Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cos 2x=-\frac{1}{2}$. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$, suy ra $2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

a) Đúng. Các nghiệm âm có dạng $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi <0$ với $k\le 0$. Với $k=0$ ta được $x=-\frac{\pi }{3}$, là nghiệm âm lớn nhất (các nghiệm âm khác đều nhỏ hơn vì cách nhau $\pi$).

b) Sai. Bộ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ chỉ gồm các nghiệm với $k$ chẵn của họ $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, bỏ sót các nghiệm như $x=\frac{2\pi }{3}$, $x=\frac{4\pi }{3}$ (vì $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ thỏa mãn). Đáp án đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$.

c) Sai. Trên khoảng $(0;2\pi )$, các nghiệm là $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$ — tức 4 nghiệm, không phải 3 nghiệm.

d) Đúng. Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình $\cos 2x=-\frac{1}{2}$ và $\cos 2x=\cos \frac{2\pi }{3}$ là cùng một phương trình, tương đương nhau.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: D - S - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$. Các nghiệm âm là $-\frac{\pi }{3}+k\pi$ với $k\le 0$; lớn nhất là $-\frac{\pi }{3}$ khi $k=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đáp án đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$; bộ với chu kỳ $2\pi$ bỏ sót các nghiệm như $\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2\pi )$ có 4 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ nên hai phương trình giống hệt nhau. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: công thức nghiệm tổng quát của sin x = sin α là x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π, k ∈ ℤ. b) Sai: sin x = 1 ⟺ x = π/2 + k2π, không phải x = −π/2 + k2π (đó là nghiệm của sin x = −1). c) Sai: cos x + 3 = 0 ⟺ cos x = −3, mà cos x ∈ [−1; 1] nên vô nghiệm. d) Đúng: cos x = sin x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; nghiệm dương nhỏ nhất là π/4. Khớp với đáp án nguồn: Đ - S - S - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây là công thức nghiệm tổng quát của phương trình sin x = sin α.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin x = 1 ⟺ x = π/2 + k2π; x = −π/2 + k2π là nghiệm của sin x = −1.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos x = −3 ∉ [−1; 1] nên phương trình vô nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos x = sin x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ; nghiệm dương nhỏ nhất là π/4.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=16k-2$. Với $t\in [0;24)$ (một ngày), lấy $k=1$ được $t=14$. Vậy mực nước cao nhất vào lúc 14 giờ (độ sâu lớn nhất $h=6$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(75^{\circ }-x\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 135^{\circ }$.
Do đó $75^{\circ }-x=\pm 135^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $75^{\circ }-x=135^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-60^{\circ }+k360^{\circ }$.

Trường hợp 2: $75^{\circ }-x=-135^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=210^{\circ }+k360^{\circ }$.

Vậy tập nghiệm: $x=-60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=210^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=210^{\circ }$: $\cos (75^{\circ }-210^{\circ })=\cos (-135^{\circ })=\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓; với $x=-60^{\circ }$: $\cos (135^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

Ta có $\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$.

Suy ra $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra điều kiện: với $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$ thì $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, không bao giờ bằng $\frac{\pi }{2}+m\pi$, nên mọi nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{2}\Rightarrow \cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$.
Do đó $x+\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Với dấu '+': $x=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{12}+k2\pi$.
- Với dấu '-': $x=-\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+k2\pi =-\frac{11\pi }{12}+k2\pi$.
Vậy tập nghiệm $S=\left\{\frac{7\pi }{12}+k2\pi ;-\frac{11\pi }{12}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan \frac{x}{3}+3=0\iff \tan \frac{x}{3}=-\sqrt{3}$. Suy ra $\frac{x}{3}=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, do đó $x=-\pi +3k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{-\pi +k3\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (x-30^{\circ })=-\cos 2x\iff \cos (x-30^{\circ })+\cos 2x=0$. Dùng công thức tổng hai cosin: $2\cos \frac{3x-30^{\circ }}{2}\cos \frac{-x-30^{\circ }}{2}=0$, tức $2\cos \frac{3x-30^{\circ }}{2}\cos \frac{x+30^{\circ }}{2}=0$.
TH1: $\cos \frac{3x-30^{\circ }}{2}=0\Rightarrow \frac{3x-30^{\circ }}{2}=90^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=70^{\circ }+k120^{\circ }$.
TH2: $\cos \frac{x+30^{\circ }}{2}=0\Rightarrow \frac{x+30^{\circ }}{2}=90^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=150^{\circ }+k360^{\circ }$.
Vậy $x=70^{\circ }+k120^{\circ }$ hoặc $x=150^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $x=70^{\circ }$: $\cos 40^{\circ }=-\cos 140^{\circ }$ đúng; $x=150^{\circ }$: $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}=-\cos 300^{\circ }$ đúng. Đây là lựa chọn thứ ba trong đề (đề gốc in nhãn B trùng do thiếu nhãn C; bản ghi đã gán nhãn C).

(AI giải đề cho tôi)
$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0⟺\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0⟺x+\frac{\pi }{3}=k\pi ⟺x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$
Với $x\in [\pi ;2\pi ]$: $\pi \le -\frac{\pi }{3}+k\pi \le 2\pi ⟺\frac{4}{3}\le k\le \frac{7}{3}⟺k=2$, cho $x=\frac{5\pi }{3}$. Vậy có đúng $1$ nghiệm thuộc đoạn $[\pi ;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos x=\sqrt{3}\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng. b) Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$: với họ $\frac{\pi }{3}+2k\pi$ có $\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$; với họ $-\frac{\pi }{3}+2k\pi$ có $\frac{5\pi }{3}$. Vậy chỉ có 3 nghiệm $\left\{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\right\}$, không phải 4 nghiệm → sai. c) Tổng các nghiệm $=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}=\frac{26\pi }{6}\ne \frac{25\pi }{6}$ → sai. d) Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{13\pi }{3}=\frac{26\pi }{6}\ne \frac{25\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\ne \frac{13\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x-40^{\circ }$, với $-180^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ thì $-400^{\circ }\le t\le 320^{\circ }$. Phương trình $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có họ nghiệm $t=60^{\circ }+360^{\circ }k$ hoặc $t=120^{\circ }+360^{\circ }k$. Với họ thứ nhất: $t=60^{\circ }$ (k=0) và $t=-300^{\circ }$ (k=-1) thuộc đoạn. Với họ thứ hai: $t=120^{\circ }$ (k=0) và $t=-240^{\circ }$ (k=-1) thuộc đoạn. Vậy có 4 giá trị $t$, tức 4 nghiệm $x$ (mỗi $t$ cho đúng một $x=(t+40^{\circ })/2$ trong đoạn).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 — Giải các phương trình lượng giác.

a) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

Điều kiện: $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

$\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: với $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ thì $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$, thỏa mãn điều kiện và phương trình.

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Trường hợp 1: $3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Trường hợp 2: $3x+\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3};\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $\cos (2x-70^{\circ })=-1$

$2x-70^{\circ }=180^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow 2x=250^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=125^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $S=\{125^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

d) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$

Áp dụng công thức $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ với $A=x+\frac{\pi }{4}$, $B=\frac{\pi }{4}-x$:

$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}$, $\frac{A-B}{2}=x$, nên $$2\cos \frac{\pi }{4}\cos x=\sqrt{2}\cos x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Tất cả bốn nghiệm đã được kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình gốc và đều thỏa mãn.

Chọn D. Phương trình $3\tan \frac{x}{4}-\sqrt{3}=0\iff \tan \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}\iff \frac{x}{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+k4\pi$. Với $x\in [0;2\pi )\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\cos x$ với $t\in [-1;1]$. Phương trình $2t^2-3t+1=0$ có nghiệm $t=1$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Với $\cos x=1$: $x=0$ hoặc $x=2\pi$ (2 nghiệm thuộc $[0;2\pi ]$). Với $\cos x=\frac{1}{2}$: $x=\frac{\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{3}$ (2 nghiệm). Tổng cộng có 4 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19a: cos(2x−30°)=√3/2 ⟺ 2x−30°=±30°+k·360°. Với dấu +: 2x=60°+k·360° ⟹ x=30°+k·180°. Với dấu −: 2x=k·360° ⟹ x=k·180° (k∈ℤ).

Câu 19b: y=sin2x+2cos²x+1=sin2x+(1+cos2x)+1=sin2x+cos2x+2=√2·sin(2x+45°)+2. Vì −1≤sin(2x+45°)≤1 nên max y=2+√2 khi sin(2x+45°)=1, tức x=45°/2... cụ thể 2x+45°=90°+k·360° ⟹ x=22,5°+k·180°; min y=2−√2 khi 2x+45°=−90°+k·360° ⟹ x=−67,5°+k·180° (k∈ℤ).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-1\iff 2x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ (điều kiện xác định tự động thỏa vì $-\frac{\pi }{4}+k\pi \ne k^{\prime }\pi$). Suy ra $2x=-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}+k\pi =-\frac{5\pi }{12}+k\pi$, tức $x=-\frac{5\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$. Vì $-\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{24}$, họ nghiệm này viết lại được là $x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$, trùng với phương án B. Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{24}$ thì $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{12}+\frac{2\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}$, $\cot \frac{3\pi }{4}=-1$ đúng.

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-1}{2}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{4}=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

$\iff x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{17\pi }{12}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

b) $\cos x-\cos 2x=0\iff \cos 2x=\cos x$

$\iff 2x=x+k2\pi$ hoặc $2x=-x+k2\pi$

$\iff x=2k\pi$ hoặc $x=\frac{2k\pi }{3}$ $(k\in \mathbb{Z})$.

Họ nghiệm $x=2k\pi$ nằm trong họ nghiệm $x=\frac{2k\pi }{3}$, vì $2k\pi =\frac{2(3k)\pi }{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

Phương trình $2\sin x-\sqrt{3}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$.
a) Sai. Phương trình tương đương với $\sin x=\sin \frac{\pi }{3}$.
b) Đúng. Nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
c) Đúng. Các nghiệm thuộc khoảng $(0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{2\pi }{3}$, tức là có đúng hai nghiệm.
d) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}$.
a) Sai. Phương trình tương đương với $\sin x=\sin \frac{\pi }{3}$.
b) Đúng. Nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
c) Đúng. Các nghiệm thuộc khoảng $(0;2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{2\pi }{3}$, tức là có đúng hai nghiệm.
d) Sai. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}$.

Phương trình $\cos x=\frac{m}{2027}$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$$-1\le \frac{m}{2027}\le 1\iff -2027\le m\le 2027.$$
Do $m\in \mathbb{Z}$ nên số giá trị nguyên của $m$ là $2027-(-2027)+1=4055$.

$\sin 2x=\cos x\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0\iff \cos x=0$ hoặc $\sin x=\frac{1}{2}$.

Trên đoạn $[0;\pi ]$: $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}$; $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}$.

Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{5\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$. Chọn A.