Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.
e) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$ → Sai.
f) $\int f(x)dx=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$. Vậy $F(x)=x^2-x-\ln x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$ (hệ số của $x^2$ phải là $\frac{1}{2}$) → Sai.
g) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$ → Sai.
h) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$: $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Suy ra $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$ → Sai.
Kết quả: e) Sai; f) Sai; g) Sai; h) Sai, khớp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$; $F(x)=x^2-x-\ln x$ có đạo hàm $2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, nên $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.
a) Đúng: chia tử cho mẫu ta được $f(x)=2x+1+\frac{1}{x}$.
b) Sai: hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi tập xác định của $f$ là $x\ne 0$ (gồm cả $x<0$), nên $F(x)=x^2+x+\ln x$ không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định của $f$.
c) Đúng: với $x\ne 0$, $\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$.
d) Đúng: $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$; từ $F(1)=3$ suy ra $1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$. Khi đó $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử cho mẫu: $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, không xác định trên toàn tập xác định $x\ne 0$ của $f$, nên không phải nguyên hàm của $f$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$, đúng với mọi $x\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

a) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$ (thiếu $-1$). Mệnh đề SAI.

b) Xét $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$. Mệnh đề SAI.

c) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ là $F(x)=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$. Mệnh đề đưa ra $F(x)=x^2-x-\ln |x|+C$ (hệ số của $x^2$ sai). Mệnh đề SAI.

d) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$ và $F(1)=\frac{1}{2}-1-0+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Khi đó $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$. Mệnh đề SAI.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai — khớp với đáp án bảng HD chấm (đề 104, Phần II Câu 2: S S S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, nên $F(x)=x^2-x-\ln x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát đúng là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(1)=3$ suy ra $C=\frac{7}{2}$, do đó $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$, nên ý a) Đúng. Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ là $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$, vì ${\left(\ln |x|\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ với mọi $x\ne 0$; do đó ý c) Đúng. Hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không phải nguyên hàm của $f(x)$ trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (vì $\ln x$ không xác định khi $x<0$), nên ý b) Sai. Với ý d): $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$; $F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=x^2+x+\ln |x|+1$ và $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$; ý d) Đúng. Kết quả khớp bảng HD chấm (đề 103, Phần II Câu 2): Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Chia từng hạng tử: $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi $f(x)$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; nên $F$ không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định của $f$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì ${\left(x^2+x+\ln |x|+C\right)}^{\prime }=2x+1+\frac{1}{x}=f(x)$ với mọi $x\ne 0$, đây là họ tất cả các nguyên hàm của $f$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(1)=2+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. a) Đúng vì phép chia đa thức cho đúng kết quả đó. b) Sai: ${\left(x^2+x+\ln x\right)}^{\prime }=2x+1+\frac{1}{x}$ chỉ đúng khi $x>0$ (do $\ln x$ chỉ xác định với $x>0$), trong khi tập xác định của $f$ là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; với $x<0$ thì $F$ không phải nguyên hàm của $f$. c) Đúng: $\int f(x)dx=\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định). d) Đúng: $F(1)=1+1+\ln 1+C=3\Rightarrow C=1$, nên $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 101: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia từng số hạng: $\frac{2x^2}{x}+\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$, đúng với $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, nên không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (với $x<0$, $F$ không tồn tại).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, đúng trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ hoặc $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=2x$ nên $F(x)=x^2+C$. Theo $F(0)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(x)=x^2+1$. Vậy $F(3)=9+1=10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-2\cos x-\sin x+C$. Với $F(\pi )=2+C=1$ suy ra $C=-1$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-2\cdot 0-1-1=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $f(x),g(x)$ xác định và liên tục trên tập $K$:
- A đúng: theo tính tuyến tính của tích phân bất định, $\int 2f(x)dx=2\int f(x)dx$.
- B sai: $\int [2+f(x)]dx=\int 2dx+\int f(x)dx=2x+\int f(x)dx$, vì nguyên hàm của hằng số $2$ là $2x+C$, không phải $2+C$. Do đó khẳng định $\int [2+f(x)]dx=2+\int f(x)dx$ là sai.
- C đúng: nguyên hàm của hiệu bằng hiệu các nguyên hàm.
- D đúng: nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm.
Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-\cos x+2\sin x+C$. Với $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+2\sin \frac{\pi }{2}+C=2+C=3$ suy ra $C=1$. Do đó $F(\pi )=-\cos \pi +2\sin \pi +1=1+0+1=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1001, Phần III câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=e^x+x^2+C$. Với $F(0)=1+C=\frac{3}{2}$ suy ra $C=\frac{1}{2}$. Do đó $F(2)=e^2+4+\frac{1}{2}=e^2+\frac{9}{2}\approx 7.389+4.5=11.889\approx 11.9$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=(x.e^{\sin x}+2026{)}^{\prime }=e^{\sin x}+x.\cos x.e^{\sin x}=(1+x\cos x)e^{\sin x}$. Vậy $f(x)=(1+x\cos x)e^{\sin x}$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int \left(5x^4+x^{-3}\right)dx=x^5-\frac{1}{2x^2}+C$. Với $F(1)=2$: $1-\frac{1}{2}+C=2\Rightarrow C=\frac{3}{2}$. Vậy $F(x)=x^5-\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{2}$, đúng với đáp án C.

Ta có:
$I=\int (2x+1{)}^{1/2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+1{)}^{3/2}}{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x+1{)}^{3/2}+C=\frac{1}{3}\sqrt{(2x+1{)}^3}+C$.

Ta có $d(x^2)=2xdx$, do đó $I=\int 2x{e}^{x}dx$.
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: đặt $u=2x⟹du=2dx$; $dv=e^{x}dx⟹v=e^x$.
Khi đó: $I=2x{e}^x-\int 2e^{x}dx=2x{e}^x-2e^x+C=2e^x(x-1)+C$.

Ta xét hàm số ở đáp án D: $y=\frac{x^3+5x-1}{x}=x^2+5-\frac{1}{x}$.

Lấy đạo hàm ta được:
$y^{\prime }={\left(x^2+5-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=2x+\frac{1}{x^2}$

Vậy hàm số cần tìm là $y=\frac{x^3+5x-1}{x}$.

Ta có $\int f(x)dx=\int \left(\frac{1}{x}+2^x-3\sin x\right)dx=\ln |x|+\frac{2^x}{\ln 2}+3\cos x+C$. Chọn A.

Ta có $\int 3x(x-e^x)dx=\int 3x^{2}dx-3\int x{e}^{x}dx=x^3-3(x-1)e^x+C$. Chọn đáp án A.

Ta có $\int \left(x^2-3^x+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}-\frac{3^x}{\ln 3}+\ln |x|+C$ với $C\in \mathbb{R}$.

Ta có $\int \frac{1+\ln x}{x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x+\int \ln x\mathrm{d}(\ln x)=\ln x+\frac{1}{2}{\ln }^{2}x+C$.

Khẳng định $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ chỉ đúng khi $k\ne 0$. Với $k\in \mathbb{R}$ tùy ý (có thể bằng $0$) thì khẳng định C sai. Chọn đáp án C.