Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$. a) Sai: tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. b) Đúng: vì cơ số $0,5\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. c) Đúng: $y=0\iff {\log }_{0,5}x=0\iff x=1$, nên đồ thị cắt trục hoành tại $A(1;0)$. d) Đúng: với $x=\frac{1}{2}$, $y={\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$, nên đồ thị đi qua điểm $N\left(\frac{1}{2};1\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $0,5\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}x=0\iff x=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $A(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$ nên đồ thị đi qua $N\left(\frac{1}{2};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên toàn tập xác định của nó:
- $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì cơ số $\frac{1}{2}<1$.
- $y={\left(\frac{\pi }{4}\right)}^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì $0<\frac{\pi }{4}<1$.
- $y={\log }_{2026}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tập xác định không phải $\mathbb{R}$).
- $y={\left(\frac{e}{2}\right)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì $\frac{e}{2}>1$ và tập xác định là $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án (mã đề 0101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$. Xét từng đáp án: A có $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}>1$ nên đồng biến; B có $\frac{2022}{2023}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; C có $1,25>1$ nên đồng biến; D có $e>1$ nên đồng biến. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3^x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ (B đúng), tập giá trị $(0;+\infty )$ (C đúng), đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $3>1$ (D đúng). Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục $Ox$ và không cắt trục $Ox$ (vì $3^x>0$ với mọi $x$), nên mệnh đề A là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{a}=a^{1/2}$ nên ${\log }_{\sqrt{a}}a={\log }_{a^{1/2}}a=\frac{1}{1/2}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A. $y=3^{-x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $3>1$ nhưng số mũ $-x$ có hệ số âm. B. $y={\log }_{3}x$ đồng biến nhưng chỉ trên $(0;+\infty )$, không phải trên $\mathbb{R}$. C. $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}=3^x$, hàm số mũ với cơ số $3>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_8(a^6)=\frac{{\log }_2(a^6)}{{\log }_{2}8}=\frac{6{\log }_{2}a}{3}=2{\log }_{2}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên toàn tập $\mathbb{R}$ phải là hàm số mũ với cơ số $0<a<1$. Các đáp án A, D là hàm logarit (tập xác định $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$). C: $y=e^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. B: $y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ có cơ số $\frac{4}{5}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{6-x}$ xác định khi $\frac{1}{6-x}>0$, tức $6-x>0\iff x<6$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;6)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi cơ số $a>1$. Xét các phương án: A có $\frac{1}{\pi }<1$ (nghịch biến); B có $\frac{2}{3}<1$ (nghịch biến); C có $\sqrt{3}>1$ (đồng biến); D có $0,5<1$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định là $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\ln x$, thay $x=1$ ta được $y=\ln 1=0$, nên đồ thị đi qua điểm $(1;0)$. Các điểm khác: $\ln 2\ne e^2$, $\ln (2e)=1+\ln 2\ne 2$, và $x=0$ không thuộc tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}$ với $a>0$, $b>0$, $b\ne 1$. Các phương án A, B, C sai vì $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, không phải $\ln (a+b)$; $\ln a\cdot \ln b$ không bằng $\ln (a+b)$; và $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$, không phải $\ln (a-b)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a^5}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^5}=\frac{{\log }_{a}b}{5}=\frac{1}{5}{\log }_{a}b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_3\left(\frac{3}{a}\right)={\log }_{3}3-{\log }_{3}a=1-{\log }_{3}a$ với $a>0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2026}(3-x)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $3-x>0\iff x<3$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;3)$, trùng với phương án C. Kết quả này cũng khớp với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_3(27a)-{\log }_{3}a={\log }_{3}27+{\log }_{3}a-{\log }_{3}a={\log }_3{3}^3=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C, mã đề 211).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2026}(3-x)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $3-x>0\iff x<3$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;3)$, trùng với đáp án A (khớp với đáp án nguồn: câu 4, mã đề 211 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, logarit tự nhiên của số dương $x$ là $\ln x$ (logarit cơ số $e$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a\sqrt[4]{a}={\log }_a{a}^{1/4}=\frac{1}{4}=\frac{m}{n}$ với $m=1,n=4$. Vậy $m+n=1+4=5$.