Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 nam, 3 nữ. a) Xếp 3 nữ thành hàng ngang: $3!=6$ cách, không phải $3^3=27$, nên sai. b) Chọn 1 nam và 1 nữ: $5\times 3=15$ cách, đúng. c) Nhóm 4 học sinh có ít nhất 2 nữ: trường hợp 2 nữ 2 nam: $C(3,2)\cdot C(5,2)=3\cdot 10=30$; trường hợp 3 nữ 1 nam: $C(3,3)\cdot C(5,1)=5$; tổng 35 cách, không phải 30, nên sai. d) Xếp 5 nam trước: $5!$ cách, tạo 6 khoảng trống, chọn 3 chỗ cho 3 nữ: $A(6,3)$ cách, tổng $5!\cdot A(6,3)$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 học sinh nữ thành hàng ngang là hoán vị của 3 người: $3!=6$ cách, không phải $3^3=27$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam có 5 cách, chọn 1 nữ có 3 cách, theo quy tắc nhân: $5\times 3=15$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ít nhất 2 nữ gồm: 2 nữ 2 nam: $C(3,2)\cdot C(5,2)=30$ cách; 3 nữ 1 nam: $C(3,3)\cdot C(5,1)=5$ cách. Tổng 35 cách, không phải 30.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 nam: $5!$ cách, tạo 6 khoảng trống (kể cả hai đầu), chọn 3 trong 6 chỗ cho 3 nữ: $A(6,3)$ cách. Tổng $5!\cdot A(6,3)$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần đếm các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số $\{1,2,3,5,6,9\}$ và nhỏ hơn $6256$.

TH1: Chữ số đầu tiên nhỏ hơn 6, tức là 1, 2, 3, 5 (4 cách). Khi đó ba chữ số còn lại tùy ý chọn từ 5 chữ số còn lại: $4\cdot 5\cdot 4\cdot 3=240$ số.

TH2: Chữ số đầu tiên là 6. Số có dạng $6abc<6256$.
- Nếu $a<2$: chỉ có $a=1$ (1 cách), khi đó $b,c$ chọn từ 5 chữ số còn lại: $1\cdot 5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Nếu $a=2$: cần $b<5$, tức $b\in \{1,3\}$ (2 cách), khi đó $c$ chọn từ 4 chữ số còn lại: $2\cdot 4\cdot 3=24$ số.
- Nếu $b=5$: cần $c<6$, tức $c\in \{1,3\}$ (2 cách), chữ số cuối chọn từ 3 chữ số còn lại: $2\cdot 3=6$ số.

Tổng: $240+60+24+6=330$ số.

(AI giải đề cho tôi)
a) An và Bình ngồi hai đầu ghế: $2!\cdot 8!=2\cdot 40320=80640\ne 40320$ → Sai.
b) Số cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế: $10!=3628800$ → Đúng.
c) 5 bạn nam ngồi kề nhau: coi 5 nam là một khối, xếp $6!\cdot 5!=720\cdot 120=86400\ne 240$ → Sai.
d) Xen kẽ nam–nữ: có 2 sơ đồ (NỮNỮ... hoặc ỮNỮN...), mỗi sơ đồ $5!\cdot 5!=14400$ cách, tổng $28800$. Đếm cách An kề Bình: trong một sơ đồ, An ở vị trí nam đầu hàng có 1 vị trí nữ kề, 4 vị trí nam còn lại mỗi vị trí có 2 vị trí nữ kề, nên có $1+4\cdot 2=9$ cặp vị trí (An, Bình) kề nhau; với mỗi cặp, 4 nam còn lại và 4 nữ còn lại xếp $4!\cdot 4!=576$ cách. Vậy số cách An kề Bình: $2\cdot 9\cdot 576=10368$. Số cách An không kề Bình: $28800-10368=18432$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
An và Bình ngồi hai đầu ghế: $2!\cdot 8!=80640$, không phải 40320.
b) (AI giải đề cho tôi)
$10!=3628800$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$6!\cdot 5!=86400$, không phải 240.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng xen kẽ $2\cdot 5!\cdot 5!=28800$; An kề Bình $2\cdot 9\cdot 4!\cdot 4!=10368$; hiệu $28800-10368=18432$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số với chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau tức là các chữ số không giảm: $1\le a\le b\le c\le d\le 9$ (nếu có chữ số 0 thì 0 phải đứng đầu, không hợp lệ). Vậy mỗi số tương ứng một cách chọn 4 phần tử (có lặp, không xét thứ tự) từ tập {1,...,9}. Số cách là $C_{9+4-1}^4=C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{24}=495$.

(AI giải đề cho tôi)
Đội văn nghệ có 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C (tổng 9 học sinh). Cần chọn 5 học sinh sao cho mỗi lớp đều có người được chọn. Vì lớp 12C chỉ có 2 học sinh, các phân phối có thể của 5 người theo thứ tự (12A, 12B, 12C) là: (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3).
- (2,2,1): $C_4^2{C}_3^2{C}_2^1=6\cdot 3\cdot 2=36$
- (2,1,2): $C_4^2{C}_3^1{C}_2^2=6\cdot 3\cdot 1=18$
- (1,2,2): $C_4^1{C}_3^2{C}_2^2=4\cdot 3\cdot 1=12$
- (3,1,1): $C_4^3{C}_3^1{C}_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$
- (1,3,1): $C_4^1{C}_3^3{C}_2^1=4\cdot 1\cdot 2=8$
- (1,1,3): không thể vì lớp 12C chỉ có 2 học sinh → loại (đã liệt kê (1,1,3) nhưng thực tế $C_2^3=0$).
Tổng: $36+18+12+24+8=98$ cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Ba học sinh lớp A phải ngồi vào 3 ghế có số thứ tự cách đều nhau, tức 3 số tạo cấp số cộng. Các bộ ghế thoả mãn: $\{1,2,3\}$, $\{2,3,4\}$, $\{3,4,5\}$, $\{4,5,6\}$, $\{1,3,5\}$, $\{2,4,6\}$ — tổng cộng 6 bộ. Với mỗi bộ ghế của A, xét 3 ghế còn lại dành cho 2 học sinh B và 1 học sinh C, với điều kiện mọi ghế kề ghế của C (nếu có) phải là ghế của B:
- $S=\{1,2,3\}$, còn $\{4,5,6\}$: C ngồi ghế 5 (kề 4,6 đều là B) hoặc ghế 6 (kề 5 là B); ghế 4 kề ghế 3 thuộc A nên bị loại → 2 cách.
- $S=\{2,3,4\}$, còn $\{1,5,6\}$: ghế 1 kề ghế 2 (A), ghế 5 kề ghế 4 (A), chỉ ghế 6 thoả → 1 cách.
- $S=\{3,4,5\}$, còn $\{1,2,6\}$: chỉ ghế 1 thoả (kề ghế 2 là B) → 1 cách.
- $S=\{4,5,6\}$: đối xứng trường hợp đầu → 2 cách.
- $S=\{1,3,5\}$ và $S=\{2,4,6\}$: mọi ghế còn lại đều kề ghế của A → 0 cách.
Tổng số cách chọn vị trí cho C: $2+1+1+2=6$.
Với mỗi cách chọn vị trí, 3 học sinh lớp A hoán vị trong 3 ghế của mình: $3!=6$ cách; 2 học sinh lớp B hoán vị trong 2 ghế còn lại: $2!=2$ cách.
Vậy tổng số cách xếp là $6\times 6\times 2=72$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là tổng số vận động viên, trong đó có 2 nữ nên có $n-2$ nam. Mỗi cặp đấu 2 ván.

- Số ván các vận động viên (nam) chơi với nhau: mỗi cặp nam đấu 2 ván, tổng $2C_{n-2}^2=(n-2)(n-3)$ ván.
- Số ván họ chơi với hai vận động viên nữ: mỗi nam chơi 2 ván với mỗi nữ, tức $2\cdot 2\cdot (n-2)=4(n-2)$ ván.

Theo đề, số ván nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai nữ là 66:
$$(n-2)(n-3)-4(n-2)=66$$
$$(n-2)[(n-3)-4]=66\Rightarrow (n-2)(n-7)=66$$
$$n^2-9n+14=66\Rightarrow n^2-9n-52=0$$
$$n=\frac{9+\sqrt{81+208}}{2}=\frac{9+17}{2}=13(n>0).$$

Vậy có 13 vận động viên tham gia giải (11 nam và 2 nữ).

Tổng số ván tất cả các vận động viên đã chơi:
$$2C_{13}^2=13\cdot 12=156\text{ vaˊn}.$$

Kiểm tra: số ván nam chơi với nhau $2C_{11}^2=11\cdot 10=110$; số ván nam chơi với 2 nữ $4\cdot 11=44$; hiệu $110-44=66$ ✓ thỏa mãn đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Đội văn nghệ có 9 học sinh: 4 em lớp 12A, 3 em lớp 12B, 2 em lớp 12C. Cần chọn 5 em sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 em. Xét các bộ $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$, $1\le a\le 4$, $1\le b\le 3$, $1\le c\le 2$:
- $(1,3,1)$: $C_4^1{C}_3^3{C}_2^1=4\cdot 1\cdot 2=8$.
- $(2,2,1)$: $C_4^2{C}_3^2{C}_2^1=6\cdot 3\cdot 2=36$.
- $(3,1,1)$: $C_4^3{C}_3^1{C}_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$.
- $(1,2,2)$: $C_4^1{C}_3^2{C}_2^2=4\cdot 3\cdot 1=12$.
- $(2,1,2)$: $C_4^2{C}_3^1{C}_2^2=6\cdot 3\cdot 1=18$.
Tổng: $8+36+24+12+18=98$ cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng không tạo thành tam giác, mỗi tam giác phải có 2 điểm trên một đường và 1 điểm trên đường kia. Trường hợp 1: 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$: $C_{10}^2\cdot 7=45\cdot 7=315$. Trường hợp 2: 2 điểm trên $d_2$ và 1 điểm trên $d_1$: $C_7^2\cdot 10=21\cdot 10=210$. Tổng: $315+210=525$ tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Xét khối ba chữ số liên tiếp '123' hoặc '321' (chữ số 2 đứng giữa 1 và 3): có 2 cách tạo khối. Chọn thêm 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại $\{0;4;5;6;7;8;9\}$: $C_7^4=35$ cách. Xếp 5 đối tượng (khối và 4 chữ số): $5!=120$ cách. Số số thỏa mãn (chưa loại trường hợp 0 đứng đầu): $2\cdot 35\cdot 120=8400$. Loại trường hợp 0 đứng đầu: khi đó khối không chứa 0, chọn 3 chữ số từ 6 chữ số $\{4;5;6;7;8;9\}$: $C_6^3=20$ cách; xếp 4 đối tượng (khối và 3 chữ số) vào 4 vị trí sau chữ số 0: $4!=24$ cách. Số số bị tính thừa: $2\cdot 20\cdot 24=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Vậy có 7440 số thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 12 nam thành 3 nhóm 4 người cho 3 tỉnh: số cách = $\frac{12!}{4!\cdot 4!\cdot 4!}=34650$. Phân 3 nữ cho 3 tỉnh (mỗi tỉnh 1 nữ): $3!=6$ cách. Tổng: $34650\times 6=207900$ cách = 207,9 nghìn cách.

(AI giải đề cho tôi)
Cách chọn 5 bạn từ 16 học sinh: $C_{16}^5=4368$. Cách chọn có cả Hạnh và Huy (tức không thỏa 'ít nhất 2 em không được tham gia'): chọn thêm 3 bạn từ 14 bạn còn lại: $C_{14}^3=364$. Vậy số cách chọn sao cho ít nhất một trong hai em Hạnh, Huy không được tham gia (tức không chọn cả hai) là $4368-364=4004$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 6 chữ số, chữ số 1 xuất hiện đúng 3 lần, các chữ số còn lại (0;2;3;4;5) mỗi chữ nhiều nhất một lần. Cần chọn thêm 3 chữ số từ $\{0;2;3;4;5\}$.
- Trường hợp chọn có chữ số 0: chọn 2 chữ từ $\{2;3;4;5\}$: $C_4^2=6$ cách. Mỗi bộ có $\frac{6!}{3!}=120$ hoán vị, trừ các số bắt đầu bằng 0: $\frac{5!}{3!}=20$, nên mỗi bộ cho $120-20=100$ số. Tổng: $6\times 100=600$.
- Trường hợp không có chữ số 0: chọn 3 chữ từ $\{2;3;4;5\}$: $C_4^3=4$ cách, mỗi bộ cho $\frac{6!}{3!}=120$ số. Tổng: $4\times 120=480$.
Kết quả: $600+480=1080$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số, chữ số lấy từ tập $A$ (được phép lặp vì đề không yêu cầu các chữ số khác nhau), chữ số cuối phải chẵn. Số cách: chữ số cuối có 3 lựa chọn (0; 2; 4), chữ số đầu khác 0 nên có 5 lựa chọn, hai chữ số giữa mỗi chữ có 6 lựa chọn. Tổng: $3\cdot 5\cdot 6\cdot 6=540$. Vậy đáp án B. (Lưu ý: nếu yêu cầu các chữ số đôi một khác nhau thì kết quả là 156, không khớp đáp án nào, nên cách hiểu chuẩn là cho phép lặp.)

(AI giải đề cho tôi)
Chia 27 thẻ thành 3 nhóm theo số dư khi chia cho 3: nhóm A (dư 0): {3,6,...,27}, nhóm B (dư 1): {1,4,...,25}, nhóm C (dư 2): {2,5,...,26}; mỗi nhóm có 9 thẻ. Tổng ba số chia hết cho 3 khi và chỉ khi ba số cùng nhóm hoặc ba số thuộc ba nhóm khác nhau.
- Trường hợp 1: ba thẻ cùng một nhóm: $3\cdot C_9^3=3\cdot 84=252$ cách.
- Trường hợp 2: mỗi nhóm lấy đúng một thẻ: $9^3=729$ cách.
Vậy tổng số cách là $252+729=981$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Để nam và nữ xen kẽ nhau trên 9 chỗ với 5 nam và 4 nữ, dãy phải có dạng Nữ Nam Nữ Nam ... Nữ Nam, tức các bạn nam chiếm 5 vị trí lẻ (1,3,5,7,9) và các bạn nữ chiếm 4 vị trí chẵn (2,4,6,8). Số cách xếp nam: $5!=120$. Số cách xếp nữ: $4!=24$. Vậy tổng số cách là $5!\cdot 4!=120\cdot 24=2880$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Vì chữ số sau luôn lớn hơn chữ số trước, mỗi số thỏa mãn ứng với một cách chọn 5 chữ số phân biệt từ tập $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$, rồi xếp chúng theo thứ tự tăng dần (mỗi bộ chọn chỉ cho đúng một số). Số cách chọn 5 chữ số từ 7 chữ số là $C_7^5=\frac{7!}{5!2!}=21$. Lưu ý: chữ số 0 không thể đứng đầu, nhưng vì các chữ số được xếp tăng dần nên nếu 0 được chọn thì 0 luôn ở vị trí đầu tiên, tức số đó sẽ có dạng 0xxxx không phải số có 5 chữ số. Do đó phải loại các bộ chứa chữ số 0: chọn 5 chữ số từ $\{1;2;3;4;5;6\}$ có $C_6^5=6$ bộ. Vậy số lượng số thỏa mãn là $C_7^5-C_6^5=21-6=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Sai. Chọn 1 nam trong 6 và 1 nữ trong 4 nên số cách là $6\cdot 4=24$, không phải $C_{10}^2=45$. b) Sai. Chọn 5 người cho nhóm thứ nhất: $C_{10}^5=252$ cách, nhưng vì 2 nhóm không phân biệt (nhóm còn lại tự động) nên số cách phân chia là $\frac{C_{10}^5}{2}=126$. c) Đúng. Xếp 10 học sinh phân biệt thành hàng ngang có $10!$ cách. d) Đúng. Không gian mẫu $C_{10}^5=252$; trường hợp thuận lợi $C_6^3\cdot C_4^2=20\cdot 6=120$; xác suất $=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cặp nam nữ là $6\cdot 4=24$, không phải $C_{10}^2=45$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai nhóm không phân biệt nên số cách là $\frac{C_{10}^5}{2}=126$, không phải $C_{10}^5=252$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 10 học sinh phân biệt: $10!$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_6^3{C}_4^2}{C_{10}^5}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lưới có 4 ô ngang và 4 ô dọc, nên mỗi đường từ $A(0,0)$ đến $B(4,4)$ gồm 4 bước sang phải và 4 bước đi lên, tổng số đường là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$. Điểm $C$ nằm tại nút $(3;1)$. Số đường đi qua $C$: từ $A$ đến $C$ cần 3 bước phải, 1 bước lên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$; từ $C$ đến $B$ cần 1 bước phải, 3 bước lên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$. Vậy số đường qua $C$ là $4\times 4=16$. Số cách thỏ đi đến $B$ mà không qua $C$ là $70-16=54$. Lưu ý: nếu vị trí $C$ được hiểu khác theo hình thì kết quả thay đổi, nhưng theo hình $C$ là nút giao thứ tư từ trái, hàng thứ nhất từ dưới lên, nên đáp số là 54.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau từ P={0;1;2;3;4;5;6}: chữ số đầu có 7 cách (khác 0 không bắt buộc vì 0 thuộc P nhưng chữ số hàng nghìn không được là 0, nên có 6 cách), thực ra: hàng nghìn có 6 cách (khác 0), hàng trăm có 6 cách, hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách. Vậy |S| = 6·6·5·4 = 720.

b) Số chia hết cho 2 có chữ số cuối thuộc {0;2;4;6}.
- Chữ số cuối là 0: hàng nghìn có 6 cách, hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → 120 số.
- Chữ số cuối là 2, 4 hoặc 6 (3 cách): hàng nghìn có 5 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → 3·5·5·4 = 300 số.
Tổng số chia hết cho 2: 120 + 300 = 420.
Xác suất = 420/720 = 7/12.