khác 0 nên $f$ là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục tại mọi điểm của $D$. Vậy $f$ liên tục trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3;-2\}$.

b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Trên $(-\infty ;1)$, $f(x)=1+x^2$ là hàm đa thức nên liên tục; trên $[1;+\infty )$, $f(x)=4-x$ là hàm đa thức nên liên tục. Chỉ cần xét tại $x=1$:
- ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(1+x^2)=2$.
- ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(4-x)=3$.
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên $f$ gián đoạn tại $x=1$.
Kết luận: $f$ liên tục trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, gián đoạn tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: D = ℝ (vì với x ≠ 3 hàm đã cho, còn tại x = 3 có f(3) = 4).

Với x ≠ 3: f(x) = (x² − 2x − 3)/(x − 3) = ((x − 3)(x + 1))/(x − 3) = x + 1, là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng không chứa 3, tức liên tục tại mọi x ≠ 3.

Xét tại x = 3:
$$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3}{\lim }(x+1)=4=f(3).$$
Vậy f liên tục tại x = 3.

Kết luận: hàm số liên tục trên toàn tập xác định D = ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty ,1]$ và $(1,+\infty )$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=1$.

Giới hạn bên trái: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x+a)=2+a$.

Giới hạn bên phải: với $x>1$ ta có
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x^2+2)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x^2+2)=3.$$

Hàm liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $f(1)=2+a=3$, suy ra $a=1$.

Vậy $a=1$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x^3-x}=\frac{2x-1}{x(x-1)(x+1)}$ xác định khi $x\ne -1,0,1$. Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên mọi điểm trong tập xác định của nó. Xét các đáp án: tại $x=-1$, $x=0$, $x=1$ hàm số không xác định nên không liên tục tại các điểm đó. Tại $x=\frac{1}{2}$, hàm số xác định vì $\frac{1}{2}\ne -1,0,1$ và $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{0}{\frac{1}{8}-\frac{1}{2}}=0$, hàm liên tục tại đó. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$, nhân liên hợp: $\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{\sqrt{x+2}-2}=\sqrt{x+2}+2$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4=f(2)$, nên hàm số liên tục tại $x=2$ (A đúng, B sai, D sai vì giới hạn bằng 4 chứ không phải 2). Với C: $f(4)=\frac{2}{\sqrt{6}-2}\ne 2$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$. Với $x\ne 1$: $\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1+1+1=3$. Để liên tục tại $x=1$ cần $f(1)=3$, tức $2m+1=3\iff m=1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng giá trị tại điểm đó. Ta có $f(-1)=(-1{)}^2+3(-1)+2=1-3+2=0$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}(4x+a)=-4+a$. Để liên tục: $-4+a=0\Rightarrow a=4$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$. Với $x\ne 1$: $x^3-x^2+2x-2=x^2(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^2+2)$, nên $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+2)=3$. Mặt khác $f(1)=3+m$. Điều kiện liên tục: $3+m=3\Rightarrow m=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$: $a+(1-1)\cdot 14000=15000\Rightarrow a=15000$. Tại $x=20$: $b+(20-20)\cdot 12000=a+19\cdot 14000=15000+266000=281000\Rightarrow b=281000$. Vậy $\frac{b}{a}=\frac{281000}{15000}\approx 18,\mathrm{733...}\approx 18,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$: $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-3}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}=x-1$. Suy ra $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=3-1=2$. Hàm số liên tục tại $x=3$ khi và chỉ khi $f(3)=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$, tức $m=2$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=3$ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=3m-3$. Với $x\ne 3$: $\frac{3x^2-27}{2x^2+4x-30}=\frac{3(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+5)}=\frac{3(x+3)}{2(x+5)}$. Suy ra $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\frac{3\cdot 6}{2\cdot 8}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$. Do đó $3m-3=\frac{9}{8}\Rightarrow 3m=\frac{33}{8}\Rightarrow m=\frac{11}{8}$. Đáp án C.