Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-6;4;2)$, không phải $(6;-4;-2)$ (đó là $\overrightarrow{BA}$). b) Đúng: mặt phẳng trung trực $(P)$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\vec{n}=k\overrightarrow{AB}$; với $k=-2$ ta được $\vec{n}(12;-8;-4)$, đây là một vecto pháp tuyến của $(P)$. c) Sai: trung điểm $M(-2;-1;1)$, $(P)$ qua $M$ với VTPT $(-3;2;1)$: $-3(x+2)+2(y+1)+(z-1)=0\iff -3x+2y+z-5=0$, không phải $-3x+2y+z-3=0$. d) Đúng: $(Q)$ qua $C(1;-3;9)$ song song $(P)$, VTPT $(-3;2;1)$: $-3(x-1)+2(y+3)+(z-9)=0\iff -3x+2y+z=0$; thay $O(0;0;0)$ thỏa mãn nên $(Q)$ đi qua gốc tọa độ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-6;4;2)\ne (6;-4;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-6;4;2)$, và $(12;-8;-4)=-2\overrightarrow{AB}$ cũng là vecto pháp tuyến của $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M(-2;-1;1)$, phương trình $(P)$: $-3x+2y+z-5=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$: $-3x+2y+z=0$ qua $C(1;-3;9)$, và $O(0;0;0)$ thỏa mãn nên $(Q)$ đi qua gốc tọa độ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-6;3)$ và $\overrightarrow{CD}=(1;2;1)$. Vecto pháp tuyến của $(\alpha )$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(-12;0;12)\parallel (1;0;-1)$. Mặt phẳng qua $A(-2;6;3)$: $1(x+2)+0(y-6)-1(z-3)=0\iff x-z+5=0$. Kiểm tra: $B(1;0;6)$: $1-6+5=0$ ✓; $\vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=1-1=0$ ✓. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(2;-1;2): 2·2-(-1)+2·2-8 = 4+1+4-8 = 1 ≠ 0 nên M không thuộc (P) → sai. b) Vecto pháp tuyến của (P): 2x-y+2z-8=0 là n=(2;-1;2) → đúng. c) (Q) song song (P) nên có dạng 2x-y+2z+d=0; qua A(3;2;-1): 6-2-2+d=0 ⇒ d=-2, phương trình 2x-y+2z-2=0 → đúng. d) (R) vuông góc với (P) và (Oxy) nên vecto pháp tuyến n = (2;-1;2)×(0;0;1) = (-1;-2;0), do a>0 nên (a,b)=(1,2). Khoảng cách từ B(-3;1;5): |−3+2+d|/√5 = √5 ⇒ |d−1| = 5 ⇒ d=6 hoặc d=−4; vì d<0 nên d=−4. Vậy b+d = 2−4 = −2 ≠ −4 → mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(2;-1;2) vào (P): 2·2-(-1)+2·2-8 = 1 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P): 2x-y+2z-8=0 có vecto pháp tuyến n=(2;-1;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x-y+2z+d=0, qua A(3;2;-1) ⇒ 6-2-2+d=0 ⇒ d=-2, được 2x-y+2z-2=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
n_(R) = (2;-1;2)×(0;0;1) = (-1;-2;0), chọn (a,b)=(1,2). Khoảng cách từ B(-3;1;5): |−3+2+d|/√5 = √5 ⇒ |d−1|=5 ⇒ d=−4 (vì d<0). Suy ra b+d = 2−4 = −2 ≠ −4.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;1;-2)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-2;2;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$: $-2x+2y+z+d=0$; thay $A(0;0;3)$ được $d=-3$. Vậy $(ABC):-2x+2y+z-3=0$. Khoảng cách từ $O(0;0;0)$: $d(O,(ABC))=\frac{|-3|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{3}{3}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(a;b;c)$. Vì $(P)$ qua $A(3;2;1)$, $B(-3;5;2)$ nên $3a+2b+c=27$ và $-3a+5b+2c=27$. Vì $(P)\perp (Q)$ với $(Q):3x+y+z+4=0$ nên $3a+b+c=0$. Trừ hai phương trình đầu: $6a-3b-c=0\Rightarrow c=6a-3b$. Thay vào $3a+b+c=0$: $9a-2b=0\Rightarrow b=\frac{9a}{2}$, suy ra $c=-\frac{15a}{2}$. Thay vào $3a+2b+c=27$: $3a+9a-\frac{15a}{2}=\frac{9a}{2}=27\Rightarrow a=6$, khi đó $b=27$, $c=-45$. Vậy $S=a+b+c=6+27-45=-12$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 102: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật ABCD với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0) → a) Đúng. Vectơ SC = C − S = (2;1;−3) → d) Đúng. Mặt phẳng qua B(2;0;0), D(0;1;0), S(0;0;3) có dạng x/2 + y/1 + z/3 = 1, tức 3x + 6y + 2z = 6 → c) Đúng. Góc giữa SC và (SBD): n = (3;6;2), |n| = 7, |SC| = √14, sin α = |3·2 + 6·1 + 2·(−3)|/(7√14) = 6/(7√14) ≈ 0,2288 → α ≈ 13,2° ≈ 13°, không phải 15° → b) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
(SBD): 3x + 6y + 2z = 6, n = (3;6;2). sin α = |SC·n|/(|SC||n|) = 6/(7√14) ≈ 0,2288 → α ≈ 13° ≠ 15°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại B(2;0;0), D(0;1;0), S(0;0;3) nên x/2 + y/1 + z/3 = 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
SC = C − S = (2−0; 1−0; 0−3) = (2;1;−3).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật ABCD với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0) (d đúng). Vectơ SC = C - S = (2;1;-3) (c đúng). Mặt phẳng (SBD) đi qua S(0;0;3), B(2;0;0), D(0;1;0) có phương trình x/2 + y/1 + z/3 = 1, tức 3x + 6y + 2z = 6 (b đúng). Vectơ pháp tuyến n = (3;6;2). Góc giữa SC và (SBD): sin α = |SC·n|/(|SC||n|) = |6+6-6|/(√14·√49) = 6/(7√14) ≈ 0,229, nên α ≈ 13,2° ≈ 13°, không phải 15° (a sai). Khớp đáp án mã đề 1001: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SBD): 3x+6y+2z=6, n=(3;6;2). sin α = |SC·n|/(|SC||n|) = 6/(7√14) ≈ 0,229 ⇒ α ≈ 13° ≠ 15°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua S(0;0;3), B(2;0;0), D(0;1;0) có dạng x/2 + y/1 + z/3 = 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
SC = (2-0; 1-0; 0-3) = (2;1;-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình chữ nhật với A(0;0;0), C(2;1;0) nên B(2;0;0), D(0;1;0).

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo: điểm tại thời điểm t là M + 2t·v̂ với v̂ = (2/3; 1/3; -2/3) (|v| = 3), tức (12 + 4t/3; 1 + 2t/3; 3 - 4t/3).
d) (P) vuông góc quỹ đạo nên VTPT là v = (2;1;-2), qua A(4;1;-1): 2(x-4) + (y-1) - 2(z+1) = 0 ⇔ 2x + y - 2z - 11 = 0. Đúng.
Thay tọa độ chất điểm vào (P): 2(12+4t/3) + (1+2t/3) - 2(3-4t/3) - 11 = 8 + 6t = 0 ⇒ t = -4/3 (giây), tức mặt phẳng nằm phía sau điểm xuất phát theo hướng chuyển động; nếu xét thời điểm chạm (lấy |t| = 4/3 s):
a) Vị trí: (12 - 16/9; 1 - 8/9; 3 + 16/9) = (92/9; 1/9; 43/9) ≠ (16;13;-1). Sai.
b) Quãng đường = d(M,(P)) = |2·12+1-2·3-11|/3 = 8/3 m ≠ 5 m. Sai.
c) Thời gian = (8/3)/2 = 4/3 s ≠ 2 s. Sai.
d) Đúng như trên.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vị trí chạm mặt phẳng là (92/9; 1/9; 43/9), không phải (16;13;-1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường = d(M,(P)) = 8/3 m, không phải 5 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian = (8/3)/2 = 4/3 s, không phải 2 s.
d) (AI giải đề cho tôi)
(P) có VTPT (2;1;-2) qua A(4;1;-1): 2x + y - 2z - 11 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;1;2)$ và cách $O$ một khoảng lớn nhất phải vuông góc với $OM$ tại $M$, nên có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{OM}=(1;1;2)$, phương trình: $1(x-1)+1(y-1)+2(z-2)=0\iff x+y+2z=6$. Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d=\frac{6}{\sqrt{1+1+4}}=\sqrt{6}$, đúng là lớn nhất (vì với mọi mặt phẳng qua $M$, khoảng cách từ $O$ không vượt quá $OM=\sqrt{6}$). Giao với các trục: $A(6;0;0)$, $B(0;6;0)$, $C(0;0;3)$. Thể tích tứ diện $OABC=\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}\cdot 6\cdot 6\cdot 3=18$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Pháp tuyến của (α) là n=(2;-1;3). Kiểm tra: u·n=(-2)(2)+(-1)(-1)+1·3=-4+1+3=0; v·n=0·2+3·(-1)+1·3=0. Cả hai vectơ đều vuông góc với n nên là cặp vectơ chỉ phương của (α) → đúng.
b) Mặt phẳng (Q): x+2y+3z-14=0 đi qua M vì 1+4+9-14=0. Giao với các trục: A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3). Kiểm tra trực tâm: MA=(13;-2;-3), BC=(0;-7;14/3), MA·BC=14-14=0; MB=(-1;5;-3), AC=(-14;0;14/3), MB·AC=14-14=0. M nằm trên hai đường cao nên là trực tâm tam giác ABC → đúng. (Có thể kiểm tra lại bằng cách tìm tổng quát: mặt phẳng x/a+y/b+z/c=1 có M làm trực tâm khi a=3c, 2b=3c, kết hợp qua M cho đúng phương trình x+2y+3z-14=0.)
c) Thay N(2;0;0) vào (α): 2·2-0+3·0+4=8≠0 nên N không thuộc (α) → sai.
d) d(M,(α))=|2·1-2+3·3+4|/√(4+1+9)=13/√14 ≠ 14/√13 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
u·n=-4+1+3=0 và v·n=-3+3=0, cả hai vectơ vuông góc với pháp tuyến n=(2;-1;3) nên là cặp vectơ chỉ phương của (α).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q): x+2y+3z-14=0 qua M; cắt trục tại A(14;0;0), B(0;7;0), C(0;0;14/3); MA·BC=0 và MB·AC=0 nên M là trực tâm tam giác ABC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(2;0;0): 4+0+0+4=8≠0 nên N không thuộc (α).
d) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(α))=|2-2+9+4|/√14=13/√14, không bằng 14/√13.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(3;3;-2)$, pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;-5)$. Pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}=(-13;13;0)$. Chọn $\vec{n}=(-1;1;0)$, mặt phẳng qua $A$: $-(x+1)+(y+3)=0\iff -x+y+2=0$. Kiểm tra $B(2;0;3)$: $-2+0+2=0$ đúng. Vậy $a=-1,b=1,c=0$, $S=10(-1)+20(1)+30(0)=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\beta ):x-2y+2z-5=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_{\beta }=(1;-2;2)$. Vì $(\alpha )\parallel (\beta )$ nên $(\alpha )$ cũng có pháp tuyến $(1;-2;2)$, đi qua $M(2;1;3)$: $2-2+6+d=0\Rightarrow d=-6$, vậy $(\alpha ):x-2y+2z-6=0$. Khoảng cách từ $K(4;-3;8)$ đến $(\alpha )$: $d=\frac{|4+6+16-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m. Mặt phẳng $(\gamma )$ qua $O$ và $K$ có pháp tuyến vuông góc với $\overrightarrow{OK}=(4;-3;8)$ và vuông góc với ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;-2;2)$: ${\vec{n}}_{\gamma }={\vec{n}}_{\alpha }\times \overrightarrow{OK}=(-10;0;5)$, suy ra $(\gamma ):-10x+5z=0\iff 2x-z=0$, không phải $2x+z=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(\alpha )$ phải cùng phương với $(1;-2;2)$ của $(\beta )$, không phải $(1;-2;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha )$ song song $(\beta )$ nên có dạng $x-2y+2z+d=0$; thay $M(2;1;3)$: $2-2+6+d=0\Rightarrow d=-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(K,(\alpha ))=\frac{|4+6+16-6|}{3}=\frac{20}{3}\approx 6,67$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }={\vec{n}}_{\alpha }\times \overrightarrow{OK}=(-10;0;5)$ nên $(\gamma ):2x-z=0$, không phải $2x+z=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P): x+y+z+1=0. Vì A(1;2;2) có x+y+z+1=6>0, hình chiếu H của A trên (P) là H = A - (6/3)(1;1;1) = (-1;1;0), nên A' = 2H - A = (-3;-2;-2). Theo định luật phản xạ, quãng đường AM + MB = A'M + MB = A'B (M nằm trên đoạn A'B). Kiểm tra B(-1;1;4) cùng phía với A nên tia phản xạ hợp lệ. Độ dài A'B = sqrt(2² + 3² + 6²) = sqrt(49) = 7. Vậy quãng đường tia laser đi từ A đến B qua M bằng 7 (đơn vị độ dài).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(0;0;h)$ với $h>0$. Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{h}=1$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{h}\right)$. Góc giữa $(ABC)$ và mặt đất $(Oxy)$ (pháp tuyến $(0;0;1)$) là $45^{\circ }$: $$\cos 45^{\circ }=\frac{1/h}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{h^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Suy ra $\frac{2}{h^2}=\frac{5}{16}+\frac{1}{h^2}\Rightarrow \frac{1}{h^2}=\frac{5}{16}\Rightarrow h=\frac{4}{\sqrt{5}}$. Diện tích tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AB}=(-2;4;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;h)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(4h;2h;8)$, độ dài $=\sqrt{16h^2+4h^2+64}=\sqrt{20\cdot \frac{16}{5}+64}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$. Vậy $S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}=4\sqrt{2}{m}^2$, nên $a=4$, $b=2$, $a+b=6$.

+) Ta có: $\overrightarrow{OD}=(0;60;0)$, $\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(OBED)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB}\right]=(480;0;-600)$
+) Phương trình mặt phẳng $(OBED)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và có vecto pháp tuyến ${\vec{n}}^{\prime }=(4;0;-5)$ là:
$4x-5z=0$
+) Kkhoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ là:
$d\left(G,(OBED)\right)=\frac{|4.100-5.0|}{\sqrt{16+25}}=\frac{400\sqrt{41}}{41}\approx 62,5m$

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ (P): 2x+2y-z+3=0, vecto pháp tuyến là n=(2;2;-1), không phải (2;2;1).
b) Sai. Mặt phẳng (Q) song song (P) có dạng 2x+2y-z+d=0. Qua B(0;-1;2): 0-2-2+d=0 nên d=4, tức (Q): 2x+2y-z+4=0, không phải 2x+2y-z-4=0.
c) Đúng. Đường thẳng qua A(1;2;3) vuông góc (P) có vecto chỉ phương (2;2;-1), phương trình: x=1+2t, y=2+2t, z=3-t. Khớp với đề.
d) Sai. Đường thẳng qua C(1;3;-2) vuông góc (P): (1+2t; 3+2t; -2-t). Thay vào (P): 2(1+2t)+2(3+2t)-(-2-t)+3=0 ⟹ 13+9t=0 ⟹ t=-13/9. Suy ra H=(-17/9; 1/9; -5/9). Khi đó T=a-b+9c=-17/9-1/9+9(-5/9)=-2-5=-7≠-4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của (P) là (2;2;-1), không phải (2;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay B vào 2x+2y-z+d=0 được d=4, nên (Q): 2x+2y-z+4=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(1;2;3) với vecto chỉ phương (2;2;-1) chính là hệ phương trình đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
H=(-17/9;1/9;-5/9), nên T=-17/9-1/9-5=-7≠-4.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 7, bóng rơi tại điểm cách Bình 4,5 m theo phương Ox và lệch sang bên trái của An 0,5 m theo phương Oy, nên điểm rơi là $M(4,5;0,5;0)$ (An ở $(4,5;0;0)$). Quỹ đạo nằm trong $(\alpha ):x+by+cz+d=0$ và $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất (mặt phẳng $Oxy$), nên pháp tuyến $(1;b;c)$ vuông góc với $(0;0;1)$, suy ra $c=0$. Quỹ đạo đi qua $O(0;0;0)$ nên $d=0$. Qua $M$: $4,5+0,5b=0\Rightarrow b=-9$. Vậy $-5b^2-c^2+3d^2=-5\cdot 81-0+0=-405$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng $By+Cz=0$ (vì đi qua gốc O và mọi điểm trên trục Ox). Phương trình tổng quát: $By+Cz=0$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;B;C)$. Để vuông góc với $(\alpha ):2x-3y+4z-5=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-3;4)$, ta cần $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha }}=0$, tức $-3B+4C=0\Rightarrow B=4,C=3$ (chọn tỉ lệ). Vậy mặt phẳng cần tìm là $4y+3z=0$, tương ứng phương án C. Kiểm tra: chứa trục Ox (đúng vì không có x và hằng số), pháp tuyến $(0;4;3)$ vuông góc $(2;-3;4)$ vì $0-12+12=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng x+y+z-4=0 có pháp tuyến n=(1;1;1). b) Sai: trung điểm I(2;0;2), d(I,(α))=|2+0+2-4|/√3=0 (I thuộc (α)), không bằng √3. c) Đúng: AB=(-2;2;0), pháp tuyến cần tìm vuông góc với n_α=(1;1;1) và AB, lấy tích có hướng n=(1;1;1)×(-2;2;0)=(-2;-2;4)∼(1;1;-2). Mặt phẳng qua A(3;-1;2): x+y-2z+2=0 (thử: 3-1-4+2=0 ✓, B: 1+1-4+2=0 ✓, và (1;1;-2)·(1;1;1)=0 nên vuông góc (α)). d) Đúng: A và B đều thỏa mãn phương trình (α) (3-1+2-4=0, 1+1+2-4=0) nên H≡A, K≡B, HK=AB=√((-2)²+2²+0)=2√2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng x+y+z-4=0 có véc-tơ pháp tuyến n=(1;1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
I(2;0;2) nên d(I,(α))=|2+0+2-4|/√3=0, vì I thuộc (α); khoảng cách không bằng √3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-2;2;0); n=(1;1;1)×(-2;2;0)=(-2;-2;4)∼(1;1;-2). Mặt phẳng qua A: x+y-2z+2=0, kiểm tra qua B và vuông góc (α) đều đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
A, B đều thuộc (α) nên H≡A, K≡B, HK=AB=√8=2√2.