Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in SA\subset (SAB)$ và $M\in (MCD)$. Ngoài ra $N=AB\cap CD$ nên $N\in AB\subset (SAB)$ và $N\in CD\subset (MCD)$. Vậy hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(SAB)$ cùng chứa hai điểm phân biệt $M,N$, do đó giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $I\in AC\subset (ABCD)$, $K\in AB\subset (ABCD)$ nên $IK\subset (ABCD)$. b) Sai: $(SAD)$ và $(SBC)$ cùng chứa $S$; giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và điểm $AD\cap BC$ (nếu có), không phải $SI$ vì $I$ không thuộc hai mặt phẳng đó. c) Sai: $(SIA)=(SAC)$ (vì $I\in AC$) và $(SDK)=(SCD)$ (vì $K\in CD$); hai mặt phẳng này cùng chứa $S$ và $C$ nên giao tuyến là $SC$, không phải $SB$. d) Đúng: $K\in AB\subset (SAB)$ và $K\in CD\subset (SCD)$, hai mặt phẳng cùng chứa $S$, nên giao tuyến là $SK$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I\in AC$, $K\in AB$ mà $AC,AB\subset (ABCD)$ nên $IK\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I$ không thuộc $(SAD)$ hay $(SBC)$; giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ và giao điểm của $AD$ với $BC$ (nếu có), không phải $SI$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SIA)=(SAC)$ vì $I\in AC$; $(SDK)=(SCD)$ vì $K\in CD$. Hai mặt phẳng này cùng chứa $S$ và $C$ nên giao tuyến là $SC\ne SB$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$K\in AB\subset (SAB)$ và $K\in CD\subset (SCD)$, hai mặt phẳng cùng chứa $S$, nên giao tuyến là $SK$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì đường thẳng chỉ cần một điểm thuộc mặt phẳng thì đường thẳng hoặc nằm trong mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng tại đúng một điểm (các điểm còn lại không thuộc mặt phẳng). B sai vì đường thẳng và một điểm nằm trên đường thẳng đó không xác định mặt phẳng; phải là một điểm không thuộc đường thẳng. C đúng theo tiên đề 3: nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có đúng một đường thẳng chung đi qua điểm đó, tức có vô số điểm chung khác nữa. D sai vì hai đường thẳng phân biệt chỉ xác định mặt phẳng khi chúng cắt nhau hoặc song song; nếu chéo nhau thì không. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $EG$: $E\in AD\subset (ABD)$, $G\in BD\subset (ABD)$ nên $EG\subset (ABD)$. Mặt phẳng $(ABD)$ cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$. Do đó giao điểm của $EG$ với $(ABC)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AB$ (hai đường thẳng này không song song vì cùng nằm trong $(ABD)$ và cắt nhau tại điểm thuộc $AB$). Vậy mệnh đề B đúng, mệnh đề A sai. Xét $FG$: $F\in BC$, $G\in BD$ nên $FG\subset (BCD)$; giao tuyến của $(BCD)$ và $(ACD)$ là $CD$, nên giao điểm của $FG$ với $(ACD)$ nằm trên $CD$, không phải trên $AD$ hay $AC$. Do đó C và D đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (0,75 điểm). a) Ta có $O=AC\cap BD$, với $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Hơn nữa $S\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Ta có $I=AD\cap BC$, với $I\in AD\subset (SAD)$ và $I\in BC\subset (SBC)$. Hơn nữa $S\in (SAD)\cap (SBC)$. Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SI$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $K$ là trung điểm $BD$ nên $K\in (ABD)$; đồng thời $K\in (IJK)$. Vậy $K$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Trong tam giác $ABC$, $I,J$ lần lượt là trung điểm $AC,BC$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vì $IJ\subset (IJK)$ và $AB\subset (ABD)$, mặt phẳng $(IJK)$ cắt $(ABD)$ theo đường thẳng đi qua $K$ và song song với $AB$ (định lý về giao tuyến khi hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song). Do đó giao tuyến là đường thẳng đi qua $K$ và song song với $AB$, không phải $KI$, $KD$ hay $ID$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $I$ thuộc $(IBC)$ (vì $I\in (IBC)$ do ba điểm $I,B,C$ xác định mặt phẳng) và $I$ thuộc $(JAD)$ (vì $I$ nằm trên $AD$); tương tự $J$ thuộc $(IBC)$ (vì $J$ nằm trên $BC$) và $J$ thuộc $(JAD)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $I,J$ nên giao tuyến là $IJ$.
b) Đúng: $(MND)$ và $(ADC)$ đều chứa $N$ (vì $N\in AC$) và đều chứa $D$, nên giao tuyến là $ND$.
c) Đúng: $(BCI)$ và $(ABD)$ đều chứa $B$ và đều chứa $I$ (vì $I\in AD\subset (ABD)$), nên giao tuyến là $BI$.
d) Sai: Hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$ không có điểm chung rõ ràng và không có cơ sở để giao tuyến song song với $IJ$. Cụ thể $MN$ không nói chung song song với $BC$ (vì $M,N$ là điểm bất kỳ trên $AB,AC$), và $IJ$ không nằm trong $(DMN)$; không có dữ kiện nào bảo đảm giao tuyến song song với $IJ$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$I,J$ là hai điểm chung của $(IBC)$ và $(JAD)$ nên giao tuyến là $IJ$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N,D$ là hai điểm chung của $(MND)$ và $(ADC)$ nên giao tuyến là $ND$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B,I$ là hai điểm chung của $(BCI)$ và $(ABD)$ nên giao tuyến là $BI$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không có dữ kiện bảo đảm giao tuyến của $(IBC)$ và $(DMN)$ song song với $IJ$; khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì $C\in (SAC)\cap (SBC)$ và $S$ chung, nên giao tuyến là $SC$. B đúng vì $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$, cùng với $S$ chung nên giao tuyến là $SO$. C đúng vì $I=AD\cap BC$ nên $I\in (SAD)\cap (SBC)$, giao tuyến là $SI$. D sai: mặt phẳng $(SID)$ chứa $S,I,D$ và mặt phẳng $(SCO)$ chứa $S,C,O$; hai mặt phẳng này chỉ có điểm chung $S$ (không có cơ sở để $B$ thuộc cả hai mặt phẳng), nên giao tuyến của chúng không phải là đường thẳng $SB$. Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): Cho hình chóp $S.ABCD$, $O=AC\cap BD$, $I=AB\cap CD$, tứ giác $ABCD$ không phải hình thang.
a) Đúng: $B\in AB\subset (SAB)$ và $B\in BC\subset (SBC)$, hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $B$ phân biệt nên giao tuyến là $SB=(SAB)\cap (SBC)$.
b) Đúng: $S$ chung; $O=AC\cap BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $S,O$ nên giao tuyến là đường thẳng $SO$.
c) Sai: $I\in AB\subset (SAB)$ và $I\in CD\subset (SCD)$ nên $I$ thuộc cả hai mặt phẳng; ngoài ra $S$ cũng chung. Giao tuyến là đường thẳng $SI$, không phải điểm $I$.
d) Đúng: Nếu $SJ=(SAD)\cap (SBC)$ thì $J\in (SAD)$ và $J\in (SBC)$; mặt khác $(SAD)\cap (ABCD)=AD$, $(SBC)\cap (ABCD)=BC$ nên $J$ thuộc mặt đáy $(ABCD)$ và $J=AD\cap BC$.
Kết quả Đ - Đ - S - Đ khớp với đáp án nguồn (Câu 2: D - D - S - D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành, $O=AB\cap CD$ là giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng đáy nên $O\in (ABCD)$ và $A,B,C,D,O$ đồng phẳng (A, C đúng). Ba điểm $S,A,D$ không thẳng hàng nên luôn đồng phẳng (B đúng). Khẳng định D sai vì $S\in SO$ chỉ là hiển nhiên (SO là đường thẳng qua S) nhưng không suy ra $S\in (ABCD)$; thực tế $S$ nằm ngoài mặt phẳng đáy vì $S.ABCD$ là hình chóp. Vậy khẳng định không đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $O=AB\cap CD$ (hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song trong hình bình hành nhưng ở đây $O$ là giao điểm khi kéo dài — thực chất theo đề, $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$). Xét từng khẳng định:
- A: $(SAB)\cap (ABCD)=AB$ (vì $AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng), không phải $CD$. Sai.
- B: Mặt phẳng $(SDC)$ chứa đường thẳng $DC$, mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $AB$. Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên $O\in (SAB)$ và $O\in (SDC)$. Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$. Theo tính chất giao tuyến, $(SDC)\cap (SAB)=SO$. Đúng.
- C: $(SAC)\cap (SBC)=SC$ (giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm chung $S$ và $C$), không phải $BC$. Sai.
- D: $(ABCD)\cap (SAB)=AB$, không phải $SO$. Sai.
Vậy khẳng định đúng là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$ có chung hai điểm phân biệt $S$ và $A$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SA$, không phải $AB$. Do đó khẳng định D sai. Các khẳng định A, B, C đúng vì: $(SAC)\cap (SBD)$ chứa $S$ và $I=AC\cap BD$ nên là $SI$; $(SAB)\cap (SCD)$ chứa $S$ và $J=AB\cap CD$ nên là $SJ$; $(SAD)\cap (SBC)$ chứa $S$ và $K=AD\cap BC$ nên là $SK$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N\in BC$ và $P\in BD$ nên cả $N,P$ đều thuộc mặt phẳng $(BCD)$, do đó đường thẳng $NP$ nằm trong $(BCD)$. Xét mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(BCD)$: chúng có chung hai điểm $N$ và $P$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $NP$. Đường thẳng $CD$ nằm trong $(BCD)$ và cắt giao tuyến $NP$ tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$ do $P$ chia $BD$ theo tỉ số $BP=2PD$ khác vị trí trung điểm). Khi đó $Q=CD\cap NP\in (MNP)$, tức $Q$ là giao điểm của $CD$ với mặt phẳng $(MNP)$. Vậy giao điểm của $CD$ và $(MNP)$ là giao điểm của $CD$ và $NP$. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trong tam giác $SAB$ nên đường thẳng $SM$ cắt cạnh $AB$ tại điểm $E$ (do $S$ và $M$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $SM$ nằm trong $(SAB)$ và cắt $AB$). Khi đó $E\in SM\subset (SMN)$ và $E\in AB\subset (ABC)$, tức $E$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(ABC)$. Ngoài ra $N\in BC\subset (ABC)$ và $N\in (SMN)$ cũng là điểm chung. Vậy giao tuyến của $(SMN)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $NE$ với $E=SM\cap AB$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d\subset (P)$ nên nếu $M\in d$ thì $M\in (P)$: mệnh đề (I) đúng. Mệnh đề (II) sai vì một điểm thuộc $(P)$ chưa chắc thuộc $d$ (mặt phẳng $(P)$ chứa vô số điểm không nằm trên $d$). Mệnh đề (III) sai vì nó là đảo của (I); thực tế $M\notin d$ vẫn có thể $M\in (P)$ (lấy $M$ bất kỳ trong $(P)$ ngoài $d$), khi đó tiền đề đúng nhưng kết luận sai. Vậy chỉ có 1 mệnh đề đúng, chọn đáp án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(BCD)$ và $(ABD)$. Vì $I\in MN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(CMN)$. Do $A,B,C,D$ không cùng thuộc một mặt phẳng, nếu $I\in (ACD)$ thì $I$ là giao điểm của $BD$ với $(ACD)$, suy ra $I$ phải nằm trên giao tuyến của $(ABD)$ và $(ACD)$ là $AD$; nhưng $I\in BD$ và $I\notin AD$ (vì $BD$ cắt $AD$ chỉ tại $D$, còn $I$ là giao của $MN$ với $BD$ với $M\in AB,N\in AD$ nên $I\ne D$). Vậy $I$ không thuộc $(ACD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A) Sai — nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung và vô số đường thẳng chung, không có đường thẳng chung duy nhất (thiếu điều kiện 'phân biệt'). B) Đúng — hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng duy nhất đi qua điểm đó (hệ thức chứa giao tuyến). C) Đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung mà không trùng nhau thì giao tuyến là một đường thẳng chứa vô số điểm chung; nếu trùng nhau thì cũng có vô số điểm chung. D) Đúng — ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì cùng thuộc giao tuyến của chúng, nên ba điểm đó thẳng hàng. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (key A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SAD)$ có điểm chung $S$; $G=EF\cap AD$ thuộc cả $EF\subset (SEF)$ lẫn $AD\subset (SAD)$, nên giao tuyến là $SG$. c) Sai: Xét $(SAB)$ và $(SCD)$: chúng có điểm chung $S$ và $E=AB\cap CD$ (vì $E\in AB\subset (SAB)$, $E\in CD\subset (SCD)$), nên giao tuyến là $SE$, không phải $SF$ ($F$ không thuộc $(SAB)$ hay $(SCD)$). Tương tự, $(SAC)$ và $(SBD)$ có điểm chung $S$ và $F=AC\cap BD$, nên giao tuyến là $SF$, không phải $SE$. Khẳng định c hoán đổi vai trò của $SE$ và $SF$ nên sai. d) Đúng: $(SAB)$ và $(ABCD)$ có hai điểm chung là $A$ và $B$, nên giao tuyến là $AB$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, do đó $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SEF)$ và $(SAD)$ chung điểm $S$; $G=EF\cap AD$ với $G\in EF\subset (SEF)$ và $G\in AD\subset (SAD)$, nên giao tuyến là $SG$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì chung $S$ và $E=AB\cap CD$), còn giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì chung $S$ và $F=AC\cap BD$). Khẳng định hoán đổi $SE$ và $SF$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ có hai điểm chung $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $SAC$, $E$ là trung điểm của $SA$ và $O$ là trung điểm của $AC$, do đó đường thẳng $OE$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Vậy mặt phẳng chứa $OE$ là $(SAC)$, khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(ABD)$ và $(BCD)$. Lại có $I\in MN$ với $M\in (CMN)$, $N\in (CMN)$ nên $MN\subset (CMN)$, suy ra $I$ thuộc $(CMN)$. Mặt phẳng $(ACD)$ chỉ chứa $A,C,D$; điểm $I$ nằm trên $BD$ với $I\notin \{B,D\}$ (do $MN$ cắt $BD$ tại điểm trong), nên $I$ không thuộc $(ACD)$ vì nếu $I\in (ACD)$ thì $I$ nằm trên giao tuyến $BD$ của $(ABD)$ và $(ACD)$... thực chất $I$ thuộc đường thẳng $BD$ nhưng không trùng $D$, còn $(ACD)$ cắt đường thẳng $BD$ chỉ tại $D$ (vì $B\notin (ACD)$). Vậy $I$ không thuộc $(ACD)$. Đáp án khớp với key nguồn: D.