Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: bạn nữ đứng tại gốc $O(0;0;0)$, bạn nam đứng trên trục $Oy$ tại $B(0;4;0)$, điểm rơi của bóng nằm trên mặt đất tại $M(3;4;0)$ (vì $OM=5m$ và $MB=3m$ vuông góc với $Oy$: $\sqrt{3^2+4^2}=5$). Quỹ đạo bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ đi qua $O$ và $M$, vuông góc với mặt đất nên $(P)$ chứa trục $Oz$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{OM}=(3;4;0)$ và $\vec{k}=(0;0;1)$. Pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{OM}\times \vec{k}=(4;-3;0)$. Mặt phẳng qua $O$: $4x-3y+0z+0=0$, suy ra $b=-3,c=0,d=0$. Kiểm tra: $M(3;4;0)$: $4\cdot 3-3\cdot 4=0$ ✓; $O$ thỏa ✓; $(P)$ chứa trục $Oz$ nên vuông góc mặt đất ✓. Vậy $T=b+c+d=-3+0+0=-3$, trùng đáp án nguồn (đề 1121, Phần 3, câu 3: $-3$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay O(0;0;0) vào (P): 2·0−0−0+5=5≠0 nên (P) không đi qua O → Sai.
b) AB = (1−0; −2−1; 1−2) = (1;−3;−1) → Đúng.
c) Mặt phẳng qua B(1;−2;1) song song (P) có dạng 2x−y−2z+d=0; thay B: 2+2−2+d=0 ⇒ d=−2, tức 2x−y−2z−2=0 ≠ 2x−y−2z+2=0 → Sai.
d) M cách đều A, B nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AB: qua trung điểm I(1/2;−1/2;3/2), VTPT AB=(1;−3;−1): x−3y−z = 1/2+3/2−3/2 = 1/2, tức 2x−6y−2z=1. Khoảng cách MC nhỏ nhất khi M là hình chiếu của C(3;2;1) lên mặt phẳng này. Đường thẳng qua C VTPT (1;−3;−1): (3+t; 2−3t; 1−t). Thay vào: 2(3+t)−6(2−3t)−2(1−t)=1 ⇒ −8+22t=1 ⇒ t=9/22. Vậy M=(75/22; 17/22; 13/22), a+b+2c = (75+17+26)/22 = 118/22 = 59/11 ≠ 13/11 → Sai. Khớp đáp án mã đề 1202: SĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay O(0;0;0): 2·0−0−0+5=5≠0 nên (P) không đi qua gốc tọa độ.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(1−0;−2−1;1−2)=(1;−3;−1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua B song song (P): 2x−y−2z+d=0, thay B(1;−2;1) được d=−2, phương trình là 2x−y−2z−2=0, không phải 2x−y−2z+2=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng trung trực 2x−6y−2z=1 của AB; M là hình chiếu của C lên mặt phẳng này cho M=(75/22;17/22;13/22), suy ra a+b+2c=59/11≠13/11.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đáy (MNP) đi qua M(0;0;-50), N(0;200;-30), P(30;0;-50). Ta có MN = (0;200;20), MP = (30;0;0), vecto pháp tuyến n = MN × MP = (0;600;-6000) ∥ (0;1;-10). Phương trình mặt phẳng: y - 10(z + 50) = 0, tức y - 10z - 500 = 0 (thử N: 200 - 10(-30) - 500 = 0 đúng). Khoảng cách từ A(20;70;0) đến mặt phẳng: d = |70 - 10·0 - 500| / √(0² + 1² + (-10)²) = 430/√101 ≈ 42,77 ≈ 43 mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn (43).

(AI giải đề cho tôi)
a) AB = B - A = (1-0; -2-1; 1-2) = (1; -3; -1): đúng.
b) Thay O(0;0;0) vào (P): 2·0 - 0 - 2·0 + 5 = 5 ≠ 0, nên (P) không đi qua gốc tọa độ: sai.
c) Mặt phẳng song song (P) qua B(1;-2;1) có dạng 2x - y - 2z + d = 0; thay B: 2 + 2 - 2 + d = 0 ⇒ d = -2, tức 2x - y - 2z - 2 = 0 ≠ 2x - y - 2z + 2 = 0: sai.
d) M cách đều A, B nên M nằm trên mặt phẳng trung trực của AB: qua trung điểm I(1/2; -1/2; 3/2), pháp tuyến AB = (1; -3; -1), phương trình: (x - 1/2) - 3(y + 1/2) - (z - 3/2) = 0 ⇔ 2x - 6y - 2z - 1 = 0. MC ngắn nhất khi M là hình chiếu của C(3;2;1) lên mặt phẳng này. Đường thẳng qua C vuông góc mặt phẳng: (3+t; 2-3t; 1-t). Thay vào: 2(3+t) - 6(2-3t) - 2(1-t) - 1 = 0 ⇒ 22t - 9 = 0 ⇒ t = 9/22. Vậy M(75/22; 17/22; 13/22), khi đó a + b + 2c = (75 + 17 + 26)/22 = 118/22 = 59/11 ≠ 13/11: sai.
Khớp đáp án mã đề 1201 câu 16: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB = (1-0; -2-1; 1-2) = (1; -3; -1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại O(0;0;0) vế trái (P) bằng 5 ≠ 0 nên (P) không đi qua gốc tọa độ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua B song song (P): 2x - y - 2z + d = 0 với d = -2, tức 2x - y - 2z - 2 = 0, không phải 2x - y - 2z + 2 = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
M nằm trên mặt phẳng trung trực 2x - 6y - 2z - 1 = 0; hình chiếu của C lên mặt phẳng này cho M(75/22; 17/22; 13/22), suy ra a + b + 2c = 59/11 ≠ 13/11.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt đáy là mặt phẳng $(MNP)$ với $M(0;0;-50)$, $N(0;200;-30)$, $P(30;0;-50)$. Ta có $\overrightarrow{MN}=(0;200;20)$, $\overrightarrow{MP}=(30;0;0)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=(0;600;-6000)\parallel (0;1;-10)$. Phương trình mặt phẳng: $y-10(z+50)=0\iff y-10z-500=0$ (kiểm tra với $N$: $200-10(-30)-500=0$ đúng). Khoảng cách từ $A(20;70;0)$ đến mặt phẳng: $d=\frac{|70-10\cdot 0-500|}{\sqrt{1^2+(-10{)}^2}}=\frac{430}{\sqrt{101}}\approx 42,79\approx 43$ mét. Kết quả khớp với đáp án nguồn (43).

Mặt phẳng $(P)$ cắt tia Ox tại $A(a;0;0)$, cắt tia Oy tại $B(0;b;0)$, cắt tia Oz tại $C(0;0;c)$ có dạng là $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$, $c>0$). Theo đề: $$\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}\iff \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{4}\iff \{\begin{array}{l}b=2a\\ c=4a\end{array}.$$ Vì $M(1;1;2)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên ta có: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1$$ $$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{2}{4a}=1\iff a=2.$$ Khi đó $b=4$, $c=8$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+2y-z-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$. a) $(Q)$ song song $(P)$ qua $N(3;2;-1)$ có dạng $2x+2y-z+c=0$; thay $N$: $6+4+1+c=0\Rightarrow c=-11$, nên $(Q):2x+2y-z-11=0$ → Đúng. b) $\vec{n}=(2;2;-1)$ là pháp tuyến của $(P)$ → Đúng. c) $d(A;(P))=\frac{|2\cdot 1+2\cdot (-2)-(-1)-6|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|2-4+1-6|}{3}=\frac{7}{3}$. Vì $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$ với $K\in (P)$, điểm $B$ nằm trên đường thẳng $AK$ với $\frac{AB}{AK}=\frac{5}{4}$, nên $d(B;(P))=\left|\frac{5}{4}-1\right|\cdot d(A;(P))=\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{12}\ne 5$ → Sai. d) Thay $M(1;-1;-6)$: $2(1)+2(-1)-(-6)-6=2-2+6-6=0$ nên $M\in (P)$; mệnh đề 'không thuộc' → Sai. Kết quả ĐĐSS khớp đáp án nguồn (mã đề 405, Phần II Câu 1).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ song song $(P)$ qua $N(3;2;-1)$: dạng $2x+2y-z+c=0$, thay $N$ được $6+4+1+c=0\Rightarrow c=-11$, nên $2x+2y-z-11=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2x+2y-z-6=0$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;2;-1)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A;(P))=\frac{|2-4+1-6|}{3}=\frac{7}{3}$; vì $\overrightarrow{AB}=\frac{5}{4}\overrightarrow{AK}$, $K\in (P)$ nên $d(B;(P))=\frac{1}{4}\cdot \frac{7}{3}=\frac{7}{12}\ne 5$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-1;-6)$: $2-2+6-6=0$ nên $M$ thuộc $(P)$; mệnh đề 'không thuộc' sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;4;2) đến mặt phẳng (P): 2x+y+2z-3=0 là d = |2·1+4+2·2-3|/√(4+1+4) = 7/3. Vùng quan sát trên (P) là hình tròn với góc ở đỉnh của nón quan sát bằng 116°, nửa góc bằng 58°. Bán kính hình tròn: R = d·tan58° = (7/3)·tan58° ≈ (7/3)·1,6003 ≈ 3,7341. Đường kính 2R ≈ 7,468 ≈ 7,5. Kết quả khớp đáp án đề 405, Phần III câu 3 là 7,5.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (P): 2x+2y−z−6=0. a) Véc-tơ pháp tuyến của (P) là n=(2;2;−1) → Đúng. b) (Q) song song (P) có dạng 2x+2y−z+c=0; qua N(3;2;−1): 6+4+1+c=0 ⇒ c=−11, nên (Q): 2x+2y−z−11=0 → Đúng. c) d(A;(P))=|2·1+2·(−2)−(−1)−6|/√9=|−7|/3=7/3. Vì B=A+(5/4)(K−A) với K∈(P), khoảng cách có dấu của B bằng (1−5/4)·d_sign(A)=−(1/4)d_sign(A), nên d(B;(P))=(1/4)·(7/3)=7/12≠5 → Sai. d) Thay M(1;−1;−6): 2·1+2·(−1)−(−6)−6=2−2+6−6=0 nên M∈(P); khẳng định 'M không thuộc (P)' → Sai. Kết quả Đ Đ S S khớp bảng đáp án mã đề 404, Phần II câu 4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng cho véc-tơ pháp tuyến n=(2;2;−1).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q): 2x+2y−z+c=0, thay N(3;2;−1): 11+c=0 ⇒ c=−11.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A;(P))=7/3; do B=A+(5/4)(K−A), K∈(P) nên d(B;(P))=(1/4)·(7/3)=7/12≠5.
d) (AI giải đề cho tôi)
2·1+2·(−1)−(−6)−6=0 nên M thuộc (P); khẳng định 'không thuộc' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;4;2) đến (P): 2x+y+2z−3=0 là d = |2+4+4−3|/√9 = 7/3. Góc quan sát ngang 116° nên nửa góc 58°. Bán kính vùng tròn trên (P): R = d·tan58° = (7/3)·1,6003 ≈ 3,734. Đường kính 2R ≈ 7,47 ≈ 7,5, khớp đáp án nguồn 7,5.

(AI giải đề cho tôi)
Nóc nhà là giao tuyến của hai mái: $(P):x-y=0$ và $(Q):x+y-2z=0$. Từ $x=y$ và $x+y=2z$ suy ra $z=x$, nên giao tuyến là đường thẳng $(d):(t,t,t)$. Chiều cao từ sàn đến nóc là khoảng cách từ điểm $(t,t,t)$ trên nóc đến mặt sàn $(\alpha ):2x+y-3z+18=0$: $d=\frac{|2t+t-3t+18|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $4,8$ m, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BC}=(-3;0;1)$, $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;0)$. Vecto pháp tuyến của $(Q)$: $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{n_P}=(0\cdot 0-1\cdot (-2);1\cdot 1-(-3)\cdot 0;(-3)(-2)-0\cdot 1)=(2;1;6)$. Đúng.
b) $d$ qua $A(2;1;2)$ vuông góc $(P)$ nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;0)$: $x=2+t,y=1-2t,z=2$. Đúng.
c) $d(A,(P))=\frac{|2-2+3|}{\sqrt{1+4}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx 1,34\ne \frac{3}{2}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1)$. Đúng. Khớp đáp án nguồn DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{n_P}=(2;1;6)$, vuông góc cả $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{n_P}$ nên thỏa yêu cầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương là $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;0)$, đi qua $A(2;1;2)$ nên phương trình tham số như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(P))=\frac{|2-2+3|}{\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\approx 1,34\ne \frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-2-1;1-1;1-0)=(-3;0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTPT của mặt phẳng cần tìm là $\overrightarrow{OA}=(1;2;3)$. Mặt phẳng qua $B(2;0;-1)$: $1(x-2)+2(y-0)+3(z+1)=0\iff x+2y+3z+1=0$. Mệnh đề ĐÚNG.
b) Mặt phẳng song song với $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(3;-2;1)$, qua $B(2;0;-1)$: $3(x-2)-2y+(z+1)=0\iff 3x-2y+z-5=0$. Mệnh đề ĐÚNG.
c) $\overrightarrow{n_P}=(3;-2;1)$, $\overrightarrow{n_Q}=(3;2;-1)$; $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=9-4-1=4\ne 0$ nên $(P)$ không vuông góc với $(Q)$. Mệnh đề SAI.
d) Thay $A(1;2;3)$ vào $(P)$: $3(1)-2(2)+3+4=6\ne 0$ nên $A\notin (P)$. Mệnh đề SAI.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: A-Đ; B-Đ; C-S; D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $B(2;0;-1)$, VTPT $\overrightarrow{OA}=(1;2;3)$: $(x-2)+2y+3(z+1)=0\iff x+2y+3z+1=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT $(3;-2;1)$, qua $B$: $3(x-2)-2y+(z+1)=0\iff 3x-2y+z-5=0$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=3\cdot 3+(-2)\cdot 2+1\cdot (-1)=4\ne 0$ nên hai mặt phẳng không vuông góc. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;2;3)$: $3-4+3+4=6\ne 0$ nên $A\notin (P)$. Sai.

Đáp án: 5,37.
Lời giải chi tiết: Theo hình vẽ, $(DEMN)$ đi qua $D(0;0;4)$, $E(6;0;4)$, $M(6;2;5)$ nên $(DEMN)$ có cặp VTCP là $\overrightarrow{DE}(6;0;0)$ và $\overrightarrow{DM}(6;2;1)\Rightarrow (DEMN)$ có 1 VTPT: $\left[\overrightarrow{DE};\overrightarrow{DM}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 1& 6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}6& 0\\ 6& 2\end{array}\right|\right)=(0;-6;12)$. Mà $D(0;0;4)\in (DEMN)$.
Phương trình của $(DEMN)$: $0(x-0)-6(y-0)+12(z-4)=0$
$$\iff -6y+12z-48=0\iff y-2z+8=0.$$
Khoảng cách từ $B(6;4;0)$ đến $(DEMN)$ là: $\frac{|4-2.0+8|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{12}{\sqrt{5}}\approx 5,37$.

Đáp án: 4 hoặc 2,25.
Lời giải chi tiết: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:



Ta có $OC=\sqrt{O{B}^2-B{C}^2}=4$ suy ra $B(3;4;0)$.
Mặt phẳng chứa quỹ đạo đi qua $O(0;0;0)$ và nhận $\vec{k}(0;0;1)$, $\overrightarrow{OB}(3;4;0)$ làm vec tơ chỉ phương.
Suy ra vec tơ pháp tuyến $\vec{n}=\left[\vec{k};\overrightarrow{OB}\right]=(-4;3;0)$
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng là:
$-4(x-0)+3(y-0)+0(z-0)=0\iff 4x-3y=0$. Vậy $a+c=4$.
Lưu ý: Nếu chọn hệ trục Oxy ngược lại thì đáp án là 2,25

Đáp án: 9,44.
Lời giải chi tiết:



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có $B^{\prime }(0;50;10)$, $D^{\prime }(35;0;10)$, $C(35;50;0)$ và $O(17,5;25;0)$
Mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nhận $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(-35;0;10)$ và $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(0;-50;10)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nhận $\vec{n}=\left[\overrightarrow{C{B}^{\prime }},\overrightarrow{C{D}^{\prime }}\right]=(500;350;1750)$ làm vectơ pháp tuyến
Mặt khác, $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ qua $C(35;50;0)$ nên có phương trình $50x+35y+175z-3500=0$
Do mục tiêu di động trên mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ nên khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu chính là khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$
Ta có $d\left(O;(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })\right)=\frac{\left|50.17,5+35.25+175.0-3500\right|}{\sqrt{35^2+50^2+175^2}}\approx 9,44(m)$
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ điểm ngắm đến mục tiêu là khoảng $9,44$ mét.

Mặt phẳng $(P)$ có ${\vec{n}}_P=(2;-1;2)$ và đường thẳng $d$ có ${\vec{u}}_d=(-1;-2;3)$. (0,25đ)
Ta có $(\alpha ):\{\begin{array}{l}\text{qua }O(0;0;0)\\ \text{VTPT }{\vec{n}}_{\alpha }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(1;-8;-5)\end{array}$
nên có phương trình $(\alpha ):x-8y-5z=0.$ (0,25đ)

Mặt phẳng $P$ có ${\vec{n}}_P=(1;-2;2)$ và đường thẳng $d$ có ${\vec{u}}_d=(-1;-2;3)$. (0,25đ)
Ta có $\alpha :\{\begin{array}{l}\text{qua }O(0;0;0)\\ \text{VTPT }{\vec{n}}_{\alpha }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(-2;-5;-4)\end{array}$
nên có phương trình $\alpha :2x+5y+4z=0$. (0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $(\alpha ):x+2y-2z+3=0$ ta có $\vec{n}=(1;2;-2)$, không phải $(1;2;2)$.
b) Đúng: $d(A,(\alpha ))=\frac{|2+2(-1)-2(3)+3|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|2-2-6+3|}{3}=\frac{3}{3}=1$.
c) Đúng: $(\beta )$ song song $(\alpha )$ nên có dạng $x+2y-2z+m=0$; qua $A(2;-1;3)$: $2-2-6+m=0\Rightarrow m=6$, vậy $x+2y-2z+6=0$.
d) Đúng: hình chiếu của $A$ lên các trục là $A_1(2;0;0),A_2(0;-1;0),A_3(0;0;3)$; mặt phẳng dạng đoạn chắn $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$ (kiểm tra: $2\cdot \frac{1}{2}=1$, $(-1)\cdot (-1)=1$, $3\cdot \frac{1}{3}=1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\vec{n}=(1;2;-2)$, không phải $(1;2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(\alpha ))=\frac{|2-2-6+3|}{3}=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(2;-1;3)$ vào $x+2y-2z+m=0$ được $m=6$, nên $(\beta ):x+2y-2z+6=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các hình chiếu $(2;0;0),(0;-1;0),(0;0;3)$ cho mặt phẳng $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{3}=1$.

Đưa bài toán về thuần $Oxyz$ ta được: cho $A(1;2;-1)$, $B(-2;1;0)$ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x-2y+z+4=0$ sao cho $MA=MB=\frac{11\sqrt{3}}{6}$. Tìm giá trị của $2(a+b+c)$

+ Gọi $(Q)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$, khi đó $(Q)$ qua điểm $I\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$ và có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}(-3;-1;1)$, nên có phương trình là: $-3\left(x+\frac{1}{2}\right)-\left(y-\frac{3}{2}\right)+\left(z+\frac{1}{2}\right)=0\iff -3x-y+z+\frac{1}{2}=0$.
+ Vì $MA=MB$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(Q)$, do đó thỏa mãn hệ
$$\{\begin{array}{l}x-2y+z+4=0\\ -3x-y+z+\frac{1}{2}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2y+z=-x-4\\ -y+z=3x-\frac{1}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}y=4x+\frac{7}{2}\\ z=7x+3\end{array}\Rightarrow M\left(x;4x+\frac{7}{2};7x+3\right).$$
+ Có $MA=\frac{\sqrt{11}}{2}\iff (x-1{)}^2+{\left(4x+\frac{3}{2}\right)}^2+(7x+4{)}^2=\frac{13}{4}\iff x=-\frac{1}{2}\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$
+ Vậy $2(a+b+c)=1$.

(Lưu ý: nguồn gốc có sự không nhất quán về giá trị $MA=MB$ giữa đề bài ($\frac{\sqrt{11}}{2}$), phần đưa về bài toán thuần ($\frac{11\sqrt{3}}{6}$) và bước tính ($\frac{\sqrt{11}}{2}$, vế phải $\frac{13}{4}$); giữ nguyên theo nguồn. Ngoài ra, phương trình ở bước tính với vế phải $\frac{13}{4}$ tương ứng $66x^2+66x+15=0$ có hai nghiệm, nên đáp án $2(a+b+c)=1$ của nguồn không được chứng minh là duy nhất; giữ nguyên theo nguồn.)