Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án A.

Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P):x-3y+z-6=0$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_1}=(1;-3;1)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án B.

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ nhận $\vec{n}=(0;-2;3)$ làm vectơ pháp tuyến là $0(x-0)-2(y-0)+3(z-0)=0\iff -2y+3z=0$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Quỹ đạo của vệ tinh nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung $Oy$ nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là $\vec{n}=(0;1;0)$. Khẳng định a đúng.

b) Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với trục tung nên có phương trình dạng $y+d=0$.
Điểm $B(4032;0;-5376)$ thuộc mặt phẳng nên $0+d=0\Rightarrow d=0$.
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo là $y=0$. Khẳng định b sai.

c) Điểm $B(4032;0;-5376)$ có khoảng cách đến tâm Trái Đất $O$ là $OB=\sqrt{4032^2+0^2+(-5376{)}^2}=6720\text{ km}$.
Bán kính quỹ đạo vệ tinh là $R=13440\text{ km}=2\cdot OB$.
Tâm $I$ của quỹ đạo nằm trên đường thẳng $OB$ và điểm $B$ là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh, suy ra $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB$.
Do đó tọa độ tâm $I$ là: $\{\begin{array}{l}{x}_I=2x_O-x_B=-4032\\ y_I=2y_O-y_B=0\\ z_I=2z_O-z_B=5376\end{array}\Rightarrow I(-4032;0;5376)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $IA$ là $\vec{u}=\overrightarrow{IA}=(x_A-x_I;y_A-y_I;z_A-z_I)=(-4033-(-4032);1-0;5378-5376)=(-1;1;2)$.
Đường thẳng đi qua $I$ và có VTCP $(-1;1;2)$ có phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=-4032-t\\ y=t\\ z=5376+2t\end{array}$. Khẳng định c đúng.

d) Điểm cực Nam là $K(0;3840;5120)$. Hình chiếu vuông góc của $K$ lên mặt phẳng quỹ đạo $y=0$ là $H(0;0;5120)$.
Khoảng cách $KH=|y_K|=3840\text{ km}$.
Khoảng cách từ $I(-4032;0;5376)$ đến $H(0;0;5120)$ là:
$IH=\sqrt{(0-(-4032){)}^2+0^2+(5120-5376{)}^2}=\sqrt{4032^2+(-256{)}^2}=64\sqrt{3985}\approx 4040\text{ km}$.
Khoảng cách nhỏ nhất từ $H$ đến quỹ đạo tròn tâm $I$ bán kính $R=13440$ là $NH=|R-IH|=13440-64\sqrt{3985}$.
Khoảng cách gần nhất từ vệ tinh đến điểm $K$ là:
$K{N}_{\min }=\sqrt{K{H}^2+N{H}^2}=\sqrt{3840^2+(13440-64\sqrt{3985}{)}^2}\approx 10154\text{ km}\ne 10112\text{ km}$. Khẳng định d sai.

Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ nên nhận $\vec{n}=(1;-3;4)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M(1;2;3)$ là:
$1(x-1)-3(y-2)+4(z-3)=0\iff x-3y+4z-7=0.$ Chọn C.

Phương trình mặt phẳng đi qua $A(1;-2;3)$ có VTPT $\vec{n}=(2;1;-1)$ là:
$2(x-1)+1(y+2)-1(z-3)=0⟺2x+y-z+3=0$.
Chọn A.

Mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)$.
Vậy mặt phẳng $(P):4x-y-2z+5=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(4;-1;-2)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 chọn đáp án C.

Mặt phẳng $(P):3x-2y+z+5=0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2=(3;-2;1)$.

Thay tọa độ điểm $M(2;2;-3)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: $3(2-2)+2(2-2)-4(-3+3)=0$ (luôn đúng). Vậy điểm $M(2;2;-3)\in (P)$.

Khi ô tô lùi theo hướng $\vec{v}=(3;4;0)$ với tham số dịch chuyển $t\ge 0$, tọa độ của một cảm biến xuất phát từ $P_0(x_0;y_0;0,5)$ là $P(x_0+3t;y_0+4t;0,5)$. Khoảng cách từ $P$ đến mặt phẳng $(E):6x+8y-55=0$ là:
$d(P,(E))=\frac{|6(x_0+3t)+8(y_0+4t)-55|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{|(6x_0+8y_0)+50t-55|}{10}$.
Ta có $6x_A+8y_A=6(4,57)+8(0,51)=31,5$; $6x_B+8y_B=6(3,37)+8(1,41)=31,5$; $6x_C+8y_C=6(4)+8(1)=32$.
Vì $32>31,5$, cảm biến $C(4;1;0,5)$ ở gần bức tường $(E)$ nhất và đạt ngưỡng $d(C(t),(E))=0,3\text{ m}$ đầu tiên khi $55-(32+50t)=3\iff 50t=20\iff t=0,4$.
Khi đó tọa độ của cảm biến $C$ tại thời điểm cảnh báo là $R(4+3\cdot 0,4;1+4\cdot 0,4;0,5)=R(5,2;2,6;0,5)$.
Vậy $a-b+c=5,2-2,6+0,5=3,1$.

Mặt phẳng $(P):3x-y-z+2=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-1;-1)$.
Chọn C.

Phương trình $(P):x+y-\frac{z}{2}=1⟺2x+2y-z-2=0$.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\vec{n}}_1=(2;2;-1)$.
Chọn A.

Mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;1)$.

Trung điểm của $AB$ là $I(2;1;1)$ và $\overrightarrow{AB}=(2;4;-2)=2(1;2;-1)$, nên mặt phẳng trung trực có phương trình $(x-2)+2(y-1)-(z-1)=0⟺x+2y-z-3=0$.

Ta có $B(0;5;0),D(4;0;0),B^{\prime }(0;5;8),C(4;5;0),D^{\prime }(4;0;8),C^{\prime }(4;5;8)$. a) Đúng. b) Đúng vì $(B^{\prime }C{D}^{\prime }):10x+8y+5z-80=0$. c) Sai vì phương trình đúng là $10x+8y+5z-60=0$. d) Sai vì phương trình đúng là $x+2z=0$.

a) Sai vì $d(A,(P))=2$. b) Sai vì $(Q):2x+2y-z+4=0$. c) Đúng. d) Đúng vì $H\left(-\frac{17}{9};\frac{1}{9};-\frac{5}{9}\right)⟹a-b+9c=-7$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua gốc $O(0;0;0)$, điểm rơi $\left(0,5;2\sqrt{5};0\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ nên $c=0,d=0$ và $0,5a+2\sqrt{5}=0⟹a=-4\sqrt{5}⟹a^2+c^2+d^2=80$.

Hai điểm $A,B$ nằm khác phía so với $(P)$. Điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$ là $A^{\prime }\left(-\frac{7}{3};\frac{17}{3};\frac{4}{3}\right)$. Khi đó $|MA-MB|=|M{A}^{\prime }-MB|\le A^{\prime }B$, đạt giá trị lớn nhất khi $M=A^{\prime }B\cap (P)=(1;-11;28)⟹a+b+c=18$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn đi qua $B(3;0;0),A(0;1;0),C(0;0;-2)$ là $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1\iff \frac{x}{3}+\frac{y}{1}-\frac{z}{2}=1$.

Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(Q)$ có VTPT ${\vec{n}}_Q=(1;1;1)$.
VTPT của mặt phẳng cần tìm cùng phương với $[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_Q]=(-4;1;3)=-(4;-1;-3)$.
Phương trình mặt phẳng đi qua $A(1;2;-1)$ có VTPT $(4;-1;-3)$ là:
$4(x-1)-1(y-2)-3(z+1)=0⟺4x-y-3z-5=0$.
Chọn C.

Ta có $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 2-2(-1)+3+1|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{10}{3}$.