Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(2;2)$ và cắt trục tung tại $y=1$, hàm đồng biến. Với $y=(\sqrt{2}{)}^x$: $y(0)=1$, $y(2)=(\sqrt{2}{)}^2=2$, đồng biến vì cơ số $\sqrt{2}>1$ → thỏa mãn. $y=x$ không đi qua $(0;1)$; $y=(\sqrt{2}{)}^{-x}$ nghịch biến; $y=2^x$ cho $y(2)=4\ne 2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(1;1)$. Xét $y={\log }_2(x+1)$: tập xác định $x>-1$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$; tại $x=1$ ta có $y={\log }_{2}2=1$, khớp với đồ thị. Các phương án khác: ${\log }_{2}x+1$ và $y={\log }_{3}x$ có tiệm cận đứng $x=0$; ${\log }_3(x+1)$ tại $x=1$ cho ${\log }_{3}2\ne 1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi cơ số $a>1$. Xét các cơ số: $\sqrt{3}>1$ (A); $\frac{\pi }{6}\approx 0,52<1$ (B); $\frac{e}{3}\approx 0,91<1$ (C); $\frac{1}{4}<1$ (D). Vậy chỉ hàm $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị chỉ xuất hiện với $x>0$, có tiệm cận đứng là trục $Oy$ ($x=0$), đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$. Xét các phương án: $y=e^x$ và $y=e^{-x}$ xác định trên $\mathbb{R}$, không có tiệm cận đứng $x=0$ nên loại B, C. $y={\log }_{\frac{2}{\pi }}x$ có cơ số $\frac{2}{\pi }<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không phù hợp đồ thị đồng biến, loại D. $y=\ln x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln x$ xác định với $x>0$, có tiệm cận đứng $x=0$, đi qua $(1;0)$ và đồng biến (vì hệ số $\frac{1}{2}>0$), hoàn toàn khớp với đồ thị. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\ln x-\ln (x+1)$. a) Điều kiện xác định: $x>0$ và $x+1>0$, tức $x>0$, nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $(-1;+\infty )$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ → Đúng. c) $f(x)=\ln \frac{x}{x+1}=\ln 2\Rightarrow \frac{x}{x+1}=2\Rightarrow x=-2$, không có nghiệm bằng $-1$ (và $x=-1$ không thuộc tập xác định) → Sai. d) $f^{\prime }(k)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}$, nên $P={\sum }_{k=1}^{2026}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}\ne \frac{2025}{2026}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x>0$ và $x+1>0$ nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\ln \frac{x}{x+1}=\ln 2\Rightarrow x=-2$, không có nghiệm bằng $-1$; hơn nữa $x=-1$ không thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(k)=\frac{1}{k(k+1)}$ nên $P=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}\ne \frac{2025}{2026}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{2}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$; mệnh đề A sai. Các mệnh đề còn lại đúng: $y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến trên tập xác định $(0;+\infty )$; $y=2^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$; $y={\log }_3(2x+1)$ có $2x+1>0$ với mọi $x\in (0;1)$ và đồng biến vì cơ số $3>1$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai. b) Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$ → Đúng. d) Điều kiện $x>2$. Đổi cơ số: ${\log }_{4}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$, phương trình trở thành $\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_2(x-2)\Rightarrow \sqrt{x}=x-2\Rightarrow x=(x-2{)}^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x\le 2$) hoặc $x=4$ (thỏa). Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm $x=4$, không có hai nghiệm phân biệt → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{4}x$ là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$ nên hàm số $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua điểm $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với điều kiện $x>2$: $\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_2(x-2)\Rightarrow \sqrt{x}=x-2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại) hoặc $x=4$. Phương trình chỉ có một nghiệm $x=4$, nên khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi cơ số $a>1$. Xét các đáp án: A có $\frac{3}{\pi }\approx 0,955<1$ (nghịch biến); B có $0,5<1$ (nghịch biến); C có $\sqrt{2}\approx 1,414>1$ (đồng biến); D có $\frac{2}{e}\approx 0,736<1$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 1013, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=5^x$. a) Vì cơ số $5>1$ nên hàm số mũ $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Đúng. b) Tại $x=0$: $f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ → Đúng. c) Bất phương trình ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff 5-x\ge x\iff x\le \frac{5}{2}$. Các nghiệm nguyên dương là $x\in \{1;2\}$, chỉ có 2 nghiệm chứ không phải 3 → Sai. d) ${\log }_{5}f(x)={\log }_5{5}^x=x$, phương trình trở thành $x=2x-2\iff x=2$, không có nghiệm $x=4$ (thử $x=4$: vế trái $=4$, vế phải $=6$) → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff x\le \frac{5}{2}$; nghiệm nguyên dương là $x=1,2$ (2 nghiệm, không phải 3).
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}f(x)=x$, nên $x=2x-2\iff x=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=5^x$. a) Đúng: $5>1$ nên hàm số mũ $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Đúng: tại $x=0$, $f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$. c) Sai: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff 5-x\ge x\iff x\le \frac{5}{2}$. Các nghiệm nguyên dương là $x=1,2$ — chỉ có 2 nghiệm, không phải 3. d) Sai: ${\log }_{5}f(x)={\log }_5{5}^x=x$, nên $x=2x-2\iff x=2$, không phải $x=4$. Khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $5>1$, hàm số $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff x\le \frac{5}{2}$; nghiệm nguyên dương: $x=1,2$ — chỉ 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}f(x)=x$, phương trình trở thành $x=2x-2\iff x=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(2x^2+x)$ xác định khi $2x^2+x>0\iff x(2x+1)>0\iff x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Vậy tập xác định là $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;+\infty )$. Khớp với đáp án A trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 112, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0\iff x(x+3)>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$. Khớp với đáp án C trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 111, câu 6).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên R phải là hàm số mũ với cơ số 0<a<1. Xét các phương án: A. y=4^x có cơ số 4>1 nên đồng biến trên R. B. y=(0,2)^x có cơ số 0<0,2<1 nên nghịch biến trên R. C. y=log_3 x và D. y=log_{0,2} x chỉ xác định trên (0;+∞), không xác định trên toàn R nên bị loại. Vậy hàm số nghịch biến trên R là y=(0,2)^x, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y = log_3(x - 4). a) Hàm số xác định khi x - 4 > 0, tức x > 4, nên D = (4; +∞): đúng. b) Cơ số 3 > 1 nên hàm số đồng biến trên D, không nghịch biến: sai. c) y = 1 ⟹ log_3(x - 4) = 1 ⟹ x - 4 = 3 ⟹ x = 7: đúng. d) Đồ thị y = log_3(x - 4) là đồ thị y = log_3 x dịch phải 4 đơn vị: đi qua điểm (5; 0) (vì log_3 1 = 0), có tiệm cận đứng x = 4, tăng dần — khớp hình vẽ với giao điểm trục hoành tại x = 5: đúng. Đối chiếu đáp án mã đề 2204 câu 15: Đ S Đ Đ, khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit xác định khi x - 4 > 0 ⟹ x > 4, nên D = (4; +∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số 3 > 1, hàm số y = log_3(x - 4) đồng biến trên (4; +∞), không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
log_3(x - 4) = 1 ⟹ x - 4 = 3^1 = 3 ⟹ x = 7 ∈ D.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là y = log_3 x dịch phải 4 đơn vị: đi qua (5; 0), tiệm cận đứng x = 4, đồng biến — đúng như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x-4)$. a) Điều kiện xác định: $x-4>0\iff x>4$, nên $D=(4;+\infty )$ → Đúng. b) Hàm $y={\log }_{3}u$ với cơ số $3>1$ là hàm đồng biến, do đó $y={\log }_3(x-4)$ đồng biến trên $(4;+\infty )$, không nghịch biến → Sai. c) $y=1\iff {\log }_3(x-4)=1\iff x-4=3\iff x=7\in D$ → Đúng. d) Đồ thị hàm $y={\log }_3(x-4)$ nhận đường thẳng $x=4$ làm tiệm cận đứng, đi qua điểm $(5;0)$ (vì ${\log }_{3}1=0$), tăng dần và bám sát trục hoành khi $x\to +\infty$ — đúng như hình vẽ (đường cong qua điểm $5$ trên trục $x$, tiệm cận đứng $x=4$) → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: D, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit xác định khi $x-4>0\iff x>4$, vậy $D=(4;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $3>1$, hàm $y={\log }_3(x-4)$ đồng biến trên $(4;+\infty )$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_3(x-4)=1\iff x-4=3\iff x=7\in D$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=4$, đi qua $(5;0)$, đồng biến — khớp hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_1)$ đồng biến nên $a>1$; $(C_2)$ và $(C_3)$ nghịch biến nên $b<1$, $c<1$. a) $y={\log }_{b}x$ với $0<b<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$ → đúng. b) $c<1$ nên khẳng định $c>1$ sai. c) Tập xác định của $y={\log }_{k}x$ là $(0;+\infty )$ nên cả ba đồ thị đều nằm bên phải trục tung → đúng. d) Với $x>1$, đường $(C_3)$ nằm dưới $(C_2)$, tức ${\log }_{c}x<{\log }_{b}x$; với cơ số trong $(0;1)$, cơ số càng nhỏ giá trị $\log$ càng lớn, do đó $c>b$. Vậy thứ tự đúng là $1>c>b$, không phải $c<b<1<a$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $(C_2)$ nghịch biến nên $0<b<1$, do đó $y={\log }_{b}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ nghịch biến nên $0<c<1$, không có $c>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba hàm $\log$ có tập xác định $(0;+\infty )$ nên đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục tung.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C_1)$ đồng biến nên $a>1$; $(C_2),(C_3)$ nghịch biến nên $b,c<1$. Với $x>1$, $(C_3)$ nằm dưới $(C_2)$ nên ${\log }_{c}x<{\log }_{b}x$, suy ra $c>b$. Thứ tự đúng là $1>c>b$, không phải $c<b<1<a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-4x+3)$ xác định khi $x^2-4x+3>0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1,x=3$, nên $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\iff x<1$ hoặc $x>3$. Vậy $\mathcal{D}=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-4x+3)$ xác định khi $x^2-4x+3>0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$, $x=3$. Xét dấu tam thức $x^2-4x+3$ có $a=1>0$ nên dương ngoài khoảng hai nghiệm, tức $x<1$ hoặc $x>3$. Vậy $\mathcal{D}=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_1)$ và $(C_2)$ đi lên từ trái sang phải nên tương ứng với các hàm đồng biến, tức $a>1$, $b>1$; $(C_3)$ đi xuống nên hàm $y={\log }_{c}x$ nghịch biến, tức $0<c<1$. Với $x>1$, đồ thị $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$ nên ${\log }_{b}x>{\log }_{a}x$, suy ra $b>a>1$. a) $y={\log }_{b}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ vì $b>1$, nên khẳng định "nghịch biến" là sai. b) $(C_1)$ đồng biến nên $a>1$: đúng. c) Cả ba hàm ${\log }_{a}x,{\log }_{b}x,{\log }_{c}x$ đều xác định khi $x>0$, tập xác định $\mathcal{D}=(0;+\infty )$: đúng. d) Thứ tự cơ số từ bé đến lớn là $c<1<a<b$, không phải $c<1<b<a$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $(C_2)$ đi lên từ trái sang phải nên $y={\log }_{b}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ (tức $b>1$), không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $(C_1)$ của $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{k}x$ ($k>0$, $k\ne 1$) xác định khi và chỉ khi $x>0$, nên cả ba hàm có tập xác định $\mathcal{D}=(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(C_3)$ nghịch biến nên $0<c<1$; $(C_1)$, $(C_2)$ đồng biến nên $a>1$, $b>1$; với $x>1$, $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$ nên $b>a$. Vậy thứ tự đúng là $c<1<a<b$, không phải $c<1<b<a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-4x+3)$ xác định khi $x^2-4x+3>0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$ và $x=3$. Xét dấu tam thức $x^2-4x+3$ (hệ số $a=1>0$): tam thức dương khi $x<1$ hoặc $x>3$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.