Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi cơ số $a>1$. Vì $\sqrt{2}>1$ nên hàm số $y=(\sqrt{2}{)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn B.

$\log (a^{3}b)=\log (a^3)+\log b=3\log a+\log b$. Chọn B.

+) Hàm số $y={\left(\frac{2020}{e}\right)}^{x^2}$ có $y^{\prime }=2x{\left(\frac{2020}{e}\right)}^{x^2}\ln \left(\frac{2020}{e}\right)$. Vì $\frac{2020}{e}>1$ nên $\ln \left(\frac{2020}{e}\right)>0$. Do đó $y^{\prime }>0$ khi $x>0$ và $y^{\prime }<0$ khi $x<0$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, do đó mệnh đề (I) sai.
+) Với $\alpha <0$, đồ thị hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ trên $(0;+\infty )$ có ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{\alpha }=+\infty$ nên trục $Oy$ ($x=0$) là tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{\alpha }=0$ nên trục $Ox$ ($y=0$) là tiệm cận ngang. Do đó mệnh đề (II) đúng.
+) Hàm số $y={\log }_2{x}^2$ xác định khi $x^2>0⟺x\ne 0$. Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, do đó mệnh đề (III) sai.
+) Với $x\ne 0$, hàm số $y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Do đó mệnh đề (IV) đúng.
Vậy có 2 mệnh đề đúng là (II) và (IV).

Đặt $t={\log }_{a}b>0$. Ta có $P=t^2+\frac{8}{t}=t^2+\frac{4}{t}+\frac{4}{t}\ge 3\sqrt[3]{t^2\cdot \frac{4}{t}\cdot \frac{4}{t}}=3\cdot 4=12$.
Đẳng thức xảy ra khi $t^2=\frac{4}{t}\iff t^3=4$ hoặc áp dụng BĐT AM-GM ta tìm được $m=1$. Chọn C.

Hàm số mũ $y=2^x$ luôn xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Điều kiện: $x>0$.

Ta có: $y={\log }_{2}x\iff x=2^y$.

Chọn B.
Vì $\frac{1}{3}<b<a<1$, ta có $3b-1>0$ và $0<a<1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $4(3b-1)=4\cdot \frac{3b-1+1}{2}$? Ta có $4(3b-1)\le (3b-1+1{)}^2=(3b{)}^2=9b^2$.
Do $0<a<1$ nên cơ số nhỏ hơn 1 đảo chiều bất đẳng thức:
${\log }_a\frac{4(3b-1)}{9}\ge {\log }_a\frac{9b^2}{9}={\log }_a(b^2)=2{\log }_{a}b$.
Khi đó:
$P\ge 2{\log }_{a}b+8{\log }_{b/a}^{2}a=2{\log }_{a}b+\frac{8}{({\log }_a(b/a){)}^2}=2{\log }_{a}b+\frac{8}{({\log }_{a}b-1{)}^2}$.
Đặt $t={\log }_{a}b$. Vì $\frac{1}{3}<b<a<1$ nên $0<a<1$ và $b<a⟹t={\log }_{a}b>1$.
Xét hàm số $f(t)=2t+\frac{8}{(t-1{)}^2}$ với $t>1$.
Ta viết: $f(t)=2(t-1)+\frac{8}{(t-1{)}^2}+2=(t-1)+(t-1)+\frac{8}{(t-1{)}^2}+2$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
$(t-1)+(t-1)+\frac{8}{(t-1{)}^2}\ge 3\sqrt[3]{(t-1)\cdot (t-1)\cdot \frac{8}{(t-1{)}^2}}=3\sqrt[3]{8}=3\cdot 2=6$.
Do đó: $f(t)\ge 6+2=8$.
Đẳng thức xảy ra khi $t-1=\frac{2}{\sqrt{t-1}}⟺(t-1{)}^3=8⟺t-1=2⟺t=3$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $8$.

Biểu thức $\sqrt{x}$ xác định khi và chỉ khi $x\ge 0$. Do đó tập xác định của hàm số là $D=[0;+\infty )$.

Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ đi qua điểm $(4;2)$ nên ${\log }_{a}4=2\iff a^2=4\iff a=2$ (do $a>0,a\ne 1$). Khi đó $f(64)={\log }_{2}64=6$.

Với $a$ là một số thực dương tùy ý ta có:
${\log }_3\left(\frac{a^4}{27}\right)={\log }_3(a^4)-{\log }_{3}27=4{\log }_{3}a-3.$

Hàm số $y={\log }_2(x-2{)}^2$ xác định khi $(x-2{)}^2>0⟺x-2\ne 0⟺x\ne 2$.
Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Biểu thức căn bậc ba $\sqrt[3]{x^2+4x-3}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Biểu thức ${\log }_2(x+4)$ xác định khi $x+4>0⟺x>-4$.
Vậy tập xác định của hàm số là $(-4;+\infty )$.

Áp dụng quy tắc tính logarit của một tích đối với các số dương $a,b$: $\ln (a\cdot b)=\ln a+\ln b$.

Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ nằm bên phải trục tung, đi qua điểm $(1;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$ khi $a\in (0;1)$, do đó đường cong ở Hình D thỏa mãn.

Hàm số mũ $y=a^x$ với cơ số $0<a<1$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Ở đây $0<\frac{2}{3}<1$ (còn hàm ở câu A là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x}=2^x$ đồng biến, do đó chọn C).

Điều kiện xác định: $x^2-x-6>0\iff (x+2)(x-3)>0\iff x<-2$ hoặc $x>3$.
Vậy $D=(-\infty ;-2)\cup (3;+\infty )$.

Chọn C.
Ta có: ${\log }_3(9a^3)={\log }_{3}9+{\log }_3(a^3)={\log }_3(3^2)+3{\log }_{3}a=2+3{\log }_{3}a$.

Chọn A.
Từ giả thiết, lấy logarit:
$a^x=\sqrt{\frac{a}{b}}⟹x={\log }_a\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}(1-{\log }_{a}b)$.
$b^y=\sqrt{\frac{a}{b}}⟹y={\log }_b\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}({\log }_{b}a-1)$.
Khi đó:
$P=x-2y=\frac{1}{2}(1-{\log }_{a}b)-2\cdot \frac{1}{2}({\log }_{b}a-1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\log }_{a}b-{\log }_{b}a+1=\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\right)$.
Vì $a>1,b>1$ nên ${\log }_{a}b>0$ và ${\log }_{b}a>0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
$\frac{1}{2}{\log }_{a}b+{\log }_{b}a\ge 2\sqrt{\frac{1}{2}{\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{2}{\log }_{a}b={\log }_{b}a⟺({\log }_{a}b{)}^2=2⟺{\log }_{a}b=\sqrt{2}$ (thỏa mãn với $a,b>1$).
Do đó: $P\le \frac{3}{2}-\sqrt{2}\approx 1,5-1,414=0,086$.
Vì $0<0,086<0,5$ nên giá trị lớn nhất của $P$ thuộc khoảng $(0;\frac{1}{2})$.

Hàm số mũ $y=3^x$ có cơ số $a=3>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $f(x)+f(1-x)=\frac{4^x}{4^x+2}+\frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=1$. Ghép các cặp số hạng đầu cuối và tính số hạng chính giữa $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$, ta được $S=\frac{2019}{2}$.