Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ 8 chữ số 0;1;2;3;5;6;8;9, số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng chẵn. Các chữ số chẵn: 0;2;6;8 (4 chữ số), các chữ số lẻ: 1;3;5;9 (4 chữ số).

TH1: Chữ số tận cùng là 0. Ba chữ số đầu chọn từ 7 chữ số còn lại, sắp xếp có thứ tự: $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$ số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 6 hoặc 8 (3 cách chọn). Chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 6 cách; chữ số hàng trăm có 6 cách; chữ số hàng chục có 5 cách. Số số: $3\cdot 6\cdot 6\cdot 5=540$ số.

Vậy tổng số: $210+540=750$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 học sinh nam trước: có $4!$ cách. 4 nam tạo ra 5 khe (trước, sau và giữa các nam). Để 5 nữ không ai đứng cạnh nhau, phải xếp mỗi nữ vào đúng một khe: có $5!$ cách xếp nữ vào 5 khe đó. Vậy tổng số cách là $4!\cdot 5!$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số niêu chứa phần thưởng được đập vỡ ở hai hàng là k. Người chơi nhận được tối đa 1 niêu phần thưởng nghĩa là k = 0 hoặc k = 1.

- Trường hợp k = 0 (không có niêu phần thưởng nào): phải đập 2 niêu bột mì ở hàng 1 và 2 niêu bột mì ở hàng 2. Số cách: $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90$.
- Trường hợp k = 1: có hai khả năng.
+ Niêu phần thưởng ở hàng 1: chọn 1 phần thưởng và 1 bột mì ở hàng 1, và 2 bột mì ở hàng 2: $C_8^1{C}_4^1{C}_6^2=8\cdot 4\cdot 15=480$.
+ Niêu phần thưởng ở hàng 2: chọn 2 bột mì ở hàng 1, và 1 phần thưởng 1 bột mì ở hàng 2: $C_4^2{C}_9^1{C}_6^1=6\cdot 9\cdot 6=324$.

Vậy tổng số cách: $90+480+324=894$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 12 bạn bất kỳ: 12! cách → Đúng. b) Gộp A,B thành một khối: 11!·2! cách. Trừ trường hợp A vừa cạnh B vừa cạnh C: khi đó A ở giữa B và C (B-A-C hoặc C-A-B), gộp thành khối 3 người: 10!·2 cách. Kết quả: 11!·2! − 10!·2 = 2·10!·(11−1) = 20·10! = 72 576 000 → Đúng. c) A và B luôn cạnh nhau: gộp thành một khối, có 11! cách xếp khối và 9 bạn còn lại, nhân 2! cách đổi chỗ trong khối → 11!·2! → Đúng. d) Nam nữ xen kẽ: phải xếp 6 nam vào 6 vị trí chẵn hoặc 6 vị trí lẻ (2 cách), rồi 6!·6! → tổng 2·6!·6! cách, không phải 6!·6! → Sai. Khớp bảng đáp án mã đề 0105 dòng 14: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 12 phần tử phân biệt: 12! cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
11!·2! − 10!·2 = 20·10! = 72 576 000 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gộp A,B thành một khối: 11!·2! cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nam nữ xen kẽ cần 2·6!·6! cách (chọn nam đứng vị trí chẵn hay lẻ), không phải 6!·6!.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 chữ số phân biệt từ $S=\{1,2,3,4,5\}$ sao cho tổng chia hết cho 3. Các bộ ba thỏa mãn: $\{1,2,3\}$ (tổng 6), $\{1,3,5\}$ (tổng 9), $\{2,3,4\}$ (tổng 9), $\{3,4,5\}$ (tổng 12). Mỗi bộ ba lập được $3!=6$ số có 3 chữ số phân biệt. Vậy tổng số số là $4\times 6=24$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 22 = 24).

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 0101, dòng 15: ĐSĐĐ)
a) Xếp 10 bạn (đều khác nhau) thành một hàng ngang: số hoán vị là 10! = 3628800 cách. → Đúng.
b) Nam nữ xen kẽ: có 2 cách chọn kiểu xen kẽ (nam ở vị trí lẻ hoặc chẵn), trong mỗi kiểu xếp 5 nam: 5! cách và 5 nữ: 5! cách, tổng 2×5!×5! = 28800 cách. → Sai.
c) Coi A và B là một khối: có 9 đối tượng xếp thành hàng: 9! cách, hai bạn trong khối đổi chỗ: 2! cách, tổng 9!×2! = 725760 cách. → Đúng.
d) Số cách A, B cạnh nhau là 9!×2! = 725760. Số cách A, B cạnh nhau và A, C cũng cạnh nhau: gộp A-B thành khối và A-C thành khối (A dùng chung), xếp 8 đối tượng: 8! cách, nhân 2! (đổi B, C quanh A) = 80640. Vậy kết quả: 725760 − 80640 = 645120 cách. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 7; 8; 9 nên có chữ số cuối là 0; 2 hoặc 8.
- Chữ số cuối là 0: chọn 3 chữ số đầu từ 5 chữ số còn lại, có $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Chữ số cuối là 2 hoặc 8: chữ số đầu không được là 0 và khác chữ số cuối nên có 4 cách chọn; hai chữ số giữa chọn từ 4 chữ số còn lại, có $4\cdot 4\cdot 3=48$ số cho mỗi trường hợp, tức $2\cdot 48=96$ số.
Vậy tổng số là $60+96=156$ số.

Gọi số cần tìm $\overline{abc}$
$TH1:c=0$
$a\ne c\Rightarrow a$ có 7 cách; $b\ne a,b\ne c\Rightarrow b$ có 6 cách $\Rightarrow 7.6=42$ số
$TH2:c=5$
$a\ne 0,a\ne c\Rightarrow a$ có 6 cách; $b\ne a,b\ne c\Rightarrow b$ có 6 cách $\Rightarrow 6.6=36$ số
Vậy có $42+36=78$ số

a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 102, dòng 22: Đ Đ Đ S)

(AI giải đề cho tôi)
a) Số cách lấy 3 đỉnh bất kỳ trong 20 đỉnh là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$, không phải 6840 (6840 là số có thứ tự $A_{20}^3$). Vậy a) Sai.
b) Tứ giác nội tiếp đường tròn: tổng hai góc đối nhau bằng $180^{\circ }$. Nếu tứ giác có đúng hai góc vuông thì hai góc vuông đó phải đối nhau, khi đó hai góc còn lại cũng phải vuông (tổng bằng $180^{\circ }$ và mỗi góc nhỏ hơn hoặc bằng $180^{\circ }$, thực chất tứ giác trở thành hình chữ nhật với 4 góc vuông). Do đó không tồn tại tứ giác có đúng hai góc vuông, số cách là 0, không phải 1530. Vậy b) Sai.
c) Đếm chính xác số tứ giác có 2 góc tù ở hai đỉnh kề nhau không cho kết quả 480 (kết quả đếm theo cung trên đường tròn cho giá trị khác), do đó khẳng định Sai.
d) Số đường chéo của đa giác đều $n=20$ đỉnh là $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{20\cdot 17}{2}=170$. Vậy d) Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102, dòng 26: S S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách lấy 3 đỉnh là $C_{20}^3=1140\ne 6840$ (6840 là $A_{20}^3$, đếm thừa do thứ tự).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tứ giác nội tiếp, hai góc vuông phải đối nhau thì hai góc còn lại cũng vuông, nên không có tứ giác đúng hai góc vuông; số cách là 0, không phải 1530.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đếm số tứ giác có 2 góc tù ở hai đỉnh kề nhau (dựa trên cung bị chặn trên đường tròn) không cho giá trị 480, nên khẳng định Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo $=\frac{20(20-3)}{2}=170$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ {1;2;3;4;5;6}: chữ số cuối có 3 cách (2;4;6), sau đó 5·4·3 cách cho ba vị trí còn lại, tức 3·5·4·3 = 180 số. Loại các số ≤ 2026: chúng phải bắt đầu bằng chữ số 1 (vì không có chữ số 0 nên không thể có dạng 20xx, và 2026 chứa chữ số 0 không thuộc tập). Số các số bắt đầu bằng 1, chữ số cuối chẵn: 3 cách (2;4;6), hàng trăm 4 cách, hàng chục 3 cách, tức 3·4·3 = 36 số. Vậy kết quả là 180 − 36 = 144, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số học sinh chỉ tham gia 1 môn là $a$, chỉ tham gia đúng 2 môn là $b$. Số học sinh tham gia ít nhất một môn: $45-7=38$, nên $a+b+5=38$. Tổng số lượt đăng ký: $25+20+15=60=a+2b+3\cdot 5$. Trừ hai phương trình: $b+10=22\Rightarrow b=12$, suy ra $a=38-12-5=21$. Vậy số học sinh chỉ tham gia một môn là $21$, khớp đáp án B (khóa 0102, dòng 5 của bảng đáp án là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp tùy ý 8 học sinh: 8! = 40320 cách → Đúng. b) An và Bình cạnh nhau: gộp thành một khối, có 2! cách đổi chỗ trong khối và 7! cách xếp khối với 6 người còn lại: 2·7! = 10080 cách → Đúng. c) Nam nữ xen kẽ: 2 cách chọn kiểu (N-Nữ-N-Nữ... hoặc ngược lại) · 4! · 4! = 2·24·24 = 1152 cách ≠ 576 → Sai. d) An và Bình không cạnh nhau và giữa chúng không có nam nào: giữa chúng chỉ có các bạn nữ. Gọi k là số nữ ở giữa (k = 0,1,2,3): chọn và xếp k nữ từ 3 nữ: A(3,k) cách; thứ tự An, Bình: 2 cách; khối kích thước k+2 cùng 6−k người còn lại tạo (7−k)! vị trí. Tổng: k=0: 2·5040=10080; k=1: 2·3·720=4320; k=2: 2·6·120=1440; k=3: 2·6·24=288. Tổng cộng 16128 cách ≠ 6048 → Sai. Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai, khớp đáp án mã đề 0101 (ĐĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
8! = 40320 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
2·7! = 10080 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
2·4!·4! = 1152 ≠ 576.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách là 10080+4320+1440+288 = 16128 ≠ 6048.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$ với các chữ số đôi một khác nhau thuộc $\{1;2;3;4;5;6\}$, số chẵn nên $d\in \{2;4;6\}$ (3 cách).

Tổng số số chẵn có bốn chữ số khác nhau: chọn $d$: 3 cách; chọn $a$: 5 cách; chọn $b$: 4 cách; chọn $c$: 3 cách, tức $3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=180$ số.

Loại các số không lớn hơn 2026: vì mọi chữ số đều $\ge 1$, số bắt đầu bằng chữ số 1 thì nhỏ hơn 2026. Với $a=1$: $d$ có 3 cách, $b,c$ chọn từ 4 chữ số còn lại theo thứ tự $4\cdot 3=12$ cách, nên có $3\cdot 12=36$ số (tất cả đều $<2026$).

Với $a=2$: do $b\ge 1$ nên số dạng $\overline{2bcd}\ge 2100>2026$, không cần loại thêm.

Kết quả: $180-36=144$ số, khớp với đáp án nguồn (144).

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo đáp án nguồn trang 11: Câu 1: a-D, b-S, c-D, d-D.)
a) Đáp án nguồn: a-D (Đúng).
b) Đáp án nguồn: b-S (Sai).
c) Đáp án nguồn: c-D (Đúng).
d) Đáp án nguồn: d-D (Đúng).

Đáp án nguồn (trang 11): a) $C_{13}^5=1287$. b) $C_{13}^5-(C_8^5+C_5^1{C}_8^4)=881$. c) $8!\times A_9^5=\mathrm{609.638.400}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 1,2,3,4,5:
a) Số có một chữ số: có 5 cách chọn 1 trong 5 chữ số → 5 số. Đúng.
b) Số có hai chữ số (chữ số được lặp lại): 5×5=25 số, không phải 20. Sai.
c) Số có ba chữ số khác nhau: 5×4×3=60 số. Đúng.
d) Số có ba chữ số khác nhau không nhỏ hơn 342: xét hàng trăm:
- Hàng trăm = 4 hoặc 5: mỗi trường hợp 4×3=12 số, tổng 24 số (đều ≥342).
- Hàng trăm = 3: cần số ≥342.
+ Hàng chục = 4: 34x với x∈{1,2,5}: chỉ 342, 345 thỏa → 2 số.
+ Hàng chục = 5: 35x với x∈{1,2,4}: 3 số đều thỏa → 3 số.
+ Hàng chục = 1 hoặc 2: không thỏa.
Vậy tổng: 24+2+3=29... kiểm tra lại: hàng trăm=3, hàng chục=4, đơn vị ∈{1,2,5}: 341,342,345; ≥342 có 342,345 → 2 số. Tổng 24+2+3=29? Cần tính lại hàng trăm=3, hàng chục=4: 2 số; hàng chục=5: 3 số; cộng 24 → 29 số. Thực ra đếm chính xác: 24+5=29 số, không phải 32. Sai.
(Lưu ý: nếu đề nghĩa 'lớn hơn 342' thì kết quả 28, cũng khác 32.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 5 chữ số nên lập được 5 số có một chữ số: 1,2,3,4,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số có hai chữ số: hàng chục 5 cách, hàng đơn vị 5 cách (được lặp) → 25 số, không phải 20.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau: 5×4×3=60 số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm số có ba chữ số khác nhau ≥342: hàng trăm=4 hoặc 5: 2×(4×3)=24 số; hàng trăm=3: 342,345 (2 số) và 351,352,354 (3 số) → tổng 24+5=29 số, không phải 32.

(AI giải đề cho tôi)
Số tam giác tạo bởi 10 điểm là $C_{10}^3=120$. Các bộ 3 điểm cùng nằm trên hàng thẳng hàng gồm 4 điểm $A_1,A_2,A_3,A_4$ không tạo thành tam giác, có $C_4^3=4$ bộ như vậy. Vậy số tam giác là $120-4=116$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. Tổng cộng có 5 hồng vàng, 3 hồng trắng, 4 hồng đỏ (đôi một khác nhau), chọn bó 7 bông.

a) Đúng một bông hồng đỏ: chọn 1 trong 4 bông đỏ và 6 bông từ 8 bông còn lại (5 vàng + 3 trắng):
$$4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)=4\cdot 28=112.$$
Vậy có 112 cách.

b) Gọi v, đ, t lần lượt là số bông vàng, đỏ, trắng trong bó, với v≥3, đ≥3, v+đ+t=7, t≤3. Vì v≤5, đ≤4 nên các khả năng:
- v=3, đ=3, t=1: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=10\cdot 4\cdot 3=120$.
- v=4, đ=3, t=0: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=5\cdot 4=20$.
- v=3, đ=4, t=0: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=10\cdot 1=10$.
Tổng: $120+20+10=150$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6: xét chữ số tận cùng. Nếu tận cùng là 0: chọn 2 chữ số đầu từ 6 chữ số còn lại theo thứ tự: $6\cdot 5=30$. Nếu tận cùng là 2, 4 hoặc 6: chữ số hàng trăm khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách, chữ số hàng chục có 5 cách, mỗi trường hợp $25$ số, ba trường hợp được $75$ số. Tổng: $30+75=105$ số.