Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{8\cos x-5}{\sin x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 1101, câu 7 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) và các nhánh đi xuống, đi qua điểm $(\frac{\pi }{4};1)$. Hàm số $y=\cot x$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$, nghịch biến trên từng khoảng, $\cot \frac{\pi }{4}=1$, nên khớp với đồ thị. Trong khi $y=\tan x$ có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ và đi qua gốc tọa độ; $y=\sin x$, $y=\cos x$ là đồ thị sóng liên tục, không có tiệm cận đứng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ đạt giá trị lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow t=12k-2,k\in \mathbb{Z}$. Với $k=1$ ta được thời gian dương nhỏ nhất $t=10$ (h). Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\tan x+1}{1-{\cos }^{2}x}$ xác định khi: (1) $\tan x$ xác định, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$; (2) mẫu số khác 0: $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Kết hợp hai điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ và $x\ne k\pi$, tức $x\ne k\frac{\pi }{2}$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 15: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$, nên $y^{\prime }=\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)>0\iff x+\frac{\pi }{4}\in (2k\pi ;\pi +2k\pi )$. Với $k=0$: $x\in \left(-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\right)$, trùng với đáp án A trong bảng đáp án (Mã đề 1101, Câu 16: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 123: Xét tính chẵn lẻ.

a) $y=2\cos 3x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Với mọi $x$: $y(-x)=2\cos (-3x)=2\cos 3x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

b) $y=x+\sin x$, $D=\mathbb{R}$. Ta có $y(-x)=-x+\sin (-x)=-x-\sin x=-(x+\sin x)=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

c) $y=x\cot x+\cos x$. Tập xác định $D=\{x\in \mathbb{R}:\sin x\ne 0\}$, đối xứng qua gốc toạ độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)=(-x)\cot (-x)+\cos (-x)=(-x)(-\cot x)+\cos x=x\cot x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

d) $y=x^2+\tan |x|$. Tập xác định $D=\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, đối xứng qua gốc toạ độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)=(-x{)}^2+\tan |-x|=x^2+\tan |x|=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 124: Xét tính chẵn lẻ.

a) $y=2x\sin x$. Tập xác định $D=\mathbb{R}$ đối xứng. Với mọi $x$: $y(-x)=2(-x)\sin (-x)=(-2x)(-\sin x)=2x\sin x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

b) $y=\cos x+\sin 2x$, $D=\mathbb{R}$. $y(-x)=\cos (-x)+\sin (-2x)=\cos x-\sin 2x$. Ta có $y(-x)\ne y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$) và $y(-x)\ne -y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{2}$: $y(\frac{\pi }{2})=0$, $y(-\frac{\pi }{2})=0\ne 0$? kiểm tra: $y(\frac{\pi }{2})=\cos \frac{\pi }{2}+\sin \pi =0$, $y(-\frac{\pi }{2})=0$, nên $y(-x)=y(x)$ tại điểm đó; nhưng tại $x=\frac{\pi }{4}$: $y(\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}+1\ne y(-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$, và $-y(\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\ne y(-\frac{\pi }{4})$). Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

c) $y=\frac{\cos 2x}{x}$, $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng. $y(-x)=\frac{\cos (-2x)}{-x}=\frac{\cos 2x}{-x}=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

d) $y={\tan }^{7}2x\cdot \sin 5x$, $D=\{x:\cos 2x\ne 0\}$ đối xứng qua gốc toạ độ. $\tan (-2x)=-\tan 2x$ nên ${\tan }^7(-2x)=-{\tan }^{7}2x$; $\sin (-5x)=-\sin 5x$. Do đó $y(-x)=(-{\tan }^{7}2x)(-\sin 5x)={\tan }^{7}2x\sin 5x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 125: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì.

a) $y=1-\sin 5x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Ta có $\sin 5x$ tuần hoàn với chu kì $T_0=\frac{2\pi }{5}$, nên với mọi $x$:
$$f\left(x+\frac{2\pi }{5}\right)=1-\sin \left(5x+2\pi \right)=1-\sin 5x=f(x).$$
Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$ (là chu kì nhỏ nhất vì $\sin 5x$ có chu kì nhỏ nhất $\frac{2\pi }{5}$).

b) $y={\cos }^{2}x-1$. Dùng công thức hạ bậc:
$$y={\cos }^{2}x-1=\frac{1+\cos 2x}{2}-1=\frac{\cos 2x-1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}.$$
Vì $\cos 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$, hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$ (chu kì nhỏ nhất, do $\cos 2x$ có chu kì nhỏ nhất $\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 127: Tìm tập xác định.

a) $y=\cos x+\sin x$: cả $\sin x$ và $\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.

b) $y=\frac{1+\tan x}{\sin x}$: cần $\tan x$ xác định tức $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, và mẫu $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$ (loại cả $x=k\pi$ và $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$).

c) $y=\cot \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$: hàm $\cot u$ xác định khi $\sin u\ne 0$, tức $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

d) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$: cần $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$. Xét từng hàm:
- A: $f(-x)=\cos (-x+\frac{\pi }{3})=\cos (x-\frac{\pi }{3})\ne \cos (x+\frac{\pi }{3})$ nói chung, không chẵn.
- B: $f(-x)=|\sin (-x)|=|\sin x|=f(x)$, hàm chẵn.
- C: $f(-x)=1-\sin (-x)=1+\sin x\ne f(x)$, không chẵn.
- D: $f(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x\ne f(x)$, không chẵn.
Vậy hàm chẵn là $y=|\sin x|$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $D=\mathbb{R}$ vì $2\cos x-3\le -1<0$ với mọi $x$. Ta có $f(-x)=\frac{\sin (-2x)}{2\cos (-x)-3}=\frac{-\sin 2x}{2\cos x-3}=-f(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: $y=\sin 2x$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ (tuần hoàn với chu kỳ $\pi$). $y=\cos x$ có chu kỳ $T=2\pi$ (không thỏa). $y=\tan x$ và $y=\cot x$ đều có chu kỳ $T=\pi$ (thỏa). Vậy có 3 hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm với tính chất $f(x+k\pi )=f(x)$, $\forall x\in \mathbb{R}$, $k\in \mathbb{Z}$ (tức hàm tuần hoàn với chu kỳ $\pi$):
- $y=\tan x$: $\tan (x+k\pi )=\tan x$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, thỏa mãn.
- $y=\sin 2x$: $\sin 2(x+k\pi )=\sin (2x+2k\pi )=\sin 2x$, thỏa mãn.
- $y=\sin x$: $\sin (x+k\pi )=(-1{)}^k\sin x$, không luôn bằng $\sin x$ (ví dụ $k=1$), không thỏa mãn.
- $y=\cot x$: $\cot (x+k\pi )=\cot x$, thỏa mãn.
Vậy có 3 hàm số thỏa mãn, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ cơ bản của $y=\cos bx$, $y=\tan bx$, $y=\cot bx$ lần lượt là $\frac{2\pi }{|b|}$, $\frac{\pi }{|b|}$, $\frac{\pi }{|b|}$. Xét từng hàm: (1) $y=\cos 2x$ có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ → tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. (2) $y=\sin x$ có chu kỳ $T=2\pi \ne \pi$. (3) $y=\tan 2x$ có chu kỳ $T=\frac{\pi }{2}\ne \pi$. (4) $y=\cot 4x$ có chu kỳ $T=\frac{\pi }{4}\ne \pi$. Vậy chỉ có 1 hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $\cos x>0$, xảy ra trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right)$ thì $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Do đó đáp án là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A) $y=\tan x$ có $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số đồng biến, không nghịch biến → khẳng định A sai. B) Trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, $\cos x$ tăng từ $0$ đến $1$ (vì $y^{\prime }=-\sin x>0$ khi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$) → đúng. C) Trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, $y^{\prime }=\cos x>0$ nên $y=\sin x$ đồng biến → đúng. D) $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên nghịch biến → đúng. Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì $y=\cot x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ do $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$. B sai vì $y=\sin x$ nghịch biến trên $(\pi ;\frac{3\pi }{2})$ nhưng đồng biến trên $(\frac{3\pi }{2};2\pi )$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(\pi ;2\pi )$. C sai vì $y^{\prime }=-\sin x$ đổi dấu trên $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ (âm khi $x>0$, dương khi $x<0$), nên hàm không đơn điệu trên khoảng này. D đúng vì $y^{\prime }=\cos x>0$ với mọi $x\in (\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2})$, vậy $y=\sin x$ đồng biến trên khoảng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{4}\right)$ thì $2x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Trên khoảng này, $\sin 2x$ đồng biến nên $y=-\sin 2x$ nghịch biến; $\cos 2x$ nghịch biến nên $y=-1+\cos 2x$ đồng biến. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét trên khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$: $y=\sin x$ đồng biến (đạo hàm $\cos x>0$); $y=\cos x$ nghịch biến vì $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in (0;\frac{\pi }{2})$; $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định; $y=-\cot x$ đồng biến vì $y^{\prime }=\frac{1}{{\sin }^{2}x}>0$. Vậy hàm nghịch biến trên $(0;\frac{\pi }{2})$ là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$: hàm $y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ nên đồng biến trên khoảng đã cho. Hàm $y=\cos x$ nghịch biến trên $(0;\pi )$ và đồng biến trên $(-\pi ;0)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng (khoảng chứa điểm 0). Hàm $y=\cot 2x$ nghịch biến trên mọi khoảng xác định. Hàm $y=\cos 2x$: với $x\in \left(-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right)$ thì $2x\in \left(-\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right)$ chứa điểm $0$ nơi cos đổi chiều biến thiên, nên không đồng biến. Vậy đáp án là C.