Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

a) Xếp 5 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có $5!$ cách xếp.
Xếp 4 học sinh khối 11 đứng cạnh nhau thành một nhóm có $4!$ cách xếp.
Xếp 3 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có $3!$ cách xếp. (0,25 điểm)
Vì khối 12 không đứng ở đầu hàng, nên vị trí đầu hàng chỉ có thể là nhóm khối 10, 11 nên có 2 cách chọn. 2 nhóm còn lại có $2!$ cách chọn.
Vậy số cách xếp 12 học sinh thành một hàng dọc sao cho các học sinh cùng khối đứng cạnh nhau và khối 12 không đứng ở đầu hàng là:
$2\cdot 2!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!=69120$ cách xếp. (0,25 điểm)

b) Số cách chọn 4 học sinh từ 15 học sinh đã cho là $n(\Omega )=C_{12}^4=495$.
Gọi biến cố $A$: "4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối".
$\overline{A}$: "4 học sinh được chọn mỗi khối có ít nhất một em".
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối có ít nhất một em được tính như sau:
+) Khối 10 có 2 học sinh, các khối 11, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là:
$$C_5^2\cdot C_4^1\cdot C_3^1=120.$$
+) Khối 11 có 2 học sinh, các khối 10, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là:
$$C_5^1\cdot C_4^2\cdot C_3^1=90.$$
+) Khối 12 có 2 học sinh, các khối 10, 11 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là:
$$C_5^1\cdot C_4^1\cdot C_3^2=60.$$
Suy ra, số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
$$n(\overline{A})=120+90+60=270.\text{ Neˆn }P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{270}{495}=\frac{6}{11}.$$ (0,25 điểm)
Vậy $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{6}{11}=\frac{5}{11}$. (0,25 điểm)

(Lưu ý: nguồn in 'Xếp 3 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau' — theo ngữ cảnh phải là 'khối 12' (lỗi chính tả trong nguồn, giữ nguyên).)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng không tạo thành tam giác, tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường thẳng và 1 đỉnh trên đường thẳng kia. Trường hợp 1: 2 đỉnh trên $d_1$ và 1 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^2\cdot C_8^1=66\cdot 8=528$. Trường hợp 2: 1 đỉnh trên $d_1$ và 2 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^1\cdot C_8^2=12\cdot 28=336$. Tổng: $528+336=864$ tam giác, khớp với đáp án nguồn (864).

a) Xếp 6 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 6! cách xếp.
Xếp 5 học sinh khối 11 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 5! cách xếp.
Xếp 4 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 4! cách xếp. (0,25 điểm)
Vì khối 12 không đứng ở đầu hàng, nên vị trí đầu hàng chỉ có thể là nhóm khối 10, 11 nên có 2 cách chọn. 2 nhóm còn lại có 2! cách chọn.
Vậy số cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho các học sinh cùng khối đứng cạnh nhau và khối 12 không đứng ở đầu hàng là:
$2\cdot 2!\cdot 6!\cdot 5!\cdot 4!=8294400$ cách xếp. (0,25 điểm)

b) Số cách chọn 4 học sinh từ 15 học sinh đã cho là $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Gọi biến cố A: "4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối".
$\overline{A}$: "4 học sinh được chọn mỗi khối có ít nhất một em".
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối có ít nhất một em được tính như sau:
+) Khối 10 có 2 học sinh, các khối 11, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^2.C_5^1.C_4^1=300$.
+) Khối 11 có 2 học sinh, các khối 10, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^1.C_5^2.C_4^1=240$.
+) Khối 12 có 2 học sinh, các khối 10, 11 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^1.C_5^1.C_4^2=180$.
Suy ra, số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
$$n(\overline{A})=300+240+180=720.\text{ Neˆn }P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}.$$ (0,25 điểm)
Vậy $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{48}{91}=\frac{43}{91}$. (0,25 điểm)

(Lưu ý: nguồn gốc ghi nhầm 'Xếp 4 học sinh khối 10' thay vì 'khối 12' ở lời giải phần a; giữ nguyên theo nguồn gốc.)

a) Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ $(a_1\ne 0)$. Chọn $a_4$: 1 cách $(a_4=0)$. Chọn $a_1$: 7 cách chọn. Chọn $a_2$: 8 cách chọn. Chọn $a_3$: 8 cách chọn. (0,25 điểm) Vậy có $\mathrm{1.7.8.8}=448$ (số) tự nhiên có bốn chữ số mà số đó chia hết cho 5. (0,25 điểm)

b) Chọn ngẫu nhiên 3 bị trong 17 bi: $C_{17}^3$. Suy ra $n(\Omega )=C_{17}^3$. (0,25 điểm) Gọi $A$ là biến cố “3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu”. Biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “3 viên bi được chọn có đủ cả ba màu”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$: $n(\overline{A})=\mathrm{4.6.7}=168$. (0,25 điểm) Xác suất của $\overline{A}$: $P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{168}{C_{17}^3}=\frac{21}{85}$. Xác suất cần tìm: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{21}{85}=\frac{64}{85}$. (0,25 điểm)

a) Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ ($a_1\ne 0$). Chọn $a_4$: 1 cách ($a_4=0$). Chọn $a_1$: 6 cách chọn. Chọn $a_2$: 7 cách chọn. Chọn $a_3$: 7 cách chọn. Vậy có $\mathrm{1.6.7.7}=294$ (số) tự nhiên có bốn chữ số mà số đó chia hết cho 5. (0,25 + 0,25 điểm)

b) Chọn ngẫu nhiên 3 bị trong 20 bi: $C_{20}^3$. Suy ra $n(\Omega )=C_{20}^3$. (0,25 điểm) Gọi $A$ là biến cố “3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu”. Biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “3 viên bị được chọn có đủ cả ba màu”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$: $n(\overline{A})=\mathrm{5.7.8}=280$. (0,25 điểm) Xác suất của $\overline{A}$: $P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{280}{C_{20}^3}=\frac{14}{57}$. Xác suất cần tìm: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{14}{57}=\frac{43}{57}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^4=715$. Số cách chọn xấu (4 học sinh thuộc cả 3 lớp, tức mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh) với $a+b+c=4$, $a,b,c\ge 1$:
- $(2,1,1)$: $C_6^2\cdot C_4^1\cdot C_3^1=15\cdot 4\cdot 3=180$
- $(1,2,1)$: $C_6^1\cdot C_4^2\cdot C_3^1=6\cdot 6\cdot 3=108$
- $(1,1,2)$: $C_6^1\cdot C_4^1\cdot C_3^2=6\cdot 4\cdot 3=72$
Tổng cách xấu: $180+108+72=360$. Vậy số cách chọn thỏa mãn (thuộc không quá hai lớp) là $715-360=355$, trùng với đáp án nguồn ở trang 8 (bảng ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM, mã đề 0003, TLN câu 3 = 355).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là $C_{12}^4=495$. Số cách chọn sao cho 4 học sinh thuộc cả 3 lớp (không thỏa mãn) là các phân loại kiểu $(2,1,1)$: chọn 2 từ một lớp và 1 từ mỗi lớp còn lại:
- 2 lớp A, 1 lớp B, 1 lớp C: $C_5^2\cdot C_4^1\cdot C_3^1=10\cdot 4\cdot 3=120$
- 1 lớp A, 2 lớp B, 1 lớp C: $C_5^1\cdot C_4^2\cdot C_3^1=5\cdot 6\cdot 3=90$
- 1 lớp A, 1 lớp B, 2 lớp C: $C_5^1\cdot C_4^1\cdot C_3^2=5\cdot 4\cdot 3=60$

Tổng cách không thỏa mãn: $120+90+60=270$. Vậy số cách thỏa mãn (thuộc không quá 2 lớp) là $495-270=225$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 225.

HD chấm (1,0 điểm): Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là $\overline{abcd}$ (0,25 điểm). TH1: $d=0$. Có $\mathrm{1.6.5.4}=120$ số (0,25 điểm). TH2: $d=5$. Có $\mathrm{1.5.5.4}=100$ số (0,25 điểm). Có tất cả $120+100=220$ (số) (0,25 điểm).

Xếp chỗ cho hai bạn Ngọc và Minh ngồi đối diện nhau và không ngồi ở vị trí ghế đầu và ghế cuối của dãy: có $2.3=6$ (cách).
4 cặp ghế còn lại: Chọn vị trí ghế ngồi cho các bạn nam là một trong hai vị trí đối diện, còn lại là nữ, có $2^4=16$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nam vào 4 ghế đã chọn: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ vào 4 ghế còn lại: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Theo quy tắc nhân: $\mathrm{6.16.24.24}=55296$ (cách).

Xếp chỗ cho hai bạn An và Vy ngồi đối diện nhau và ngồi ở vị trí ghế đầu hoặc ghế cuối của dãy: có $2.2=4$ (cách).
4 cặp ghế còn lại: Chọn vị trí ghế ngồi cho các bạn nam là một trong hai vị trí đối diện, còn lại là nữ, có $2^4=16$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nam vào 4 ghế đã chọn: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ vào 4 ghế còn lại: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Theo quy tắc nhân: $\mathrm{4.16.24.24}=36864$ (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối ba chữ số 1, 2, 3 đứng cạnh nhau là một khối. Chọn 2 chữ số còn lại đôi một khác nhau từ {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: có $A(7;2)=42$ cách (kể cả thứ tự). Khối 1,2,3 có thể ở các vị trí {1;2;3}, {2;3;4} hoặc {3;4;5} (3 cách) và hoán vị bên trong khối có $3!=6$ cách. Tổng: $42\cdot 3\cdot 6=756$. Trừ các số có chữ số 0 ở đầu: 0 đứng đầu chỉ xảy ra khi khối ở vị trí {2;3;4} hoặc {3;4;5}, khi đó chữ số còn lại chọn từ 6 chữ số khác 0: $6\cdot 6\cdot 2=72$ số. Vậy kết quả: $756-72=684$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số quả theo màu: đỏ $n_D=8$, xanh $n_X=3$, vàng $n_V=1$. Lấy 3 quả có đúng hai màu, xét các cặp màu:
- Đỏ và xanh: $C_8^2{C}_3^1+C_8^1{C}_3^2=28\cdot 3+8\cdot 3=84+24=108$.
- Đỏ và vàng: chỉ được $2$ đỏ $+1$ vàng (vì chỉ có 1 quả vàng): $C_8^2{C}_1^1=28$.
- Xanh và vàng: chỉ được $2$ xanh $+1$ vàng: $C_3^2{C}_1^1=3$.
Tổng: $108+28+3=139$ cách.
Kiểm tra bằng cách đối: $C_{12}^3-C_8^3-C_3^3-8\cdot 3\cdot 1=220-56-1-24=139$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 139.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 36 học sinh (20 nam, 16 nữ). a) Chọn 3 học sinh không kể thứ tự nên số cách là $C_{36}^3=7140$, không phải $A_{36}^3$ → Sai. b) Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau (lớp trưởng, bí thư, văn nghệ) là chọn có kể thứ tự nên số cách là $A_{36}^3=36\cdot 35\cdot 34=42840$, không phải $C_{36}^3$ → Sai. c) Xác suất chọn 4 học sinh có đúng 2 nam: $P=\frac{C_{20}^2\cdot C_{16}^2}{C_{36}^4}=\frac{190\cdot 120}{58905}=\frac{22800}{58905}\approx 0,387\ne \frac{5}{9}$ → Sai. d) Xác suất chọn 3 học sinh có cả nam và nữ $=1-\frac{C_{20}^3+C_{16}^3}{C_{36}^3}=1-\frac{1140+560}{7140}=\frac{5440}{7140}=\frac{272}{357}=\frac{16}{21}$ → Đúng (khớp đáp án SSD của mã đề 209).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh không kể thứ tự: $C_{36}^3=7140$ cách, không phải $A_{36}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí phân biệt là chọn có thứ tự: $A_{36}^3=42840$ cách, không phải $C_{36}^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_{20}^2{C}_{16}^2}{C_{36}^4}=\frac{22800}{58905}\approx 0,387\ne \frac{5}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-\frac{C_{20}^3+C_{16}^3}{C_{36}^3}=1-\frac{1700}{7140}=\frac{16}{21}$.

a) Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10.

Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số 1, 4, 7, 10. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10$!

Số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam là 6!.4! cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau.

Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2.2=6$.

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $6.3!.5!$.

Gọi A: "Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền".

Ta có: $n(A)=4!.6!-6.3!.5!=12960$.

$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}$.

(Điểm: 0,5 + 0,5)

Đáp án chính thức (bảng đáp án, mã đề 0102, Phần II, Câu 2): Đ S S Đ, tức a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 3 khối (3 lớp 10, 4 lớp 11, 5 lớp 12) sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Vì chọn 4 người từ 3 khối nên có đúng một khối đóng góp 2 người, hai khối còn lại mỗi khối 1 người. Các trường hợp:
- 2 khối 10, 1 khối 11, 1 khối 12: $C_3^2\cdot C_4^1\cdot C_5^1=3\cdot 4\cdot 5=60$.
- 1 khối 10, 2 khối 11, 1 khối 12: $C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_5^1=3\cdot 6\cdot 5=90$.
- 1 khối 10, 1 khối 11, 2 khối 12: $C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_5^2=3\cdot 4\cdot 10=120$.
Tổng: $60+90+120=270$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (270).

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 thẻ $1,2,3,4,5,6,7,8$. Xét số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 là $\{3,6\}$ (2 thẻ), nhóm dư 1 là $\{1,4,7\}$ (3 thẻ), nhóm dư 2 là $\{2,5,8\}$ (3 thẻ). Ba chữ số có tổng chia hết cho 3 khi: (1) cả ba cùng dư 1: $C(3,3)=1$ bộ; (2) cả ba cùng dư 2: $C(3,3)=1$ bộ; (3) cả ba cùng dư 0: $C(2,3)=0$ bộ; (4) lấy một thẻ từ mỗi nhóm: $2\cdot 3\cdot 3=18$ bộ. Vậy có 20 bộ ba chữ số, mỗi bộ xếp thành $3!=6$ số ba chữ số khác nhau. Kết quả: $20\cdot 6=120$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 6: 120).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sắp xếp tùy ý 8 học sinh: $8!=40320$ cách → Đúng. b) An và Bình cạnh nhau: gộp thành một khối, có $2!$ cách đổi chỗ trong khối và sắp khối với 6 người còn lại: $2\cdot 7!=10080$ cách $\ne 5040$ → Sai. c) Nam nữ xen kẽ: 2 cách chọn kiểu (N-Nam-N... hoặc Nam-N-Nam...), $4!\cdot 4!$ cách xếp, tổng $2\cdot 4!\cdot 4!=1152$ → Đúng. d) Giữa An và Bình đúng một học sinh: chọn vị trí $(i,i+2)$ có 6 cách, 2 cách đổi chỗ An-Bình, 6 người còn lại xếp $6!$ cách: $6\cdot 2\cdot 6!=8640$ cách $\ne 4320$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức Đ S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$8!=40320$ cách sắp xếp tùy ý.
b) (AI giải đề cho tôi)
An và Bình cạnh nhau: $2\cdot 7!=10080$ cách, không phải 5040.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ nam nữ: $2\cdot 4!\cdot 4!=1152$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giữa An và Bình đúng một người: $6\cdot 2\cdot 6!=8640$ cách, không phải 4320.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 thẻ mang chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (mỗi chữ số một thẻ, các chữ số đôi một khác nhau). Một số có ba chữ số chia hết cho 3 khi tổng ba chữ số chia hết cho 3. Phân loại theo số dư mod 3: dư 0: $\{3,6\}$ (2 thẻ); dư 1: $\{1,4,7\}$ (3 thẻ); dư 2: $\{2,5,8\}$ (3 thẻ). Ba chữ số có tổng chia hết cho 3 khi bộ dư là: $(0,1,2)$: chọn 1 thẻ từ mỗi nhóm: $2\cdot 3\cdot 3=18$ cách; $(1,1,1)$: $C_3^3=1$ cách; $(2,2,2)$: $C_3^3=1$ cách. Vậy có $18+1+1=20$ cách chọn bộ ba chữ số. Mỗi bộ ba xếp thành $3!=6$ số có ba chữ số khác nhau. Kết quả: $20\cdot 6=120$ số, khớp với đáp án nguồn 120.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 3 HS khối 10, 4 HS khối 11, 5 HS khối 12. Chọn 4 HS sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS, nên phân bố số người theo các trường hợp:
- Trường hợp (2,1,1): chọn 2 HS khối 10, 1 HS khối 11, 1 HS khối 12: $C_3^2\cdot C_4^1\cdot C_5^1=3\cdot 4\cdot 5=60$.
- Trường hợp (1,2,1): $C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_5^1=3\cdot 6\cdot 5=90$.
- Trường hợp (1,1,2): $C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_5^2=3\cdot 4\cdot 10=120$.
Tổng số cách: $60+90+120=270$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (270).