Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác $MNP$: $p=\frac{10+17+21}{2}=24$ (m). Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-MN)(p-NP)(p-MP)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84$ (m²). Vậy diện tích mảnh vườn là $84{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $\hat{C}=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $AB=\frac{6\cdot \sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$. Vì $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ và $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có $AB=6\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=3(\sqrt{3}+1)\approx 8,196\approx 8,2cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đất, C là đỉnh cây, B là chân cây. Ta có AH = 4 m, HB = 18 m, góc BAC = 40°. Trong tam giác vuông tại H, đường thẳng AC cắt đoạn thẳng đứng BC tại C nên tan(BAC) = (BC − AH)/HB = (h − 4)/18. Suy ra h = 4 + 18·tan40° ≈ 4 + 18·0,8391 ≈ 4 + 15,1028 ≈ 19,10 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{169+225-196}{390}=\frac{198}{390}=\frac{33}{65}\approx 0,5077$. Suy ra $B\approx 59,49^{\circ }\approx 59^{\circ }29^{\prime }$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{13^2+15^2-24^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{169+225-576}{390}=\frac{-182}{390}=-\frac{7}{15}\approx -0,4667$. Vì $\cos A<0$ nên góc $A$ tù. Tính $\arccos (7/15)\approx 62,18^{\circ }$, suy ra $A\approx 180^{\circ }-62,18^{\circ }=117,82^{\circ }\approx 117^{\circ }49^{\prime }$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 8, Mã 0101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos C=2^2+(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 150^{\circ }=4+3-4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=7+6=13$. Vậy $AB=\sqrt{13}$, trùng với đáp án A của đề (mã 0101, câu 7: A).

Chọn D

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}A{C}^2{\sin }^{2}A}=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}A{C}^2\left(1-{\cos }^{2}A\right)}$$
$$=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}A{C}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $a=3$, $b=4$, $c=5$ nên $p=(3+4+5)/2=6cm$. a) Công thức Heron $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p$ là nửa chu vi là đúng. b) Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{32}{40}=0,8$ → đúng. c) $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\sqrt{36}=6c{m}^2$ → đúng. d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6}=\frac{60}{24}=2,5cm\ne 3,5cm$ → sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 0102: a)Đ - b)Đ - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Heron $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p$ là nửa chu vi là đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{40}=0,8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$p=6$, $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6c{m}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{60}{24}=2,5cm\ne 3,5cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $a=BC=3$ cm, $b=CA=4$ cm, $c=AB=5$ cm. Vì $a^2+b^2=3^2+4^2=25=c^2$ nên tam giác vuông tại $C$, cạnh huyền là $AB=c=5$ cm.
a) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền: $R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2,5$ cm $\ne 3,5$ cm → Sai.
b) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{32}{40}=0,8$ → Đúng.
c) Tam giác vuông tại $C$ nên $S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm² (kiểm tra: $\sin A=0,6$, $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot 0,6=6$) → Đúng.
d) Công thức Heron $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi là công thức đúng; kiểm tra: $p=6$, $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $a^2+b^2=3^2+4^2=25=c^2$ nên tam giác vuông tại $C$, cạnh huyền $AB=c=5$. Suy ra $R=\frac{AB}{2}=2,5$ cm $\ne 3,5$ cm → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{16+25-9}{40}=0,8$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tam giác vuông tại $C$: $S=\frac{1}{2}ab=\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm² → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Công thức Heron với $p$ là nửa chu vi là đúng; kiểm tra $p=6$, $S=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{49+64-57}{112}=\frac{1}{2}$, nên d) đúng. Diện tích: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$, nên b) đúng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{3}}=\sqrt{19}\ne 2\sqrt{19}$, nên a) sai. Với $D$ trên tia đối của tia $AC$, $AD=2$, góc $\widehat{BAD}=180^{\circ }-A$ nên $\cos \widehat{BAD}=-\frac{1}{2}$: $B{D}^2=49+4-2\cdot 7\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=67$, tức $BD=\sqrt{67}\ne \sqrt{76}$, nên c) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 6: a S, b Đ, c S, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{3}}=\sqrt{19}\ne 2\sqrt{19}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=14\sqrt{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{D}^2=7^2+2^2-2\cdot 7\cdot 2\cdot \cos (180^{\circ }-A)=53+14=67\Rightarrow BD=\sqrt{67}\ne \sqrt{76}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{49+64-57}{112}=\frac{1}{2}$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f3]
+ Gọi $A$ là vị trí con diều, $B$ là vị trí đầu dây diều trên mặt đất. $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt đất.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$.
Ta có $AB=50m$
$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên mặt đất
Suy ra $\widehat{ABH}=58^{\circ }$
+ Cần tính $AH$ : Có $AH=AB.\sin \widehat{ABH}=50.\sin 58^{\circ }\approx \text{42,4}$ (m) — 0,25 + 0,25

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
+ Gọi $A$ là vị trí con diều, $B$ là vị trí đầu dây diều trên mặt đất. $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt đất.
Tam giác $ABH$ vuông tại $H$.
Ta có $AB=45m$
$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên mặt đất
Suy ra $\widehat{ABH}=62^{\circ }$
+ Cần tính $AH$ : Có $AH=AB.\sin \widehat{ABH}=45.\sin 62^{\circ }\approx \text{39,7}$(m) — 0,25 + 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C xuống AB. Trong tam giác vuông AHC có $\hat{A}=60^{\circ }$, cạnh huyền $AC=8$, nên $h_C=CH=AC\cdot \sin A=8\cdot \sin 60^{\circ }=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C) và bảng đáp án mã đề 0105 câu 11 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã 0105): a) Sai vì định lý sin cho sinA/BC = sinB/AC = sinC/AB = 1/(2R), không phải 2R. b) Đúng: theo định lý cos, AB² = AC² + BC² − 2·AC·BC·cos60° = 64 + 144 − 96 = 112 nên AB = 4√7 (d đúng). Với M trung điểm AB: MC² = (2AC² + 2BC² − AB²)/4 = (128 + 288 − 112)/4 = 76, nên MC = 2√19 (b đúng). c) Sai: S = ½·AC·BC·sin60° = ½·8·12·(√3/2) = 24√3 ≠ 24. Khớp bảng đáp án mã 0105 dòng 15: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: sinA/BC = sinB/AC = sinC/AB = 1/(2R), không phải 2R.
b) (AI giải đề cho tôi)
MC² = (2·8² + 2·12² − 112)/4 = 76 nên MC = 2√19.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·8·12·sin60° = 24√3, không phải 24.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 8² + 12² − 2·8·12·cos60° = 112 nên AB = 4√7.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=100+36-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=136-60=76$. Vậy $BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (49+64−57)/(112) = 56/112 = 1/2, nên c) Đúng. a) D nằm trên tia đối của tia AC nên góc BAD = 180° − A, cos∠BAD = −cos A = −1/2, AD = 2. BD² = AB²+AD²−2·AB·AD·cos∠BAD = 49+4+28·(1/2) = 67, suy ra BD = √67 ≠ √76 → Sai. b) sin A = √(1−1/4) = √3/2, R = BC/(2 sin A) = √57/√3 = √19 ≠ 2√19 → Sai. d) S = ½·AB·AC·sin A = ½·7·8·(√3/2) = 14√3 → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 13: S,S,Đ,Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
AD = ¼·AC = 2, góc BAD = 180° − A nên cos∠BAD = −cos A = −1/2. BD² = 49 + 4 − 2·7·2·(−1/2) = 67, vậy BD = √67 ≠ √76 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = √3/2 nên R = BC/(2 sin A) = √57/√3 = √19 ≠ 2√19 → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (49+64−57)/(2·7·8) = 56/112 = 1/2 → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·AB·AC·sin A = ½·7·8·(√3/2) = 14√3 → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ C xuống AB: $h_c=AC\cdot \sin A=7\cdot \sin 60^{\circ }=7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển: $(a+b+c)(a+b-c)=(a+b{)}^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2=3ab$, suy ra $a^2+b^2-c^2=ab$. Theo định lý cosin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$, nên $C=60^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$ với $\hat{C}=180^{\circ }-30^{\circ }-45^{\circ }=105^{\circ }$.
$\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
Suy ra $AB=\frac{10\cdot \sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=5(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.
Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(a+b+c)(a+b-c)=(a+b{)}^2-c^2=a^2+b^2+2ab-c^2=3ab$, suy ra $a^2+b^2-c^2=ab$. Theo định lí cosin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$, nên $C=60^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 60.