Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC: góc C = 180° - 60° - 50° = 70°. Theo định lí sin: AC/sin B = AB/sin C, nên AC = 30·sin50°/sin70° ≈ 30·0,7660/0,9397 ≈ 24,456 ≈ 24,5 m. Hình ở trang 3 xác nhận AB = 30 m, góc A = 60°, góc B = 50°.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là vị trí xuất phát, B là điểm rẽ, C là vị trí dừng. AB = 3 km, BC = 6 km. Thuyền rẽ sang phải lệch hướng ban đầu một góc 45°, nên góc trong tam giác tại B là góc bù: $\widehat{ABC}=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$. Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 135^{\circ }=9+36-36\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45+18\sqrt{2}\approx 70,456$. Suy ra $AC=\sqrt{45+18\sqrt{2}}\approx 8,39$ km. Vậy thuyền cách vị trí xuất phát khoảng 8,39 km.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Tam giác $ABC$ có $AB=2cm$, $AC=1cm$, $\hat{A}=60^{\circ }$.

a) Theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=4+1-2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=3.$$
Vậy $BC=\sqrt{3}cm$.

b) Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}c{m}^2.$$
Vậy $S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=49\Rightarrow a=7$ cm. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ cm². Nửa chu vi $p=\frac{7+5+8}{2}=10$ cm. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=30^{\circ }$, $\hat{B}=120^{\circ }$ nên $\hat{C}=30^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $BC=\frac{AC\cdot \sin A}{\sin B}=\frac{10\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin A=6\sin A=3\sqrt{3}$, suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (ý c đúng). Khi đó ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ (ý a đúng). Ý b là định lý cosin trong tam giác, luôn đúng. Ý d: $4{\cos }^{2}A+2\sin A=4\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\ne 1+\sqrt{2}$ nên ý d sai. Kết quả Đ-D-D-S khớp đáp án nguồn mã đề 0102 (DDDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lý cosin trong tam giác: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=6\sin A=3\sqrt{3}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$4{\cos }^{2}A+2\sin A=4\cdot \frac{1}{4}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}\ne 1+\sqrt{2}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin A=6\sin A=3\sqrt{3}$ suy ra $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì $0<A<\pi$ nên $\sin A>0$). Do đó ${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
a) Đúng: ${\cos }^{2}A=\frac{1}{4}$.
b) Sai: $\sin A=+\frac{\sqrt{3}}{2}$, không phải $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ vì $A$ là góc trong tam giác.
c) Đúng: đây chính là định lý cosin $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$.
d) Sai: $2{\cos }^{2}A+\sqrt{3}\sin A=2\cdot \frac{1}{4}+\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\ne 1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=6\sin A=3\sqrt{3}$ nên $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra ${\cos }^{2}A=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A$ là góc trong tam giác nên $\sin A>0$; cụ thể $\sin A=+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý cosin trong tam giác: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2{\cos }^{2}A+\sqrt{3}\sin A=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=8$, $AC=10$, $\widehat{ACB}=60^{\circ }$: $$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=100+64-2\cdot 10\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=164-80=84.$$ Suy ra $AB=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Kết quả khớp với đáp án A và bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 30^{\circ }=89-80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=89-40\sqrt{3}\approx 19,72$. Suy ra $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\approx \sqrt{19,72}\approx 4,4$. Khớp với đáp án nguồn 4,4.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \widehat{ABC}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 30^{\circ }=89-80\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=89-40\sqrt{3}\approx 19,72$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{89-40\sqrt{3}}\approx 4,44\approx 4,4$, khớp với đáp án nguồn $4,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Sào tre tạo với đáy và thành bồn một tam giác vuông với cạnh huyền 5m, cạnh dọc ứng chiều cao bồn 4m. Phần sào bị ướt 1,5m song song với chiều cao mực nước, nên theo định lý Ta-lét (hai tam giác đồng dạng): $\frac{h}{4}=\frac{1,5}{5}$, suy ra $h=4\cdot \frac{1,5}{5}=1,2$ (m). Vậy mực nước trong thùng cao 1,2m.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AC=8cm, B=45°, C=60° nên A=75°. a) Theo định lí sin, R = AC/(2sinB) = 8/(2·√2/2) = 4√2 cm → Đúng. b) Định lí sin cho BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải R → Sai. c) BC = AC·sinA/sinB = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4·√2 = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm, không phải 10,92 cm → Sai. d) S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 8√3(√3+1) = 24+8√3 cm² → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2sinB) = 8/(2·(√2/2)) = 4√2 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải R.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC = 8·sin75°/sin45° = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm ≠ 10,92 cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 24+8√3 cm².

Áp dụng định lí cosin vào tam giác $\Delta ABC$, ta có:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25^2+30^2-2\cdot 25\cdot 30\cdot \cos 120^{\circ }=2275$$
Suy ra $BC=5\sqrt{91}\approx 47,7m$.

Vậy độ dài dây cáp điện thoại nối từ nhà đến trụ cáp là $47,7m$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AC=8cm, B=45°, C=60° nên A=180°−45°−60°=75°. a) Định lí sin: BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R (không phải R), nên ý a) Sai. b) R = AC/(2sinB) = 8/(2·√2/2) = 4√2 cm → Đúng. c) BC = AC·sinA/sinB = 8·sin75°/sin45° = 8·(√6+√2)/4 ÷ (√2/2) = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm ≠ 10,92 cm → Sai. d) S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 8√3(√3+1) = 24+8√3 cm² → Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin cho BC/sinA = AC/sinB = AB/sinC = 2R, không phải = R, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2sinB) = 8/(2·sin45°) = 8/√2 = 4√2 cm, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
A = 75°; BC = 8·sin75°/sin45° = 4(√3+1) ≈ 10,93 cm, không phải 10,92 cm, nên Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AC·BC·sinC = ½·8·4(√3+1)·(√3/2) = 24+8√3 cm², đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=45^{\circ }$, $\hat{B}=60^{\circ }$ nên $\hat{C}=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$, với $AC=12$ km. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$, tức $\frac{AB}{\sin 75^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{12}{\sin 60^{\circ }}$.
Suy ra $AB=\frac{12\sin 75^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,9659}{0,8660}\approx 13,377$ km; $BC=\frac{12\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{12\cdot 0,7071}{0,8660}\approx 9,798$ km.
Tổng quãng đường thuyền đi là $AB+BC+CA\approx 13,377+9,798+12=35,175\approx 35,2$ km, trùng với đáp án nguồn 35,2.

Áp dụng định lí cosin vào tam giác $\Delta ABC$, ta có:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=25^2+30^2-2\cdot 25\cdot 30\cdot \cos 120^{\circ }=2275$$
Suy ra $BC=5\sqrt{91}\approx 47,7m$.

Vậy độ dài dây cáp điện thoại nối từ nhà đến trụ cáp là $47,7m$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$ nên $AC=\frac{10\cdot \sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{6}}{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\Rightarrow R=1$.

1) $A=180^{\circ }-15^{\circ }-45^{\circ }=120^{\circ }$ (0,5 điểm).
2) Định lý Sin $\Rightarrow \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$ (0,25 điểm).
Tính $AC=\frac{10\sqrt{6}}{\sin 120^{\circ }}\cdot \sin 45^{\circ }=20$ (0,25 điểm).
Vậy AC = 20.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=4+1-2=3\Rightarrow BC=\sqrt{3}$. Đường cao $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1 Phần III, Mã đề 123: 1).