Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lũy thừa (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[5]{8}=8^{1/5}=2^{3/5}$ và $\sqrt{2}=2^{1/2}$. Do đó $$\frac{2^3\sqrt[5]{8}}{\sqrt{2}}=\frac{2^3\cdot 2^{3/5}}{2^{1/2}}=2^{3+3/5-1/2}=2^{31/10}=2^{3,1}\approx 8,574.$$ Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $8,57$, khớp với đáp án của đề (mã đề 211, Phần III câu 2: 8,57).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[5]{8}=8^{1/5}={\left(2^3\right)}^{1/5}=2^{3/5}$. Do đó $$\frac{2^3\sqrt[5]{8}}{\sqrt{2}}=\frac{2^3\cdot 2^{3/5}}{2^{1/2}}=2^{3+3/5-1/2}=2^{31/10}.$$ Tính giá trị: $2^{3.1}\approx 8,5742$. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $8,57$. Kết quả này khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 9, mã đề 111, Phần III câu 3: 8,57).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a^{2b}=5$, suy ra $a^{6b}=(a^{2b}{)}^3=5^3=125$. Vậy $2\cdot a^{6b}=2\cdot 125=250$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4: 250).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=\frac{(a^2{)}^{1/3}}{a^{1/3}\cdot a^{1/4}}=\frac{a^{2/3}}{a^{1/3+1/4}}=a^{2/3-1/3-1/4}=a^{8/12-4/12-3/12}=a^{1/12}$. Phân số $\frac{1}{12}$ đã tối giản nên $m=1,n=12$, suy ra $m+n=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
$$A=\frac{a^{3/4}}{a^{1/3+1/4}}=a^{3/4-7/12}=a^{2/12}=a^{1/6}.$$ Vậy $\frac{m}{n}=\frac{1}{6}$ tối giản, $m+n=7$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[4]{a.\sqrt[6]{b^7}}={\left(a.b^{7/6}\right)}^{1/4}=a^{1/4}{b}^{7/24}$, nên lũy thừa 4 của nó là $a.b^{7/6}$. Mẫu số: $\sqrt[3]{\sqrt{a^6.b}}={\left(a^{6}b\right)}^{1/6}=a.b^{1/6}$. Vậy $P=\frac{a.b^{7/6}}{a.b^{1/6}}=b^{7/6-1/6}=b$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, bất đẳng thức $\sqrt[3]{a^2}>\sqrt[4]{a}$ tương đương $a^{2/3}>a^{1/4}$. Vì $2/3>1/4$, so sánh cùng cơ số $a$: nếu $a>1$ thì $a^{2/3}>a^{1/4}$ (đúng); nếu $0<a<1$ thì $a^{2/3}<a^{1/4}$ (sai); nếu $a=1$ thì hai vế bằng 1 (sai). Với $a<0$, $\sqrt[4]{a}$ không xác định trên tập số thực. Vậy tập hợp cần tìm là $(1;+\infty )$, khớp đáp án B trong bảng mã đề 209.

(AI giải đề cho tôi)
Tử số: $\sqrt[4]{a^3\sqrt{b}}={\left(a^3{b}^{1/2}\right)}^{1/4}=a^{3/4}{b}^{1/8}$, lũy thừa 4 ta được $a^3{b}^{1/2}$. Mẫu số: $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}{b}^3}}={\left(a^{12}{b}^3\right)}^{1/6}=a^2{b}^{1/2}$. Vậy $P=\frac{a^3{b}^{1/2}}{a^2{b}^{1/2}}=a$. Kết quả trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, bất đẳng thức $\sqrt[4]{a^3}>\sqrt[5]{a^4}$ tương đương $a^{3/4}>a^{4/5}$. So sánh hai lũy thừa cùng cơ số $a$: nếu $a>1$ thì lũy thừa với số mũ lớn hơn lớn hơn, mà $\frac{4}{5}>\frac{3}{4}$ nên $a^{4/5}>a^{3/4}$, bất đẳng thức sai; nếu $0<a<1$ thì lũy thừa với số mũ nhỏ hơn lớn hơn, tức $a^{3/4}>a^{4/5}$, bất đẳng thức đúng. Với $a\le 0$ hai vế không cùng xác định theo nghĩa so sánh thông thường (căn bậc chẵn yêu cầu $a\ge 0$). Vậy tập hợp cần tìm là $(0;1)$, trùng với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ảnh gốc trang 5 (mã đề 102) ghi rõ ý b) là $P=x^{\frac{6}{19}}.x^{\frac{1}{13}}$ (số mũ $\frac{1}{13}$, không phải $\frac{1}{3}$), nên các lỗi nghi ngờ chép nhầm không xảy ra.
a) Sai: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c\ne \frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
b) Đúng: $P=x^{\frac{6}{19}}.x^{\frac{1}{13}}=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{78+19}{247}}=x^{\frac{97}{247}}$.
c) Sai: $A=\frac{a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}}{2a}=\frac{a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2a}$.
d) Đúng: $I={\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức mã đề 102: 1a S, 1b Đ, 1c S, 1d Đ.
a) Sai. Theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không phải $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
b) Đúng. $P=x^{\frac{6}{19}}.x^{\frac{1}{13}}=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{78+19}{247}}=x^{\frac{97}{247}}$.
c) Sai. $A=\frac{a^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{3}}{2a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2a}$.
d) Đúng. $I={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Với $a>0$: $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a$, nên $A=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2a}$.
b) Sai. Theo tính chất logarit của một thương: ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không phải $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
c) Đúng. Với $x>0$: $P=x^{\frac{6}{19}}\cdot x^{\frac{1}{13}}=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{78+19}{247}}=x^{\frac{97}{247}}$.
d) Đúng. $I={\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$ (với $a>0,a\ne 1$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a$ nên $A=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2a}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, không bằng $\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_{a}c}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=x^{\frac{6}{19}+\frac{1}{13}}=x^{\frac{97}{247}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I={\log }_a{a}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $P=\frac{x^3{y}^{8/5}}{x^{2}y}=x^{3-2}{y}^{8/5-1}=x{y}^{3/5}$, nên $m=1,n=\frac{3}{5}$. Khi đó $A=5n-8m=5\cdot \frac{3}{5}-8=3-8=-5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}$ xác định khi $1+x\ge 0$ và $3-x\ge 0$, tức $-1\le x\le 3$. Vậy $D=[-1;3]$, suy ra $a=-1$, $b=3$ và $a+b=-1+3=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2).

a) $P=494{\log }_{a^3}b+{\log }_a\left(a{b}^2\right)=494.\frac{1}{3}{\log }_{a}b+{\log }_{a}a+2{\log }_{a}b$ (0,25 điểm)
$=494.\frac{1}{3}.3+1+2.3=501.$ (0,25 điểm)

b) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}.a^{\frac{7}{3}}}{\sqrt[7]{a^{-2}}}=\frac{a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{-2}{7}}}$ (0,25 điểm)
$\frac{a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}}{a^{\frac{-2}{7}}}=\frac{a^4}{a^{\frac{-2}{7}}}=a^{4+\frac{2}{7}}=a^{\frac{30}{7}}.$
Vậy $m+n=30+7=37.$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=(x-1{)}^{\sqrt{3}}$ có số mũ $\alpha =\sqrt{3}$ là số vô tỉ, do đó hàm số lượng giác $x^{\alpha }$ chỉ xác định khi $x>0$. Vậy cần $x-1>0\iff x>1$. Tập xác định là $(1;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[5]{x^3}\cdot x^2=x^{\frac{3}{5}}\cdot x^2=x^{\frac{3}{5}+2}=x^{\frac{13}{5}}$. Phân số $\frac{13}{5}$ tối giản nên $a=13,b=5$. Do đó $b-2a=5-26=-21$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-21$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$ (với $x>0$). Do đó $\sqrt[3]{x^2}\cdot x^3=x^{\frac{2}{3}+3}=x^{\frac{11}{3}}$. Vì $\frac{11}{3}$ tối giản nên $a=11,b=3$. Suy ra $b-2a=3-22=-19$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-19$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: $\sqrt{\sqrt{a}}=a^{\frac{1}{4}}$, nên $P=\sqrt{a\cdot a^{1/4}}=\sqrt{a^{5/4}}=a^{\frac{5}{8}}$. Phân số $\frac{5}{8}$ tối giản với $m=5,n=8$, do đó $m^2+n^2=25+64=89$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (89).

(AI giải đề cho tôi)
$P=\sqrt{a\sqrt{\sqrt{a}}}$. Ta có $\sqrt{a}=a^{1/2}$, nên $\sqrt{\sqrt{a}}=a^{1/4}$. Do đó $a\sqrt{\sqrt{a}}=a^{1+1/4}=a^{5/4}$, và $P={\left(a^{5/4}\right)}^{1/2}=a^{5/8}$. Phân số $\frac{5}{8}$ đã tối giản với $m=5,n=8$, nên $m^2+n^2=25+64=89$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (89).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q={\left(\frac{1}{3}\right)}^{12}\cdot {\left(\frac{1}{27}\right)}^{-5}=3^{-12}\cdot (3^{-3}{)}^{-5}=3^{-12}\cdot 3^{15}=3^3=27$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1111 (câu 10: B).